Bµi 5: 3 ®iÓm Trong các tam giác ABC có chung cạnh BC và có cùng diện tích.. Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất.. Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H.. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến A
Trang 1UBND THÀNH PHỐ RẠCH GIÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2010 – 2011 Khóa ngày 27/12/2010
ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề)
Bµi 1: (3 ®iÓm)
Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 1000 a là số chính phương
Bµi 2: (4 ®iÓm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c b) Tính giá trị của biểu thức: Q = 1 a 1 b 1 c
biết a3 + b3 + c3 = 3abc Với a 0, b 0, c 0
Bµi 3: (3 ®iÓm)
a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x = 3 2 2
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Chứng minh đẳng thức sau: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Áp dụng: Tìm x để giá trị của y = 6 x x 2 lớn nhất
Bµi 5: (3 ®iÓm)
Trong các tam giác ABC có chung cạnh BC và có cùng diện tích Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất
Bµi 6: (3 ®iÓm)
Cho đường tròn O đường kính AB Một điểm M thay đổi trên đường tròn
( M khác A và B) Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
c) Lấy điểm N cố định trên đường tròn (O) Gọi I là trung điểm MN, P là hình chiếu của I trên MB Chứng minh rẳng P di động trên một đường tròn cố định
Chú ý: Phương án giải sẽ đưa lên sau
Trang 2d A1
B1
C B
A
Phương án giải toán thi học sinh giỏi cấp thành phố Rạch Giá năm 2010 - 2011
Bài 1:
Cách 1: a chia hết cho 6 và a chia hết cho 1000 => a chia hết cho UCLN(6;1000) = 750
mà a là số nguyên dương nhỏ nhất và a là số chính phương nên a = 750.n(n nguyên dương nhỏ nhất) => n = 120 vậy a = 750.120 = 90000
Cách 2: 1000 = 102.2.5; 6 = 2.3 => a là bội số (6; 1000) mà a là số chính phương nhỏ nhất
=> a = 102.22.52.32 = 90000
Bài 2:
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c) = 0
(a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ) = 0 1
2(a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] = 0
a + b + c = 0 hoặc a = b = c
b) Nếu a = b = c thì Q = 8
Nếu a + b + c = 0 thì a + b = – c ; b + c = – a ; c + a = – b thì Q = – 1
Bài 3:
a) ĐK: x ≥ 1 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3
x
x
x
b) Nếu x = 3 – 2 2 thì x ( 2 1) 2 2 1 => P = – 1 + 2
2 1 = 1 + 2
Bàn luận: với x = 3 2 2 thì từ bài ra biểu thức P có nghĩa không? Ta hảy
tìm Đ/K của x1 2 2 2 O ?
Bài 4: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 – a2c2 – a2d2 – b2c2 ≤ 0 a2d2 + b2c2 ≥ 0 Bất đẳng thúc đúng => đpcm Dấu bằng xẩy ra khi ad = bc
Áp dụng: Đặt a = 6 x ; b = x 2; c = 1; d = 1
Ta có y2 ≤ 8.2 = 16 => y ≤ 4 Vậy GTLN y = 4 khi đó x = 2
Bài 5;
Trang 3Gọi AH = h ta có Sabc = 1
2BC.h Vậy tập hợp các điểm A thuộc đường thẳng song song BC
và cách BC một khoàng không đổi là h
Lấy B1 đối xứng với B qua d , nối B1A ta có B1A = AB, nối B1 với C cắt d tại A1 Vì BC không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AB + AC = B1A + AC nhỏ nhất mà
theo bất đẳng thức trong tam giác thì B1A + AC ≤ B1C Khi đó A trùng A1 nên tam giác A bc cân tại A Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tam giác ABC cân tại A
Bài 6 :
I
P
K
N
H
D
C
M
A
a)
MOA cân tại O =>
OAM OMA
(1) Xét (O) có:
OAM MAC (T/c tt) (2).Từ (1) và (2) => OM // AC mà AC MC => OM CM (3) Tương tự ta chứng minh được OM MD (4) Từ (3) và (4) => CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M
b) Theo t/c hai tiếp tuyến => AC + BD = AH + HB = AB (không đổi).
Theo chứng minh trên AC + BD = AH + HB không đổi theo cô si tích AC.BD lớn nhất khi
AH = HB H trùng tâm O M là điểm nẳm chính giữa cung AB
c) Gọi K là giao điểm IP và AN ta chứng minh được K là trung điểm AN A, N cố định nên
K cố định mà B cố định nên KB cố định Vậy P nhìn KB cố định dưới một góc 900 nên
P thuộc đường tròn cố định đường kính KB