Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS Tổng hợp bồi dưỡng Toán THCS
Trang 1Một số phương pháp cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
1 Phương pháp đặt nhân tử chung
2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
4 Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử
mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Ví dụ:
5 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
Ví dụ:
6 Phương pháp đặt biến phụ
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử
7 Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như là những đa thức có
dạng Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử
là
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
8 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp đồng nhất hệ số (phương pháp hệ số bất định) có cơ sở như sau:
Hai đa thức (dạng thu gọn ) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức phải bằng nhau
đề bài: phân tích x4−6x3+12x2−14x+3 thành nhân tử
theo công thức thì:
x4−6x3+12x2−14x+3=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
Đồng nhất hệ thức với đa thức, ta có hệ pt:
a+c=−6&ac+b+d=12&ad+bc=−14&bd=3(ngoặc nhọn) xét bd=3 với b,d∈Z, b∈+−−1,+−−3, với b=3 thì d=1, hệ pt trở thành:a+c=−6&ac=8&a+3c=−14⟹{2c=−8&ac=8⟹{c=−4a=−2
thế a,b,c,d vào, ta có:
x4−6x3+12x2−14x+3=(x2−2x+3)(x2−4x+1)
Bµi 2 Chøng minh (5 + 2 6)(49 − 20 6) 5 − 2 6 = 9 3 − 11 2
Trang 2− + + − với x≥0 , x≠1
a Rút gọn A b Tìm GTLN của A
HD: a)A =
1
x
x + x +
b)Nếu x = 0 thì A = 0
1
x
Theo bất đẳng thức Co si có: x min 2 x 1.Khi đó Amax =
3
x
x
Bài 3:
:
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1
A
HD: a) A = 9
6
x
x
+
2 9
)Xét hiệu: A - 0 A
x b
x x
−
+
a)Rút gọn A b)Tìm GTLN của A c)Tìm x để A = 1
2 3
≤
HD: a)A = 2 5
3
x x
−
x x
c)Xong d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dơng
Các bài tập luyện:
+
x y xy
x x y y
x y
y x
a)Rút gọn A b)CMR : A ≥0
HD: ) =
xy
a A
Với x,y 0
b A
x
1
x
x
Trang 3a)Rút gọn A b)Tìm x để A Z ∈ c)Tìm x để A đạt GTNN
HD:a)A = 1
1
x
x
−
+
) = − = − A nguyên⇔ nguyên nên đặt: = ∈ ⇔ = − ≥ ⇔ < ≤ ⇒ ∈ ; ⇒ ∈ ; ⇔ ∈ ;
n
c)Xong: x = 0, Amin = -1
Bài 16: Cho A =
2
.
−
a)Rút gọn A b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2 2 d)Tìm GTLN của A
HD:a) A = x (1 − x ) b,c,d(Quá cơ bản)
x − x x + x x
+ + − + với x≥0 , x≠1 a Rút gọn A b CMR : 0 ≤ ≤ A 1
HD: a) A =
1
x
x− x+ b)
Bài 24 :Cho biểu thức: B=
−
+
− + +
+ +
−
+
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x
x
a) Rút gọn B b) CMR 3B < 1 với điều kiện thích hợp của x
Bài 26 Cho biểu thức: D=
−
−
−
−
+
−
−
+
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
( x ≥ 0; x ≠ 9)
a) Rút gọn D b) Tìm x sao cho D<
3
1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 29 Cho biểu thức: G=
+
−
− +
−
−
−
−
− +
1 1
3 : 1 1 3 1
1 5 5
2
x
x x
x
x x
( x > 1; x ≠ 10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3
Bài 30 Cho biểu thức: H=
−
− + +
+
−
+
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
( x ≥ 0; x ≠ 9)
a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H
Bài 31 Cho biểu thức: K =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
+
+
−
−
− +
− +
−
x
x x
x x
x
x
( x ≥ 0; x ≠ 9) a) Rút gọn K b) Tìm x để K = 0,5 c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Trang 4Bài 32 Cho biểu thức: L =
4
12 +
−
−
x
x x
( x ≥ 2; x ≠ 3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó b) Tìm x sao cho L = 2x
Bài 33 Cho biểu thức: M=
−
− + +
+
−
+
1
1 1 1
2
x x
x
x x
x
x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x= 28-6 3 c) CMR : M<
3 1
Bài 34 Cho biểu thức: N =
−
+
− +
+
−
+ + +
+
1 1 1
1 : 1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
x
a) Rút gọn N b) Tính giá trị của N khi x= 4 + 2 3 ; y= 4 − 2 3 c) Biết x+ y =4 Tìm giá trị nhỏ nhất của N
xy x
y x
y y
y x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
( a) Tỡm điều kiện của x và y để P xỏc định Rỳt gọn P b) Tỡm x,y nguyờn thỏa món phương trỡnh P = 2
HD:
a) Điều kiện để P xỏc định là :; x≥0; y≥0; y≠1;x+ y≠0 (*).
P
=
=
x y x y x xy y xy
=
=
y
=
1
y
=
b) P = 2 ⇔ x + xy − y = 2⇔ x ( 1 + y ) ( − y + 1 ) = 1⇔( x −1 1)( + y) =1
Ta cú: 1 + y≥1⇒ x − ≤ 1 1 ⇔ ≤ ≤ 0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cúcỏc cặp giỏ trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả món
*Bài 36: Cho hàm số f(x) = x2−4x+4 a) Tớnh f(-1); f(5) b) Tỡm x để f(x) = 10 c) Rỳt gọn A =
4
) (
x
x f
khi x ≠ ± 2
HD:a)f(x) = x2−4x+4= (x−2)2 = x−2 => f(-1) = 3; f(5) = 3 b)
−
=
=
⇔
−
=
−
=
−
⇔
=
8
12 10
2
10 2 10
) (
x
x x
x x
f
c)
) 2 )(
2 (
2 4
) (
−
=
−
=
x x
x x
x
f
A
+)Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1 +
=
x
A ; +)Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
−
=
x A
Bài 37 Cho P = 2
1
x
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1 1
x x
+
−
Trang 5a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < 1
3 với x ≥ 0 và x ≠1
HD:a) Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠1
1
x
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1
x
+
2 ( ) 1
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1 1
x− =
2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1)
=
( 1)( 1)
−
x
x+ x+
b/ Với x ≥ 0 và x ≠1 Ta có: P < 1
3 ⇔
1
x
x+ x+ <
1
3 ⇔ 3 x < x + x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 )
⇔ x - 2 x + 1 > 0⇔ ( x - 1)2 > 0 ( Đúng vì x ≥ 0 và x ≠1)
*Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức:
A =
5
3
1
1
1
+ + + 97 99
1
+
HD: A =
5
3
1
+ + 5 7
1
+ + 7 9
1 + + + 97 99
1
1
( 5 − 3+ 7 − 5+ 9 − 7+ + 99 − 97)
=
2
1
( 99 − 3)
+
+ +
−
+
ab
b a ab
b a
1
+ + +
ab
ab b a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a =
3 2
2
− c) Tìm giá trị lớn nhất của D
HD: a) - Điều kiện xác định của D là a ≥ 0 ; b ≥ 0 ; ab ≠ 1
−
+
ab
a
b
a
1
2
2
: − + +
ab ab b a
2
+
a a
1
2 3 2
4 3
− c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :2 a ≤ a + 1 ⇒ D ≤ 1 Vậy giá trị của D là 1