bồi dưỡng học sinh

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự

nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra nhưsau

Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0

Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ≥0 bất

* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k Tức là ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)

Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 Tức là C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk)

+ 1)(2n )

n(n

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có 2n > 2n+1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4.32n 2+ + 32n 36 64 − M

(2n-1)

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 16n − 15n 1 225 − M

TÍNH CHIA HẾT

A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN

1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b≠0) Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên (q, r) sao cho a = bq + r với 0 r≤ < b

* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a M b ⇔ a = kb a, b, k ∈¥

* Nếu r ≠ 0 phép chia a cho b là có dư

2 Tính chất của qua hệ chia hết:

* Trong n số nguyên liên tiếp (n∈N*) có một và chỉ một số chia hết cho n

* Trong n+1 số nguyên bất kì (n∈N*) chia cho n thì có hai số chia cho n có cùng số dư

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó

* Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x cho m

PHƯƠNG PHÁP GIẢI :

1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p

Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5

n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5

a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5

b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q

a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hếtcho p.q

b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng

minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q

và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n

một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :

d) (a b) 6+ M⇔(a3+b ) 63 M e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1 CMR 2

n − 1 24 M g) 32n 1+ 2 + n 2+ M 7 f) 32n 2+ 2 + 6n 1+ M 11

Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻthì

f(x)  ( x + 1)

2.Đa thức bậc 2 trở lên :

Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đathức chia

Cách 2 : Xét giá trị riêng.

3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác :

Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đathức chia

Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia.Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x)+ g(x)g(x) hoặc f(x) - g(x)g(x)

Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + 1  x20 + x10 + 1

b/ x2 - x9 – x1945  x2 - x + 1c/ x10 - 10x + 9  (x – 1)2

d/ 8x9 - 9x8 + 1  (x – 1)2

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN

1 Dạng 1: Phương trình bậc nhất.

a Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên)

* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là

2 3

x y

=



 =



b Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên)

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)

Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được:

Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý

Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn

Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(-(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng

Cách 2 Đưa về phương trình ước số:

Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết Đặt ĐK để có x nguyên.

Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.

x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0 (1)

Hướng dẫn giải

Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên

3 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn

Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho

−

−

17 9

4 Nếu x = 1 => y2 = 5 Vô nghiệm nguyên

5 Nếu x ≥2 => 2x M 4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y2 chia 4 dư 1

3 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11.

4 Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11

5 Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người.Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?

BẤT ĐẲNG THỨC

I Tính chất cơ bản của BĐT:

a) a < b, b < c ⇒ a < c

b) a < b ⇔a +c < b+ c

c) a< b⇔a.c < b.c (với c > 0)

a< b⇔a.c > b.c (với c < 0)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1 2

1 2

n n

Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b

Chứng minh rằng: ( 2) ( 2 2)

|ax by+ | ≤ a2+b x +y

Áp dụng :

1 Cho x2 + y2 =1 , chứng minh - 2≤ x+y ≤ 2

2 Cho x+2y = 2 , chứng minh x2 + y2 ≥ 5

3

Bài 5: Cho a,b,c >0 C/m:

(a2 b2 x2 y2 (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2 2

b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +

Bài 11: CM với mọi n nguyên dương thì:

2

1 2

1

2

1 1

1

>

+ + +

1 2

2 2 2

2 2 2 2 2

<

+ +

−

+ + +

+ +

+

c a c

b c

b

a

Bài 19: Cho 100

1

3

1 2

4 1 1

Dấu bằng xảy ra khi nào?

b) Tam giác ABC có chu vi 2

c b a

b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN của: 1 1

2 2

a P

Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì

9

1 1

Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b ≤ 10.

Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab

8 ≤a2 +b2 ≤

Dấu bằng xảy ra khi nào?

2 1

+ + +

b a b a

Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và 1

a

b <

:

a a k Cmr

b c b

a

+

+ +

+

1 1

Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:

+ + ≥  + x

y y

x x

y

y

x

3 4

2

2 2

2

SỐ CHÍNH PHƯƠNG , NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ

1) Định nghĩa: Là số có dạng n n2, ∈¢

2) Tính chất:

1 Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1

2 Nếu a=3k thì a2 ≡ 0 mod 9( ); Nếu a≠3k thì a2 ≡ 1 mod 3( )

3 Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào

4 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

5 Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương

6 Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương

HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tốvới số mũ chẵn

3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chínhphương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈N)

4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 Không có số chínhphương nào có dạng 3n + 2 (n ∈N)

5 Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có

1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1 k(k+1)(k+2)(k-1)

⇒S =4

1

.1.2.3.4 -4

1.0.1.2.3 + 4

1.2.3.4.5 -4

1.1.2.3.4 +…+4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4

1 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

9 8 10 8 10 4 10

4 2n − n + n − +

1 10 4 10

4 2n + n +

=  3 + 

1 10

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3

⇒ (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

⇒ Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.

Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số

cuối giống nhau.

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương

Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4

Số cần tìm là 7744

Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.

Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phươngnên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ N

3 Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương

+ Khi y chẵn: VP 0 mod 4 ;VT 2 mod 4 ; ≡ ( ) ≡ ( )

+ Khi y lẻ : VP 1 mod8 ; VT 7 mod8 ; ≡ ( ) ≡ ( )

5 Tìm n∈ ¥ để 2n + 8n+ 5 là chính phương.

HD: + n≥ → 3 2n+ 8n+ ≡ 5 5 mod8( )

+ n=2: 25 là chính phương

+ n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn

6 Chứng minh rằng không tồn tại n∈ ¥ để 24n+41 là chính phương

HD: G/s 24n+41=t2

+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3

+ Nếu t không chia hết cho 3 thì t2 ≡ 1 mod 3( ) ⇒ 3 8( n+ 13)+ ≡ 2 1 mod 3( )

7 Chứng minh không tồn tại n∈ ¥ để 7.10n+4 là chính phương.

Nếu 0 ≤ ≤n 3 thì đều không thoả mãn.

12 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương

13.Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không?

HD: a) N ≡S N( ) mod 3( ) Vì 1994 2 mod 3 ≡ ( ) nên nếu S(N)=1994 thì N ≡ 2 mod 3( )

b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của

1 số chính phương không thể bằng 1995

14 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương.HD: ( ) (2 )2 2 ( ) (2 )2 ( 2 )

n− + −n + + +n n + +n = n + M nhưng không chia hết cho 25

15 Chứng minh rằng không tồn tại n∈ ¥ để n2+n+2 chia hết cho 3

HD: G/s ∃ ∈n ¥ để n2+n+2=3k khi đó n2+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương

Có ∆ = 3 4( k− + 3) 2 là số chính phương Điều này vô lí vì ∆ ≡ 2 mod 3( )

16 Gọi N=2.3.4…Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng cả 3 số N,

N-1, N+1 đều không là số chính phương

HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương

Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó N=(k-1)(k+1) 4!M

Nếu N− ≡ 1 2 mod 3( ) th ì N-1 không chính phương.

17.Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương

18.Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6

HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Với b≤ 9chữ số hàng chục của 20n(5n+b) chẵn do

đó chữ số hàng chục của b2 lẻ nên b=4; 6

19 Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn

HD: Xét (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 với b lẻ, b≤ ⇒ =9 b 1;3;5;7;9⇒b2 =01;09;25;49;81

→ĐPCM

20 Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là chẵn

HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25 Vì a(a+1) chẵn Ta có ĐPCM.

21 Tìm x y, ∈¥ để 2x + 5y chính phương

HD: G/s 2 2 + 5y =k k2( ∈ ¢)

+ Nếu x=0 thì 1+5y=k2 suy ra k chẵn⇒ + 1 5y ≡ 2 mod 4( )

+ Nếu x≠ ⇒ 0 k lẻ và k không chia hết cho 5.

2x+ = 1 k = 2m+ 1 ⇒ 2x = 4m m+ ⇒ = 1 m 1,x= 3,y= 0

2 y≠0, vì k không chia hết cho 5 nên k2 ≡ ± 1 mod 5( )

Từ giả thiết suy ra 2x ≡ ±(mod 5)⇒x chẵn, x=2n

+ Nếu y=2t thì 2n+1=25t-1 chia hết cho 3

+ Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1)

nếu y>1 thì 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ

Vậy y=1 suy ra x=2 Đáp số x=1; y=2

22.Tìm 1 số có 2 chữ số biết:

a) Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương

b) Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.HD:a) ab ba+ = 11(a b+ )M 11, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11 do đó a+b chia hết cho 11

Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91

24.(VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2+a = 3b2

+ b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương

HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2

Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1)

Mặt khác (1)(1)⇒d2\b2 ⇒d b\ ⇒d\1⇒ =d 1

Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1 Từ đó ta được ĐPCM

* Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) là chính phương

25.(HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là số chính phương.

+(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2

28 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính

phương

29 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính

phương

30 Tìm a∈ ¥ để a2+a+1589 chính phương

31 Chứng minh rằng nếu 8n+1 và 24n+1 là chính phương thì 8n+3 là hợp số

32 Chứng minh rằng n3+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1

33 Tìm abcd biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương

34 Chứng minh rằng nếu

1 2

ab= cd

thì abcd không chính phương

35 Tìm tất cả các số chính phương có dạng A= 1985ab

ĐS: 198025 và 198916

36 Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương

ĐS: a=26m2+22m+4 hoặc a=26m2+30m+8

37 Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại

38 Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì

số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương

RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức P = ( ) ( ) 1 a32

2 a a 1 2

1 a

1 2

2 + +

Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x y

y - x +Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0