Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng

Khác với một số môn toán trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê được xây dựng trên các công cụ toán học hiện đại như giải tích hàm, độ đo,… nhưng lại gắn liền với thực tế cuộc sống tron

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Th.S Hoàng Thị Duyên, người đã chỉ dạy cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này Nếu không có sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tận tình của cô thì tôi nghĩ khóa luận này của tôi rất khó có thể hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên trường Đại Học Quảng Bình, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt kiến thức cho tôi trong 3 năm học tập Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình thực hiện khóa luận mà còn là hành trang quí báu để tôi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Xin cảm ơn những người bạn đã cùng tôi sát cánh trong suốt thời gian học tập vừa qua

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến công lao to lớn không gì có thể đền đáp của cha mẹ_những người đã sinh thành, nuôi dưỡng con nên người, luôn nhắc nhở, động viên con hoàn thành tốt nhiệm vụ

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 6

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Không gian mẫu và biến cố 6

1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố 7

1.3 Các phép toán trên các biến cố 8

1.4 Định nghĩa xác suất 10

1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 10

1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov 12

1.5 Công thức tính xác suất 12

1.5.1 Công thức cộng xác suất 12

1.5.2 Công thức nhân xác suất 13

1.6 Phân bố xác suất đều 16

CHƯƠNG 2 18

MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 Bài toán Monty Hall 18

2.1.1 Giới thiệu về bài toán 18

2.1.2 Giải quyết bài toán 20

2.1.3 Nhận xét 21

2.1.4 Mở rộng bài toán 21

2.1.4.1 Bài toán 21

2.1.4.2 Giải quyết bài toán 22

2.2 Nghịch lý ngày sinh 24

2.2.1 Giới thiệu về nghịch lý 24

2.2.2 Giải quyết nghịch lý 24

2.3 Nghịch lý Simpson 26

2.3.1 Bài toán 1 26

2.3.2 Giải bài toán 1 27

2.3.3 Bài toán 2 27

2.3.4 Giải quyết bài toán 2 28

2.4 Bài toán: Hoàng tử có chị em gái không? 28

2.4.1 Giới thiệu bài toán 28

2.4.2 Giải bài toán 29

2.5 Bài toán: Văn Phạm có là thủ phạm? 29

2.5.1 Bài toán 29

2.5.2.Giải quyết bài toán 31

2.6 Ứng dụng 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

KẾT LUẬN 34

LỜI NÓI ĐẦU

Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự phát triển như vũ bão của các ngành khoa học kỹ thuật ,vì vậy sự nghiệp giáo dục cần đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ Đóng góp cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của Toán học

Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn nhất

là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê

Nó được bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pascal (1623- 1662) và Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp Đờmê-rê đặt ra cho Pascal Năm 1812 nhà toán học Pháp Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người” Đặc biệt là vào năm 1933 Kolmogrov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Xác suất thống

kê trở thành một khoa học chính xác và trừu tượng Kể từ đó Xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều sâu lý luận lẫn nội dung ứng dụng Đối tượng nghiên cứu của Xác suất thống kê là các hiện tượng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế Khác với một số môn toán trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê được xây dựng trên các công cụ toán học hiện đại như giải tích hàm, độ đo,… nhưng lại gắn liền với thực tế cuộc sống trong tự nhiên và xã hội

Ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê toán được ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực như kinh tế, tài chính, sinh học, y học,…

Navigation đã nói : “Có bao giờ bạn thấy mình gặp may mắn hay rủi ro? Khi nào may mắn, khi nào rủi ro? Nếu nắm được quy luật này thì tuyệt vời phải không?” Lý thuyết xác suất đang hướng tới điều đó

Trong cuộc sống, có rất nhiều điều ta tưởng chừng đơn giản, nghĩ thoáng qua thôi ta có thể biết được kết quả, nhưng kết quả đó đúng hay sai? Nhìn vào

có vẻ như kết quả là đúng hiển nhiên nhưng vì sao lại sai? Liệu những mâu thuẫn đó có được giải quyết không? Và đó chính là nghịch lý Các nghịch lý

trong xác suất luôn là những đề tài thú vị đặt ra trong cuộc sống Việc giải quyết các nghịch lý trong xác suất có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong cuộc sống cũng như trong khoa học Các nghịch lý trong xác suất là nguồn gốc của việc nảy sinh ra nhiều lý thuyết toán học quan trọng như lý thuyết trò chơi, lý thuyết may rủi,… và cũng là căn cứ quan trọng để đánh giá một số vấn đề trong thực tiễn Hơn nữa, chúng cũng là một trong các chủ đề quan trọng và thường xuyên được sử dụng cho các trò chơi giải trí, cho các hoạt động ngoại khóa của người học, giúp người học hứng thú hơn trong học tập Để giải quyết các nghịch lý trong xác suất ta phải nắm vững các kiến thức về xác suất và xác suất có điều kiện Với những lý do trên, tôi đã quyết định chọn đề tài khóa luận là

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số nghịch lý trong xác suất bao gồm: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson, nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có là thủ phạm? Sau đó, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng của các nghịch lý đó

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn nên khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện và có hiệu

quả cao hơn Xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian mẫu và biến cố

Khi nghiên cứu tự nhiên và xã hội, ta phải theo dõi các hiện tượng, phải làm một thí nghiệm, phải cân, đong, đo, đếm, …, trong điều kiện cho phép, có thể

lặp lại nhiều Ta gọi chung các công việc này là phép thử

Khi lặp lại các phép thử ta thấy có những phép thử cho cùng một kết quả, thí

dụ đun nước ở điều kiện cao độ và áp suất bình thường thì đến 100 C° nước sẽ sôi, trứng gà trong đàn gà nếu không có trống thì khi ấp sẽ không nở, …, ta gọi

Mỗi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là một sự kiện sơ cấp

hay biến cố sơ cấp, ký hiệu là ω Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là

không gian các sự kiện sơ cấp hay không gian mẫu, ký hiệu là Ω

Một tập con các biến cố sơ cấp của Ω là một sự kiện và được gọi là biến

cố ngẫu nhiên Ta có thể đặt tên cho các biến cố ngẫu nhiên nếu ta tìm được nét chung cho các sự kiện sơ cấp thuộc biến cố đó Nói riêng, tập con rỗng φ của Ω

được gọi là biến cố không thể, là sự kiện không bao giờ xảy ra khi phép thử

được thực hiện, như vậy biến cố không bao gồm một biến cố sơ cấp nào Tập Ω

được gọi là biến cố chắc chắn, là sự kiện tất yếu sẽ xảy ra khi phép thử thực

hiện, như vậy biến cố chắc chắn gồm tất cả các biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.1.1 Gieo một lần con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện trên mặt

con xúc xắc là một phép thử ngẫu nhiên Gọi A i là sự kiện “mặt trên của nó có i

chấm”, i =1, , 6 Các sự kiện A 1 , A 2 , …, A 6 là những biến cố sơ cấp;

Không gian các biến cố sơ cấp là Ω = { A 1 , A 2 , …, A 6 }

Ví dụ 1.1.2 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất Đó là một phép thử ngẫu

nhiên Gọi S là sự kiện “mặt sấp xuất hiện”, N là sự kiện “mặt ngửa xuất hiện”

Các sự kiện S, N là những biến cố sơ cấp; Không gian các biến cố sơ cấp là

{ , }S N

1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

Định nghĩa 1.2.1

i) Biến cốA được gọi là kéo theo biến cố B nếu biến cốA xảy ra thì biến cố B

xảy ra, kí hiệu A⊂B

ii) Hai biến cốA và B được gọi là bằng nhau nếuA kéo theo B và B kéo theoA

iii) Các biến cố không đồng thời xảy ra nếu sự xuất hiện của một trong chúng loại trừ sự xuất hiện của các biến cố khác trong cùng một phép thử

4i) Các biến cố đồng thời xảy ra nếu chúng có thể cùng xuất hiện trong một phép thử (còn gọi là các biến cố tương thích)

5i) Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu sự xuất hiện của biến cố này hay biến cố khác với khả năng như nhau

Ví dụ 1.2.2 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc Xét các biến cố

Ai: “Xuất hiện mặt i chấm”, i = 1,…,6;

Ac: “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”;

A: “ Xuất hiện mặt có số chấm là 2 hoặc 4 hoặc 6”;

Al: “Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”;

Ant: “Xuất hiện mặt có số chấm nguyên tố”;

Ta có Ac vàA là hai biến cố bằng nhau Các biến cốA2,A4,A6 kéo theo biến

cốAc, các biến cốA1,A3,A5 kéo theo biến cố Al

1.3 Các phép toán trên các biến cố

Để giải các bài toán xác suất, ta thường biểu diễn biến cố phức tạp theo các biến

cố đơn giản hơn

=

=∑

Ví dụ 1.3.2 Trong phép thử gieo một con xúc xắc ta có A c =A2∪A4∪A6

Ví dụ 1.3.3 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn) Gọi

Định nghĩa 1.3.4 Tích của hai biến cốA và B là biến cố xảy ra nếu cả A và B

xảy ra, ký hiệu là A B⋅ hoặc A∩B Tổng quát, biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2, …, An nếuA xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2, …, An xảy

ra Ký hiệu A=A A1⋅ 2 A n

Ví dụ 1.3.5 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn) Gọi

E là biến cố ‘‘xạ thủ thứ nhất bắn trật’’ Gọi D là biến cố ‘‘xạ thủ thứ hai bắn trật’’ và F là biến cố ‘‘bia không trúng đạn’’ Ta có F =D∩E=DE

Định nghĩa 1.3.6 Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử, tức là A∩B= φ

Dãy biến cố A1, A2, …, An được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất

kỳ trong chúng xung khắc với nhau

Ví dụ 1.3.7 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc, các biến cố Ai, Aj

(i≠ j i j; , = 1, 6) là xung khắc, Ac và Al là xung khắc

Định nghĩa 1.3.8 Tập hợp các biến cố của một phép thử mà khi phép thử được

thực hiện thì một biến cố trong chúng nhất thiết phải xảy ra và hai biến cố bất kỳ

trong chúng là xung khắc được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép thử đó

Như vậy, nhóm A1, A2, …, An được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép thử nếu khi phép thử đó được thực hiện thì có duy nhất một biến cố trong nhóm

đó xảy ra

Ví dụ 1.3.9 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc thì dãy A1, A2, …, A6

lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

Ví dụ 1.3.10 Kiểm tra 3 sản phẩm, gọi A0, A1, A2 , A3 tương ứng là các biến

cố có 0, 1, 2, 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra Các biến cố này lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố

Phép hiệu

Định nghĩa 1.3.11 Hiệu của hai biến cốA và Blà biến cố xảy ra nếuA xảy ra và

B không xảy ra Ký hiệu là A\B

Định nghĩa 1.3.12 Biến cố đối lập của biến cố A, ký hiệu là A là một biến cố

mà biến cố này xảy ra khi A không xảy ra Ta có A= Ω \A

Ví dụ 1.3.13 Trong ví dụ 1.2.2 ta có A c =A l và ngược lại A l = A c

Ví dụ 1.3.16 Có 3 viên bi trắng, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ X lấy ra 2 viên

bi A là biến cố “X lấy được 2 viên bi trắng” B là biến cố “X lấy được 2 viên bi vàng”.Hai biến cố A và B này xung khắc nhưng không đối nhau

Ví dụ 1.3.17 Một nhà máy sản xuất 3 sản phẩm Gọi A i là biến cố ‘‘sản phẩm

thứ i là sản phẩm tốt’’ Khi đó A i là biến cố ‘‘sản phẩm thứ i là phế phẩm’’

Nếu gọiA là biến cố ‘‘có một sản phẩm tốt trong ba sản phẩm do nhà máy sản xuất’’ thì

ít xuất hiện, sự kiện ra mặt có số chấm 4 ít xuất hiện hơn

Như vậy trong một phép thử, một sự kiện có mức độ hay khả năng xuất hiện mà ta muốn đánh giá hay đo bằng một con số Giả sử A là biến cố của một phép thử nào đó, ta tìm được một con số để đánh giá mức độ xuất hiện của nó thì ta sẽ gọi con số đó là xác suất của biến cố A, ký hiệu P A( ) Khi đó P A( ) = 1 nếu A là biến cố chắc chắn và P A( ) = 0 nếu A là biến cố không thể

Vậy xác suất của biến cố là một số biểu thị khả năng xảy ra của biến cố đó

khi thực hiện phép thử

Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất, tùy theo mức độ hiểu biết về kiến thức toán học ta có thể lần lượt đưa ra các định nghĩa sau

1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Để có được định nghĩa, người ta luôn giả thiết rằng phép thử T chỉ có một

số m hữu hạn các kết quả và các kết quả này là đồng khả năng, nghĩa là khi tiến

hành phép thử các biến cố có khả năng xuất hiện như nhau

Định nghĩa 1.4.1.1 Xác suất của biến cố A là tỷ số giữa trường hợp thuận lợi cho A và số kết quả của phép thử, hay

( ) m

P A

n

=

Trong đó, m là số trường hợp thuận lợi cho A

n là số kết quả có thể xảy ra của phép thử

Tính chất 1.4.1.2

i) Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 <P A( ) 1 < ;

ii) Nếu A là biến cố chắc chắn thì P A( ) 1 = ;

iii) Nếu A là biến cố không thể thì P A( ) 0 = ;

Như vậy nếu A là biến cố bất kỳ thì 0 ≤P A( ) 1 ≤

Ví dụ 1.4.1.3 Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất để

a) Mặt trên của nó có một chấm

b) Mặt trên của nó có số chấm là số chẵn

Giải

a) Gọi A là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có một chấm’’

Vì con xúc xắc cân đối, đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt là như nhau

Vì số kết quả có thể của phép thử n= 6 và số trường hợp thuận lợi cho A là 1

m= nên

1 ( ) 6

P A = b) Gọi B là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có số chấm là số chẵn’’ Số khả năng thuận lợi choBlà n= 3

Vậy,

3 1 ( )

6 2

P B = = Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển chỉ áp dụng để tính xác suất khi phép thử có hữu hạn các kết quả và các kết quả là đồng khả năng Tuy nhiên trên thực tế ta thường gặp những phép thử không có những tính chất đó Chẳng hạn, bắn đạn vào bia là một phép thử không đồng khả năng (xạ thủ A bắn 10

phát đạn vào bia, đợt 1 bắn trúng 7 viên nhưng đợt 2 chưa chắc bắn trúng được 7 viên)

1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov

Tiên đề 1: P A( ) 0 ≥ với mọi biến cố A

Tiên đề 2 : Nếu tập các biến cố A1, A2, …, An xung khắc với nhau từng đôi một thì :

1 1

( n) ( )n

n n

i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì biến cố tích A B là

biến cố không thể Khi đó

P A∪B =P +ii) Với A là biến cố bất kỳ trong một phép thử Khi đó xác suất của

biến cố đối lập của A là

P A

=

=

Ví dụ 1.5.1.2 Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên ở

Quảng Bình, 4 sinh viên ở Hà Tĩnh và 5 bạn còn lại ở Nghệ An Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15 Bạn hãy chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cửa Tìm xác suât để

a, Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê?

b, Có đúng 2 sinh viên cùng quê?

c, Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê?

d, Không có sinh viên nào cùng quê?

A : “3 sinh viên được chọn cùng ở Nghệ An”

Khi đó A Q,A T,A N đôi một xung khắc và A=A Q∪A T ∪A N Do đó

3 2 3

6 5 5 3 15

1.5.2 Công thức nhân xác suất

a, Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.5.2.1 Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B

đã xảy ra được gọi là xác suất củaA với điều kiện B Ký hiệu P( / )A B

Ví dụ 1.5.2.2 Một túi đựng 5 quả cầu (trong đó có 2 quả màu trắng) hoàn toàn

giống nhau Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) lần lượt từ túi ra 2 quả cầu Tính xác suất để lần thứ hai được quả cầu trắng, biết rằng lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng?

Công thức (*) được gọi là công thức xác suất có điều kiện

b, Công thức nhân xác suất

Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ, từ công thức xác suất có điều kiện ta có

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

P AB =P B P A B⋅ =P A P B A⋅ ; Tổng quát ta có

P A A⋅ ⋅⋅⋅A =P ⋅P A A ⋅P A A A ⋅⋅⋅P A A A−

Định nghĩa 1.5.2.4

i) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P A B( / ) =P A( ), điều

đó có nghĩa là khả năng xảy ra của biến cố B không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố A Khi đó

( ) (A) P(B)

P AB =P ⋅ii) Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập trong toàn bộ nếu mỗi biến

cố bất kỳ trong chúng độc lập với giao của các biến cố còn lại, nghĩa là

1 ir

( k/ A A )i ( )k

d, Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử A1, A2, …, An lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố Khi đó với mỗi biến cố B ta có

Giải

Gọi A i là biến cố: “sản phẩm lấy được thuộc phân xưởng thứ i”, i= 1, 2,3;

B là biến cố: “sản phẩm lấy được là phế phẩm”

Khi đó A1, A2, …, An lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với

Giả sử A1, A2, …, An lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố và B là biến

cố nào đó của phép thử với P B( ) 0 > Khi đó với i= 1, 2, ,n ta có

( ) (B/ A ) ( / B)

Ví dụ Có 3 chuồng thỏ: chuồng thứ nhất có 3 con thỏ trắng và 2 con thỏ nâu,

chuồng thứ 2 có 4 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu, chuồng thứ 3 có 3 con thỏ trắng

và 3 con thỏ nâu Chọn ngẫu nhiên một chuồng và từ đó bắt ngẫu nhiên một con thỏ

b Biết con thỏ bắt được là con thỏ trắng Tìm xác suất để con thỏ đó thuộc chuồng thứ nhất

A: “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ 3”

B: “Con thỏ bắt được là con thỏ trắng”

Khi đó A1, A2, A3 lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với

1.6 Phân bố xác suất đều

Định nghĩa: Phân bố xác suất P trên không gian xác suất hữu hạn với N phần tử

} , ,

1 = = = Các phân bố xác suất đều là các phân bố quan trọng hay gặp trong thực tế

Lý do chính dẫn đến phân bố xác suất đều là tính đối xứng, cân bằng, hay hoán

vị được của các sự kiện thành phần

Ví dụ 1.6.1 Lấy một bộ bài tú lơ khơ mới có 52 quân, đặt nằm sấp Khi đó xác

suất để rút một con bài trong đó ra một cách tùy ý được con “2 Cơ” (hay bất kỳ con nào khác) bằng 1

52

Ví dụ 1.6.2 Giả sử một gia đình có 3 con Xác suất để gia đình đó có 2 con trai 1

con gái là bao nhiêu?

Giải Chúng ta có thể lập mô hình xác suât với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 gái

1 trai, 1 trai 2 gái, 3 gái Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng” với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là 1

4

Để có không gian xác suất với phân bố đều, ta có thể lập mô hình xác suất với 8

sự kiện thành phần như sau

{TTT TTG TGT TGT GTT, , , , ,GTG,GGT,GGG}

Ω =Trong đó, T là con trai, G là con gái Sự kiện ‘‘2 trai 1 gái’’ là hợp của 3 sự kiện thành phần trong mô hình xác suất này : TTG, TGT, GTT Như vậy, xác suất để gia đình đó có 2 trai, 1 gái là 3

8

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Bài toán Monty Hall

2.1.1 Giới thiệu về bài toán

Bài toán xuất phát từ một trò chơi truyền hình nổi tiếng của Mỹ là Let’s

make a deal (Nào cùng thỏa thuận) với người dẫn chương trình đồng thời cũng đồng sáng lập trò chơi tên là Monty Hall