Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD và gĩc giữa AD với mặt phẳng BCD.. Gọi O là trung điểm của BD, tính khoảng cách từ O đến mặt phẳn
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN THI HKII KHỐI 11 A.GIỚI HẠN ÔN TẬP :
I Đại Số :
1 Tính giới hạn của hàm số
2 Hàm số liên tục :
- Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
- Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
3 Tính đạo hàm của hàm số ( bỏ đạo hàm cấp hai )
4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
II Hình Học :
1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
3 Tính góc và khoảng cách ( bỏ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau )
B BÀI TẬP ÔN TẬP :
I.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ :
1.Tính giới hạn dạng 0
0
Bài tập
a Dùng hằng đẳng thức
2 2
VD: Tính các giới hạn sau:
a
3 2 1
2 2 lim
3 3
x
x x
→
−
− b
3 2 2
8 lim
6 24
x
x x
→−
+
− c →−
− +
4 3 1
1 lim
1
x
x x
b Dùng cách phân tích đa thức
ax + + =bx c a≠ có hai nghiệm
1; 2
ax + + =bx c a x x− x x−
VD: Tính các giới hạn sau:
a
2 2 3
3 10 3 lim
5 6
x
→
− + − b. →−
− + + +
2 3 2
6 lim
8
x
x c
2 2 5
2 11 5 lim
6 5
x
→
c Dùng cách nhân liên hiệp
( )( )
( )( )
2
2
A B
VD: Tính các giới hạn sau:
2
3 2 2 lim
4
x
x x
→
− −
− b 1 2
2 1 lim
12 11
x
→
c
→
+ −
2
8 2 lim
7 3
x
x d →
−
4
5 2 1 lim
4
x
x
2 Tính giới hạn dạng ∞
∞
- Bậc cao nhất của tử nhỏ hơn hoặc bằng
bậc cao nhất của mẫu thì đặt x mũ bậc cao
nhất của mẫu làm nhân tử chung.
- Bậc cao nhất của tử lớn hơn bậc cao nhất
của mẫu thì đặt x mũ bậc cao nhất của tử và
mẫu ra để đơn giản.
VD: Tính các giới hạn sau:
a
→−∞
−
−
3 lim
2 1
x
x
x b 2
1 lim
4 3
x
x
→+∞
−
− + c
2
lim
1
x
x
→−∞
+ −
−
d
→+∞
+
−
3 4 lim
2 2
x
x
x e. →−∞
+
2
3 2
lim
x
x
x x f →+∞
−
2
lim
2
x
x
Trang 23 Tính giới hạn dạng ∞ ± ∞
- Đặt x làm nhân tử chung k
- Nhân liên hiệp khi đặt xong có dạng 0∞
Lưu ý : 2 khi
khi
→ +∞
VD: Tính các giới hạn sau:
a.lim( 9 2 1 3 )
→−∞ + − b lim→+∞( 2+2 + +3 )
c lim 4( 16 2 1)
→−∞ − + d lim( 2 2 )
x x x x
→+∞ + −
e lim→−∞( 2+3 + )
→+∞
4 Các dạng khác
lim k
x x
→+∞ = +∞ và lim khi k chan
khi k le
k
x x
→−∞
+∞
= −∞
VD: Tính các giới hạn sau:
a
3
x
x
→−∞
b
2 2 lim
1 2
x
x
→−∞
−
1
lim
−
d →−
2
1 12 lim
5.Giới hạn một bên
Khi x→a− thì x a< Khi x→a+ thì
x a>
khi A 0
khi A 0
A
A
A
≥
VD: Tính các giới hạn sau:
a
2 1
lim
1
x
x
−
→
− +
− b 2 2
2 lim
x
x
+
→
−
c
2
3 lim 2
x
x x
+
→
−
− d → −
−
−
3
1 2 lim
3
x
x x
6.Tính giới hạn dùng
0
sin lim
u
u u
0
tan lim
u
u u
→ 0
sin3 lim
x
x
x b →
−
2 0
1 cos lim
x
x
x c →
−
0
sin sin3 lim
x
x
II HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
- Hàm đa thức liên tục trên R
- Hàm phân thức ( )
( )
f x
g x liên tục trên TXĐ
- Hàm số f x liên tục tại ( ) x khi thỏa mãn 0
3 điều kiện :
+ f x xác định tại ( ) x Tính được 0 f x( )0
+ Tồn tại ( )
0
lim
x x f x
→
lim lim
x x x x
+ ( ) ( )
lim
x x f x f x
VD: Xét tính liên tục của các hàm số tai các điểm đã chỉ ra :
a) ( )
2 4
2
4 khi 2
x
x
x
= +
tại x= −2
b) ( )
2
7 10
khi 5 5
8 khi 5
x
tại x=5
c) ( ) 21 1 1 khi 1
3 khi 1
x
x
>
tại x=1
d) ( )
2
khi 2 2
1 khi 2
x x
f x
=
tại x=2
2 Chứng minh phương trình có nghiệm
- Biến đổi phương trình về dạng f x( ) =0
liên tuc ;
f a f b
<
VD: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm :
a) x5+ + =x 1 0 b) x3+2x− =5 0 trong khoảng ( )1;2 c) x3+3x2−4x− =7 0 trong khoảng (−2;0)
d) 2x3−10x− =7 0 có ít nhất 2 nghiệm e) − +x5 4x− =1 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( )0; 2 f)
4 3 2 5 6 0
x − x + x− = có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
Trang 3III TÍNH ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN :
Các quy tắc tính đạo hàm
(u v w+ − )'= + −u v w' ' ' ( )k u '=k u.( ) ' ( k là hằng số )
( )u v '=u v uv' + '
'
2
−
=
÷
(v≠0) ( )k ' 0= ( k là hằng số ) ( )x ' 1=
Đạo hàm các hàm số thường gặp Đạo hàm hàm hợp các hàm số thường gặp
( )n ' n 1
' 2
= −
÷
( )' 1
2
x
x
=
( )' sinx =cosx
cosx = −sinx
2
1 tan
cos
x
x
=
2
1 cot
sin
x
x
= −
'
n n
' 2 '
= −
÷
( )' '
2
u u
u
=
sinu =u'.cosu
cosu = −u'.sinu
2
' tan
cos
u u
u
=
2
' cot
sin
u u
u
= −
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y x = −3 x2 − 2x 5 −
4)y x= 4−3x2+2 5) y= −3x4+ +x2 2x 6) 4 2 3 2
4 1
2 3
10) y 3
2x 1
=
1 3x
+
=
+
3x 4 y
2x 2
13) y x2 3x 3
x 1
− +
=
x 3
− +
=
− +
2
3x 2 y
1
y x
x
= +
1 3
2 5
x
= − +
1
3 1
y x
x
= −
−
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x 1
+
= − ÷
(x 1)
+
=
− + f) y = −(3 2x2)3
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2x 2 − 5x 2 + b) y = x2− 4x 3 + c) y = x + x
*d) y x3
x 1
=
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
sinx cosx
cos x
Trang 4Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y sinx 2
1 cosx
= + ÷
4
e) y = sinx 2x + f) y tanx = +2tan x3 +1tan x5
x 1
+
= ÷÷
−
Bài 6: Giải các phương trình và các bất phương trình sau :
a) ' 0 cho 3 2 6 1
3 2
5 3
c) ' 4 cho 3 2 2 3
3 2
y ≤ y= + − x+ d) y' 0 cho≥ y x= 4−2x2
e) ' 1y = cho y=sin4x+cos4 x f) 'y = 2 cho y= 3 sin 2x+cos 2x x− 2 1+
Bài 7: Cho hàm số y x x= Chứng minh rằng: 2 ' 3y y − y x =0
Bài 8: Cho hàm số y=sin4x−cos4x Chứng minh rằng: 1−y'.sin 2x=cos 4x
Bài 9: Cho hàm số: ( )3
2 1
y= +x x + Chứng minh rằng: (1+x y2) ''+xy' 9− y=0
Bài 10: Cho hàm số: y=tan - cotx x Chứng minh rằng: ( 2 ) 2
' tan 2 4 4 tan 2
Bài 11: Cho hàm số: y 1
x
= Chứng minh rằng: 2x y ' x y '' 1+ 3 =
Bài 12: Cho hàm số: y= 1 x− 2 Chứng minh rằng: (1- x )y'' - xy' + y = 0 2
IV Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
+ Do x0 =? suy ra y0 = f x( )0
3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm Ta có: f (x ) k ′ 0 = (ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y 0 = f(x ) 0
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
Bài 1: Cho hàm số 4 3
1
x y
x
−
=
− cĩ đồ thị ( )C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm cĩ tung độ bằng 7
2
− c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh
d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của đồ thị với Oy
Trang 5Bài 2: Cho hàm số (C): y f(x) = =x3-2x2+ 3x -1
3 Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm M(3 ; -1) b) Tại điểm có hoành độ x0 = -3 c) Tại điểm có tung độ bằng -1 d) Song song với đường thẳng 3x – y + 10 = 0 e)Vuông góc với đường thẳng x - y -3 = 0
Bài 3: Cho hàm số (C): y f(x) x = = 4− 5x2+ 4 Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x0 = -2 b) Tại điểm có tung độ bằng 4 c) tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc là -9
Bài 4: Cho hàm số (C): ( ) 1
1
x
x
+
− Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm M(2 ; 3) b) Tại điểm có hoành độ x0 = -2 c) Tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 5: Cho hàm số = = − +
−
2
y f(x)
x 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Bài 6: Cho hàm số y f(x) 3x 1
1 x
+
− (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng y= −2.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y x 2011 = +
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với d: x 16y 64 0 + + =
Bài 7: Cho hàm số (C): y x = − 3 3x 2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0
Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ AB⊥(BCD)và 3
2
a
AB= Biết đáy là tam giác BCD cân tại C, ·CBD=1200và 2
CD= a Gọi M là trung điểm của CD
a Chứng minh CD⊥(ABM)
b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ) (ACD )
c Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (ACD và ) (BCD )
Bài 2: Cho tứ diện ABCD cĩ AB⊥(BCD) Biết đáy là tam giác BCD vuơng cân tại C,CD=2a và gĩc giữa
đường thẳng AC và mặt đáy(BCD bằng ) 60 0
a Chứng minh (ABC) (⊥ ACD).
b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD và gĩc giữa AD với mặt phẳng) (BCD )
c Gọi O là trung điểm của BD, tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ACD )
Bài 3: Cho tứ diện ABCD cĩ (ABC) (⊥ DBC), tam giác ABC đều cạnh a và tam giác BCD vuơng cân tại B
Gọi H, K và I lần lượt là trung điểm của BC, CD và CK
a Chứng minh:(AHK) (⊥ ABC)và CD⊥(AHI)
b Tính gĩc giữa AK và AI với mặt phẳng(BCD )
c Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ACD )
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a Chứng minh AB⊥(MCD) và (ABP) (⊥ BCD)
b Gọi H là trực tâm của tam giác BCD Chứng minh AH ⊥(BCD) và tính chiều cao hình chĩp
c Tính gĩc giữa MN với (BCD Gọi K là hình chiếu của M lên ) (BCD ,CMR ) NK =2BK
Trang 6Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC), đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết SA AB= =2a
a Chứng minh:(SAB) (⊥ SBC) và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) (ABC )
b Gọi M là trung điểm của AB và AK là đường cao của ∆ACM.Tính góc giữa(SCM và ) (ABC )
c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM )
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SA⊥(ABCD)và góc hợp bởi
(SBD với mặt đáy bằng ) 60 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của SB và SD.0
a Chứng minh rằng: (SAB) (⊥ SBC) ,(SCD) (⊥ SAD)và SC⊥(AHK)
b Gọi P là trung điểm SC Chứng minh OP⊥(ABCD) và tính chiều cao hình chóp
c Tính góc giữa SD với mặt đáy và khoảng cách từ O đến SC
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,(SAB) (⊥ ABCD)và SAB là tam giác đều Gọi I và H lần lượt là trung điểm của AB và CD
a Chứng minh rằng: AI ⊥(ABCD) và (SIC) (⊥ SHD)
b Tính góc giữa CD và SA , góc giữa SC với mặt đáy của hình chóp
c Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SHD )
Bài 8: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Gọi M,N,P lần lượt là trung
điểm của AB,BC và CD Biết góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 0
a Chứng minh rằng: MP⊥(SAC) và (SMP) (⊥ SCD)
b Tính chiều cao của hình chóp
c Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD )
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a Biết ·BAD=600,
3 2
a
a Xác định và tính chiều cao hình chóp Chứng minh rằng : AC=3AH
b Chứng minh rằng: (SAC) (⊥ ABCD) và SBD∆ vuông tại B
c Tính góc giữa (SBD và ) (ABCD )
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết SA⊥(ABCD),AD=2a
a Chứng minh rằng : BH ⊥(SAC) và (SAC) (⊥ SCD)
b Biết góc giữa SD với mặt đáy bằng 30 Tính chiều cao hình chóp và góc giữa 0 (SCD và ) (ABCD )
c Gọi O là giao điểm của AC và BH Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD )
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy Abc là tam giác đều cạnh a Gọi I và I’ lần lượt là trung
điểm của AB và A’B’ Biết góc giữa (A BC và ' ) (ABC bằng ) 60 0
a Chứng minh AB⊥(CII') và (MBC) (⊥ AA B B' ' )
b Tính khoảng cách từ A' đến (ABC và khoảng cách từ I đến CI’.)
c Tính góc giữa A’B và B’C’
Bài 12: Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BB’ và A’B’
a Chứng minh (MAD) (⊥ CDD C' ') và BN ⊥(DAM).
b Tính góc giữa CN với (AA B B ' ' )
c Tính khoảng cách từ AB đến (A B CD ' ' )
Trang 7Bài 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại C, AB⊥(BCD) , BC a= và AD a= 6.
Kẻ BH,BK lần lượt vuông góc với AC,AD tại H và K
d Chứng minh CD⊥(ABC) và (BHK) (⊥ ACD)
e Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD và khoảng cách từ B đến ) (ACD)
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông cân tại A và tam giác BCD vuông tại D lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau Gọi M là trung điểm của BD, AN là đường cao của tam giác ABC và MH là đường cao của tam giác AMN Cho biết AD CD a= = 6
a Chứng minh AM ⊥(BCD) và MH ⊥(ABC)
b Chứng minh (ACD) (⊥ ABD)
c Tính khoảng cách từ AM đến BC và khoảng cách từ H đến mp BCD ( )
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có các cạnh đều bằng a
a Chứng minh (SAC) (⊥ SBD)
b Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,AB,BC Chứng minh (MNP) (⊥ ABCD)
c Tính khoảng cách S đến mp ABCD và khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) (MNP và ) (SAC )
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SA⊥(ABCD)và góc hợp bởi SC với mặt đáy bằng 60 Kẻ AM và AN lần lượt vuông góc với SB và SD.0
d Chứng minh các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông
e Gọi P là trung điểm SC Chứng minh OP⊥(ABCD) và (AMN) (⊥ SAC)
f Tính khoảngng cách từ A đến SC và khoảng cách từ OP đến AB
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đáy lớn AD và SA⊥(ABCD) Cho biết
a Chứng minh AH ⊥(SBC)
b Chứng minh (AHK) (⊥ SCD)
c Biết góc hợp bởi SD với mặt đáy bằng 30 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy 0
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đáy lớn AD và SA⊥(ABCD) Cho biết
a Chứng minh AH ⊥(SCM)
b Chứng minh (SAB) (⊥ SBC)
c Tính khoảng cách giữa AB và SC, AB và SD
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA⊥(ABCD)và AB a AD= ; =2a
a Chứng minh (SAC) (⊥ SBD)
b Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD Chứng minh SC⊥(AHK)
c Biết góc giữa SB với mặt đáy bằng đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.0
Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a= = ; AC a= 2 và AA' 2= a 3.M là trung điểm AA’
d Chứng minh AB⊥(BB C C' ' ) và (MBC) (⊥ AA B B' ' ).
e Tính khoảng cách giữa AA' và BC
Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a= = ; AC a= 2 và M là trung điểm AC
b Chứng minh AB'⊥BC và (BC M' ) (⊥ AA C C' ' )
c Tính khoảng cách giữa AA' và BC
Trang 8Bài 11: Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’ các cạnh đều
bằng a
d Chứng minh (MAD) (⊥ CDD C' ') và AC⊥(BB DD' ')
e Tính khoảng cách BD và B’C’ và khoảng cách giữa MN và CC’
Bài 12: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a= = =
a Chứng minh các mặt phẳng (OBC) (, OAC) (, OAB đôi một vuông góc.)
b Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh (ABC) (⊥ OAM).
c Tính khoảng cách giữa OA và BC và khoảng cách từ O đến mp ABC ( )
Bài 13: Cho hình chóp OABC có OA OB OC a= = = và ·AOC=120 ;0 BOA· =60 ;0 ·BOC=900
a Chứng minh tam giác ABC vuông
b Gọi M là trung điểm AC Chứng minh tam giác BOM vuông
c Chứng minh (OAC) (⊥ ABC), tính khoảng cách từ O đến (ABC )
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA CB= =2a, hai mặt phẳng
(SAB và ) (SAC vuông góc với mặt đáy và ) SA= a.Gọi D là trung điểm của AB
a Chứng minh (SCD) (⊥ SAB)
b Tính khoảng cách từ A đến (SBC )
c Tính khoảng cách giữa AB và SC
Bài 15: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a= = = và ·AOC=60 ;0 ·BOA=60 ;0 ·BOC=900
a Chứng minh ABC là tam giác vuông
b Chứng minh OA⊥BC Gọi I,J lần lượt là trung điểm của OA và BC
Tính khoảng cách giữa OA và BC