Ôn Thi đại học phương pháp tọa dộ trong mặt phẳng

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm tới B bằng 5.. Gọi OA là đường kính của đường tròn, viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C tại điểm A.. Tì

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A LÝ THUYẾT

I Tọa độ

1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục Ox, Oy đơi một vuơng gĩc với nhau với hai vectơ đơn vị i j ,

i j 1

2  a a a 1; 2aa i1a j2; M(x;y) OMxiy j

3 Tọa độ của vectơ: cho u x y v x y( ; ), ( '; ')

a u v xx y';  y'

b u v  xx y'; y'

c ku( ;kx ky)

d .u v xx'yy' e u v xx' yy'0

f u  x2y2

g cos ,



 

 

 

u v

u v

u v

4 Tọa độ của điểm: cho A(xA ;yA), B(xB;yB)

a.ABx B x A;y B y A

AB x x  y y

c G là trọng tâm tam giác ABC ta cĩ:

x G=

3

A B C

x x x

; yG=

3

A B C

y y y

d M chia AB theo tỉ số k: ;

II Phương trình đường thẳng

1 Một đường thẳng  được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến nA B; 

hoặc

0







, tR



thì  cĩ véctơ pháp tuyến là n b a( ; ) hoặc ( ;n b a )



Qui ước:

+ Nếu x2x1 thì pt : x x1

Chú ý:

a n



+ Để tìm hệ số A, B trong PTTQ: AxBy C 0 ta chỉ cần tìm một phương trình quan hệ giữa A, B rồi gán cho A một giá trị cụ thể khác 0 rồi suy ra B

+ Để tìm phương trình đường thẳng dưới dạng pt chính tắc ta cần xét 2 trường hợp:

d M

 



 

c



B.Một số bài tập:

1.1 Cho tam giác ABC cóA 3; 2 , B 1;1 ;C    1; 40 Viết phương trình tổng quát của:

a Đường cao AH và đường thẳng BC

b Trung trực của AB

c Đường trung bình ứng với AC

d Đường phân giác trong của góc A

1.2.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(2;1) và C(2;5)

Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC

tâm hình chữ nhật là I(4;5) Viết phương trình các cạnh còn lại

1.4 Viết phương trình đường thẳng qua M(3;2), cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho:

a OA+OB=12

b Hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12

a Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với d

b Tìm tọa độ hình chiếu của A lên d và tọa độ điểm A’, đối xứng của A qua d

1 3

  



 



a Tìm trên d điểm M cách điểm A(4;0) một khoảng là 5

1.7 Viết phương trình đường trung trực các cạnh của ABC biết tọa độ trung điểm các cạnh là: M(-1;1); N(1;9);P(9;1) ĐS: x-y+2=0; x-1=0; x+4y-13=0

1.9 Cho hình vuông ABCD có A(4;-5); 1 đường chéo nằm trên d: 7x-y+8=0 Lập phương trình các cạnh và phương trình đường chéo thứ 2 của hình vuông?

ĐS: AB: 3x-4y+32=0; AD:4x+3y+1=0; BC: 3x-4y+7=0; CD:4x+3y-24=0; AI:x+7y-31=0

a Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua 

b Tìm P   : PA+PB nhỏ nhất

1.11 (CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y9=0 và x+3y5=0 Tìm tọa độ các đỉnh

A và B

1.12 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0 Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC

1.14.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A

1.15 (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x2y3=0 và 6xy4=0 Viết phương trình đường thẳng AC ĐS: AC: 3x4y+5=0

1.16.(Khối A_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x+y5=0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0

hoành ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0)

1.20 (Khối A_2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường











3

3 2 6

; 3

3 4 7











3

3 2 6

; 3

1 3 4

G

1.21 (Khối B_2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(1;1), đường phân giác trong của góc A











 4

3

; 3 10

C

1.22 (Khối B_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y2=0,

ĐS: B(1;3), C(3;5) hoặc B(3;1), C(5;3)

1.23 (Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x2y1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6















11

27

; 11

43 ,

3

;

C

90











 0

; 3

2

ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2)









 0

; 2

1

trình đường thẳng AB là x2y+2=0 và AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành

độ âm ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)

5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0 (ĐS: 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0;5x+2y-1=0)

1.27 (Dự bị 1- B2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với A(1;-1): C(3;5)

Đỉnh B nằm trên đường thẳng d: x-2y=0 Viết phương trình đường thẳng các cạnh AB, BC

1.29 (Dự bị 2- A2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho A(0;2) và đường thẳng d:x-2y+2=0 Tìm

trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC

1.31 (Dự bị 1-D2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lấy điểm B thuộc Ox có hoành độ âm và điểm C

thuộc Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm B,C sao cho diện tích tam giác là lớn nhất

1.32 Cho tam giác ABC biết A(2;2) và hai đường cao lần lượt có phương trình 9x-3y-4=0; x+y-2=0 Lập phương trình của các đường thẳng AB,BC,CA

ĐS: AB: x-y=0; AC:x+3y-8=0; BC: 7x+5y-8=0

1.33 Cho tam giác ABC có A(2;-11) và các đường phân giác trong của các góc B,C lần lượt có phương trình x-2y+1=0; x+y+3=0 Lập phương trình BC ĐS: 4x-y+3=0

1.34 Cho tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1=0; y-1=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

1.35.Xác định tọa độ điểm A của tam giác ABC biết C(4;-1) và đường cao, đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình: 2x-3y+12=0; 2x+3y=0 ĐS:A(8;-7)

1.36.Cho tam giác ABC biết A(-1;3), đường cao BH:x-y=0; đường phân giác trong của góc C thuộc d:x+3y=0 Viết phương trình AB,BC,CA

ĐS: AB: 3x-y+6=0; AC:x+y-2=0; BC:x-7y-18=0

1.37.Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn Viết phương trình chứa cạnh AC của tam giác biết tọa độ chân đường cao hạ từ A,B,C lần lượt là: A1( 1; 2);  B1(2; 2);C1( 1; 2)

1.38 (DB-KD2003) Cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ

từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y-1=0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

1.40 Cho tam giác ABC biết A(-1;3) Đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x, đường phân giác trong góc

C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình BC ĐS: x-7y-18=0

1.41 Xác định tọa độ B của tam giác ABC biết C(4;3) đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình: 2x+y-5=0; 4x+13y-10=0 ĐS: B(-12;1)

1.42 (DB_A2007) Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) phương trình hai cạnh AB:4x+y+14=0 và AC:2x+y-2=0 Tìm tọa độ A,B,C

( ; 2) 3

điểm C

1.44.(DB_B2006) Cho tam giác ABC biết A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x-3y-7=0 và đường trung tuyến qua C có phương trình x+y+1=0 Xác định tọa độ B, C

phương trình AB: x+2y-3=0, trọng tâm của tam giác thuộc x+y-2=0 Tìm tọa độ A, B

1.46.(DB1_A2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ B, đường phân giác kể từ A lần lượt có phương trình: 3x+4y+10=0; x-y+1=0 M (0;2) thuộc AB và cách C một khoảng 2 Tìm tọa độ A,B,C

( ; )

3 3

BG:7x-.4y-8=0 Tìm tọa độ điểm A

1.47 Cho tam giác ABC với phương trình 2 cạnh: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0, biết O( O- gốc tọa độ) là trực tâm của tam giác Viết phương trình cạnh thứ 3

1.49 Cho tam giác ABC có đỉnh C(4;-1) , đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có phương trình 2x-3y=-12 và 2x+3y=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

1.51 Cho 2 điểm A(1;1) và B(4;-3)

b Viết phương trình đường thẳng d qua I(-1;0) sao cho khoảng cách từ A tới d bằng khoảng cách từ B tới d 1.52 Cho hình vuông MNPQ có E(2;1); F(3;5); G(01;1); H(-3;-1) nằm trên các cạnh MN, NP, PQ, QM Viết phương trình 4 cạnh của hình vuông

1.53 Cho tam giác ABC, canh BC có phương trình 3x-4y+1=0 Điểm A thuộc đường thẳng x+y=0 Biết tam giác ABC vuông ở A Tìm tọa độ B,C

1.55 Cho tam giác cân ABC cạnh đáy BC: x-3y-1=0 và đường thẳng AB:x-y-5=0 AC đi qua M(-4;1) Tìm tọa độ C

1.56 Cho tam giác ABC có A(2;-1), phương trình 2 đường phân giác trong kẻ từ B, C lần lượt có phương trình: x-2y+1=0 và x+y+3=0 Viết phương trình BC

1.57 Cho hai điểm A(-3;2); B(2;5) Tìm M thuộc Oy sao cho

ax

m

1.58 Cho  : 2x-y-1=0 và A(1;6); B(-3;-4)

 

1.59 Cho  : 3x-y-1=0 và A(4;1); B(0;4)

Tìm M thuộc  sao cho: a (MB+MA)min b

ax

m

MA MB

c MA2MB min

tọa độ C

III Phương trình đường tròn

1 Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính R

Phương trình:

0

a b d  và R a2b2d

2 Quan hệ giữa điểm, đường thẳng và đường tròn

2.1 Nếu:

a KC từ M đến I nhỏ hơn R thì M ở trong đường tròn

Không có tiếp tuyến nào qua M

b.KC MI=R thì M thuộc đường tròn

Thì tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) là: (x0a x x)(  0) ( y0b y)( y0) 0

(x0a x a)(  ) ( y0b y)( b)R2

c KC MI>R thì M nằm ngoài đường tròn

Qua M có 2 tiếp tuyến:

Sau đó sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra k

song song với Oy

2.2 Nếu  : Ax+By+C=0

a KC từ I đến  nhỏ hơn R thì  cắt (C) tại 2 điểm

b KC từ I đến  bằng R thì  tiếp xúc với (C)

c KC từ I đến  lớn hơn R thì  nằm ngoài (C)

2.3 Nếu đường tròn C1(I1;R1) và C2(I2;R2) có:

a I I1 2 R1R2 thì 2 đường tròn đựng nhau

và chỉ khi:

3 Điều kiện để đường thẳng : AxByC0 tiếp xúc với đường tròn (C) là:



B Một số bài tập

2.1.Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn có tâm I(1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d) 3x–4y + 12 = 0

2.2.Trong mpOxy cho ba điểm A(0;1),B1;1 ,C 2;0

a.Tìm tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và viết phương trình đường tròn đó

b.Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ I

2.3.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(2;1) và C(2;5)

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC

2.4 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A(-1;2); B(-2;3) và có tâm thuộc đường thẳng d: 3x-y+10=0 2.5 Viết phương trình đường tròn đia qua A(1;2); B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng 3x+y-3=0

2.6 Cho A(2;0); B(6;4) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm tới B bằng 5

2.7 Cho A(0;5); B(4;0); C(-4;0) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB ở B, tiếp xúc với AC ở C

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn tại A, B sao cho MA=MB

a Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

b Chứng minh rằng : Đường tròn (C) đi qua gốc tọa độ O Gọi OA là đường kính của đường tròn, viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A

2.11.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :

0 3 2 6

2 2









a Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)

b Tìm các điểm thuộc đường tròn (C) có hoành độ x = 1 và viết phương trình tiếp tuyến tại các

điểm đó

(C) r



I M

2.13 Cho đường tròn (C m) :x2y22(m1)x (m6)ym10 0

a Tìm quĩ tích tâm

a Tìm quĩ tích tâm

Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

a Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn

b Giả sử các tiếp điểm là A, B Viết phương trình đường thẳng AB Tính độ dài AB

a Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn

b Giả sử các tiếp điểm là M, N Viết phương trình đường thẳng MN

tuyến vuông góc với nhau

2.26 Cho d: 2x-5y+18=0 Viết phương trình đường tròn có tâm I(3;-1) cắt d tại A, B sao cho AB=6

điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2.28.(ĐH_CĐ Khối D_2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C):

(C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’)

ĐS: A(1;0), B(3;2)

2.29(ĐH_CĐ Khối D_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x1)2+(y+2)2=9 và

đường thẳng d: 3x4y+m=0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến

PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều

ĐS: m=19, m=41 2.30.(Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) và C(4;2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

ĐS:

5

2 2 , 5

4

; 5

8















R

M(3;1) Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng

T1T2

2.33.(Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

IV Ba đường conic

Elip

1 Phương trình chính tắc:

2 Các yếu tố: c2 a2b2, c>0

Hai tiêu điểm F1c; 0 , F c2 ;0

Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn A1a;0 , A a2 ;0,

đỉnh trên trục bé B10;b, B20;b

a

e

 

e

3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2

Hyperbol

x

y

F 2 F

1

B 2

B 1

A 2 A

1

O

M

1 Phương trình chính tắc:

2 Các yếu tố: 2 2 2

Hai tiêu điểm F1c; 0 , F c2 ;0

Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực A1a; 0 , A a2 ;0,

a

 

a

e

 

e



3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2B2b2=C2

Parabol

1 Phương trình chính tắc: y2 2px , (p>0 gọi là tham số tiêu)

2 Các yếu tố:

2

p

F 

p

x  

B BÀI TẬP CƠ BẢN

2 Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) nhận Ox làm trục đối xứng, đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm

2 ; 2 2

a Lập phương trình của (P)

hai điểm F1, F2 Xác định tọa độ của F1, F2

c Tính diện tích của tam giác có một đỉnh nằm trên đường chuẩn của (P), còn hai đỉnh kia là hai đầu dây đi qua tiêu điểm và song song với trục Oy

d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) với đường thẳng (D)

a Tìm các tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của Elip

b Lập phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên phải của Elip đã cho

4 5

2 2



x

a Tìm tâm sai và các tiệm cận của (H)

a Tìm tọa độ của tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)

phân biệt

y=

b

ax

y=-b

ax

B1

B2

A2

F2

A1

F1

O

y

x

B2

F2

y

x

O

6 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(3;0) và đường thẳng (D) có phương trình 3x–4y+16=0

a Tính khoảng cách từ điểm F tới (D) Suy ra phương trình đường tròn có tâm là F và tiếp xúc với (D)

b Viết phương trình của parabol (P) có tiêu điểm là F và có đỉnh là gốc tọa độ O

c Chứng tỏ rằng (P) tiếp xúc với (D), tìm tọa độ tiếp điểm

a Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của Elip

b Một đường tròn (C) có tâm I(0;1) và đi qua điểm A(4;2) Viết phương trình của đường tròn và chứng tỏ rằng (C) đi qua hai tiêu điểm của Elip

a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm và tâm sai của Elip (E)

c Viết phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm là tiêu điểm bên trái của Elip đã cho

a Viết phương trình Parabol (P) nhận F làm tiêu điểm và đỉnh là gốc tọa độ

b Tìm khỏang cách từ F đến đường thẳng (D) Tìm tọa độ tiếp điểm

a Tìm tọa độ tiêu điểm và tâm sai của (E)

k= 1 Chứng tỏ (D1)  (D2)

a Lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D)

b Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ Chứng tỏ rằng (P) tiếp xúc với (D) Tìm tọa độ tiếp điểm

12 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Hypebol với phương trình :

3x2 – y2 = 12

a Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai và phương trình các đường tiệm cận của hypebol đó

b Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng y = kx cắt hypebol nói trên

a Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của elip

b Đường thẳng qua 1 tiêu điểm của elíp và song song với trục Oy cắt elíp tại 2 điểm M và N Tính

độ dài đoạn thẳng MN

c Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elíp đã cho

9 4

2 2



x

a Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận của hypebol Vẽ hypebol

đã cho

b Tìm các giá trị của n để đường thẳng y = nx – 1 có điểm chung với hypebol

a Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elíp

16 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(2;1)

a Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành

b Viết phương trình chính tắc của Parabol có đỉnh là gốc tọa độ, đi qua điểm A và nhận trục hoành

làm trục đối xứng Vẽ đường tròn và Parabol tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ

a Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính Tìm tọa độ các giao điểm của đường tròn