Bài tập có đáp án chi tiết về hàm số liên tục lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.. b..[r]

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI 6: HÀM SỐ LIÊN TỤC

PHẦN 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1 Hàm số liên tục:

+) Cho hàm số yf x( )xác định trên K và x0K Hàm sốyf x( )liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim ( )0 ( )0

x x f x f x

+) Hàm số yf x( ) liên tục trên một khoảng a b; nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó

+) Hàm số yf x( ) liên tục trên a b;  nếu nó liên tục trên a b;  và lim ( ) ( ),





x a f x f a

lim ( ) ( )







x b f x f b

2 Các định lý:

a Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

b Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại x0thì cũng liên tục tại x0

c Nếu hàm số yf x( )và y g x ( )liên tục tại x0 và g x( ) 00  thì hàm số

( ) ( )

f x y

g x liên tục tại x0

d Cho hàm số yf x( )liên tục trên a b; và f a f b( ) ( ) 0 Khi đó phương trình f x( ) 0

có ít nhất một nghiệm trên a b; 

PHẦN 2 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN.

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.

Loại 1: Hàm số có dạng:

   

 

, khi , khi









f x

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0)

Bước 2: Tính    

x x f x x x f x L

Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

+ Nếu f2(x0) L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

Ví dụ 1 Giá trị nào của tham số m để hàm số

 

2

2

1 , khi 1 1

 





 



x

x

m khi x liên tục tại x1

Đáp án : C.

Cách 1 : (Tự luận)

Ta có : f 1 m2 4

2

1

1





x

Hàm số liên tục tại x1khi và chỉ khi lim1    1 2

Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn :

2 1

1 lim

1

 





x

x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu thức trên

máy tính (CALC) với giá trị x 1 1010 ta được kết quả : 2

Ví dụ 2 Hàm số có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Đáp án : C

Cách giải : (Quan sát đồ thị)

Quan sát đồ thị ta thấy    

x f x x f x

x f x x f x

nên lim1  

x f x

 không tồn tại Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x  1

Ví dụ 3 Cho hàm số

 

, khi 2 2

, khi 2







x

x

a x Tập hợp các giá trị của a để hàm số

liên tục tại x2

A  1

1

2 6

1 6

1

2 6



Đáp án : B

Cách 1 : (Tự luận)

Ta có : f  2 a

 

 

x

f x

Hàm số liên tục tại x2khi và chỉ khi lim2    2 1

2 6

Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn : 1

lim

2

 

 



x

x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu

thức trên máy tính (CALC) với giá trị x 2 1010 ta được kết quả gần bằng : 0.2042 Trong các kết quả

đã cho của đề bài thì kết quả trên gần với

1

2 6

  nhất

Loại 2: Hàm số có dạng:

   

 

khi khi









f x

Bước 1: + Tính    

x x f x x x f x L

lim lim

x x f x x x f x L

+ Tính f x 0 f x1 0 L

Bước 2: + Nếu L L thì hàm số liên tục bên phải tại  1 x 0

+ Nếu L L thì hàm số liên tục bên trái tại  2 x 0

+ Nếu L L 1 L thì hàm số liên tục tại 2 x 0

* Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0.

Ví dụ 4 Cho hàm số

 

 2 2 2

1 , 1

3 , 1 , 1









Tìm k để f x 

gián đoạn tại x1.

A k2 B k2 C k2 D k1

Đáp án : A.

Cách 1 : (Tự luận)

TXĐ: D.

Với x1 ta có : f  1 k2

Với x1 ta có :

x f x x x

x f x x x

suy ra  

1

x f x

Vậy để hàm số gián đoạn tại x1khi   2

1

lim

x f x k  k2 4 k2.

Cách 2: Sử dụng MTCT

Ví dụ 5 Cho hàm số

 

2 , khi 1 1

2 3 , khi 1

 





x

nhất:

A Hàm số liên tục tại x0 1. B Hàm số liên tục tại mọi điểm.

C Hàm số gián đoạn tại x0 1. D Tất cả đều sai

Đáp án : C.

Cách 1 : (Tự luận)

Ta có : f  1 1 và    

1



 



x f x

   

2

f x

Suy ra :    

   



x f x x f x

Vậy hàm số gián đoạn tại x1

Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn :  1 

2 lim

1



 



x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu

thức trên máy tính (CALC) với giá trị x 1 1010 ta được kết quả gần bằng : 1.4999 Trong khi đó giá trị hàm số tại x1 bằng 1 Vậy hàm số gián đoạn tại x1.

DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN MIỀN D

Ví dụ 6 Cho hàm số f x  x2 4

Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f x 

liên tục tại x2. (II) f x 

gián đoạn tại x2. (III) f x 

liên tục trên đoạn 2; 2

A.Chỉ (I) và (III) B.Chỉ (I) C.Chỉ (II) D.Chỉ (II) và (III)

Đáp án : B.

Cách 1 : (Tự luận)

Ta có: Tập xác định của hàm số D    ; 2  2;

x f x x x

 2 0

f

Vậy hàm số liên tục tại x2.

Cách 2: Sử dụng MTCT Tính giá trị hàm số f x   x2 4 tại x0 ta thấy máy báo lỗi Math Error ( do f x  không xác định tại x0 ), nghĩa là hàm số không liên tục trên đoạn 2; 2

và giá trị hàm số tại x2 là 0 nên hàm số liên tục tại x2.

Ví dụ 7 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f x  x5 3x21liên tục trên 

(II)

  21

1





f x

x liên tục trên 1;1

(III) f x   x 2liên tục trên đoạn 2; .

A.Chỉ (I) và (III) B.Chỉ (I) C.Chỉ (II) D.Chỉ (II) và (III)

Đáp án : A.

Cách 1 : (Tự luận)

Hàm số (I) f x  x5 3x21 là hàm đa thức nên liên tục trên 

Hàm (III)

    2

liên tục trên 2;

và    

2





x f x f

nên hàm số liên tục trên

2; 

Cách 2: Các hàm số được học đều liên tục trên tập xác định của nó Ta thấy hàm số (II) xác định khi

21 0

x , do đó hàm số (II) gián đoạn trên 1;1

Ví dụ 8 Cho hàm số

 

, 0 3

, 9

 









x

x x

x x

Giá trị của m để f x 

liên tục trên

0; 

là :

A.

1

1

1

Đáp án : C.

Cách 1 : (Tự luận)

Với x0;9

:  3 9 x

f x

x liên tục trên 0;9

Với x9; : f x  3

x liên tục trên 9;  Với x0 ta có f  0 m.

Ta có  



x

f x

1 lim







1 6



Vậy để hàm số liên tục trên 0; 

khi nó phải liên tục tại x0   

0

lim





6

 m

Cách 2: Sử dụng MTCT Dễ dàng thấy hàm số liên tục trên 0;  nên ta chỉ cần tìm điều kiện để

nó liên tục phải tại x0

Tính  



x

f x

x bằng cách tính giá trị hàm số

3 9 x

x tại 0 10 10

 (sử dụng chức năng CALC) được kết quả gần bằng 0.1667 và f  0 m Vậy m0.1667.

Ví dụ 9 Cho hàm số

 

sin ,

2 , 2











x x

f x

ax b x





Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên  :

A.

2 1

a b











 

2 2

a b











 

1 0

a b











 

2 0

a b











 



Đáp án : D.

Cách 1 : (Tự luận)

Hàm số liên tục trên   hàm số liên tục tại 2



2 1

0 1

2

a b

a b

a b











DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.

3.1 Kiến thức cần nhớ :

Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a b; 

Nếu f a  f b 

thì với mỗi số thực M nằm giữa

 ,  

f a f b

, tồn tại ít nhất một điểm ca b; 

sao cho f c M

Ý nghĩa hình học :

y=M

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a b;  và M là một số thực nằm giữa f a f b ,  thì đường thẳng



y M cắt đồ thị của hàm số yf x  tại ít nhất một điểm có hoành độ ca b; .

Hệ quả :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a b; 

và f a f b    0

thì tồn tại ít nhất một điểm ca b; 

sao cho f c  0

Ý nghĩa hình học của hệ quả :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a b; và f a f b    0thì đồ thị của hàm số yf x  cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ ca b; .

3.2 Phương pháp giải

Cho phương trình f x 0 * 

Để chứng minh phương trình  *

có k nghiệm trong a b; 

, ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số a T 1T2  T k1 b chia đoạn a b; 

thành k đoạn thỏa mãn :

   

   

1

1







f a f T

f T f b

Hàm số yf x  liên tục trên a b;  nên liện tục trên k đoạn a T; 1 ; T T1; 2; ;T k1;b

Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình  * trên a b; .

3.2 Các ví dụ :

Ví dụ 10 Số nghiệm thực của phương trình : 2x3 6x 1 0 thuộc khoảng 2; 2

là :

Đáp án : D

Hướng dẫn giải :

Cách 1: Xét hàm số f x 2x3 6x1

liên tục trên 2; 2

y

O

Y=F(x) F(b)

F(a)

x

Ta có : f 2 3;f  0 1;f  1 3;f  2 5

Suy ra : f 2   f 0 0

; f    0 1f 0

và f    1 f 2 0

Do đó phương trình : 2x3 6x 1 0có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng 2; 2

Cách 2 : Sử dụng MTCT

+ Bấm máy tính giải phương trình bậc 3 (Mode + 5 + 4)

+ Sử dụng chức năng Table (Mode + 7) với hàm số : f x  2x3 6x1

Start: -2

End : 2 Step : 1

Ví dụ 11 Cho phương trình   4 2 1

8

Chọn khẳng định đúng:

A Phương trình  1

có đúng một nghiệm trên khoảng 1;3

B Phương trình  1

có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;3

C Phương trình  1

có đúng ba nghiệm trên khoảng 1;3

D Phương trình  1

có đúng bốn nghiệm trên khoảng 1;3

Đáp án : D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số   4 3 1

8

liên tục trên 1;3

Ta có :  1 23;  0 1; 1 1 ;  1 9;  3 23

 

 

Suy ra : f 1   f 0 0

;  0 1 0

2

 



 

 

; 1 1  0 2

 



 

 

và f    1 f 3 0

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng 1;3

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 1;3

Cách 2: Sử dụng chức năng Table trên MTCT:   4 3 1

8

Start: 1, End: 3, Step: 0.2 ta được kết quả như sau:

Quan sát kết quả ta thấy giá trị của f x 

tại các điểm trong khoảng 1;3 đổi dấu 4 lần Mà phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực Vậy phương trình  1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng 1;3

Do đó D là đáp án đúng

Cách 3: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương

trình trong khoảng 1;3  Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên

Ví dụ 12 Cho phương trình x3ax2bx c 0 (1) trong đó a b c, , là các tham số thực Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A Phương trình  1

vô nghiệm với mọi a b c, ,

B Phương trình  1

có ít nhất một nghiệm với mọi a b c, ,

C Phương trình  1

có ít nhất hai nghiệm với mọi a b c, ,

D Phương trình  1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a b c, , .

Đáp án : B.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Dễ thấy a b c   thì phương trình 0  1

trở thành x3  0 x0.

Vậy A, C, D sai Do đó B đúng

Cách 2 :

Đặt   3 2

f x x ax bx c

Ta có:

       

x x ax bx c

với mọi a b c, , nên tồn tại một giá trị x x sao cho  1 f x 1 0

     

x x ax bx c

với mọi a b c, , nên tồn tại một giá trị x x sao cho  2 f x 2 0

Vậy f x   1 f x2 0

mà f x 

liên tục trên  nên suy ra f x  0

có ít nhất một nghiệm trên khoảng x x1; 2

Từ đó suy ra ĐPCM

Kinh nghiệm

Phương trình đa thức bậc lẻ trong đó hệ số bậc cao nhất khác 0 luôn có ít nhất một nghiệm

Ví dụ 13 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm:

2m2 5m2 x12017x2018 22x 3 0

A

1

\ ; 2

2

m  



2

m    

C

1

; 2

2

m   

Đáp án : D.

Hướng dẫn giải.

+ Nếu 2m2 5m 2 0 thì phương trình đã cho trở thành

3

2

+ Nếu 2m2 5m 2 0 phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết quả

ở ví dụ 12, phương trình có ít nhất một nghiệm

Vậy với mọi m  , phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm

Ví dụ 14 Phương trình 2x6 13  x 3 có bao nhiêu nghiệm thuộc ( 7;9).

Đáp án : C.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Đặt t31 x Khi đó phương trình đã cho có dạng 2t3 6 1 0.t 

Xét hàm f(t) 2 t3 6t1 liên tục trên R

Ta có ( 2)f  3,f(0) 1, f(1) 3,f(2) 5 Suy ra :

 f( 2).f(0)  3 0 , phương trình có một nghiệm t1 ( 2;0) Khi đó

3 3

 f(0).f(1) 3 0 , phương trình có một nghiệm t1(0;1) Khi đó

3 3

 f(1).f(2)15 0 , phương trình có một nghiệm t1(1; 2) Khi đó

3 3

Cách 2: Sử dụng chức năng giải phương trình trên MTCT (SOLVE) để kiểm tra số nghiệm

của phương trình

PHẦN 3 BÀI TẬP

Câu 1. Cho hàm số

 

2 3

1

6





x

b khi x b Tìm b để f x liên tục tại x3.

2 3

2 3 3



Đáp án

Chọn D.

Câu 2. Cho hàm số

 

2 3 khi 3 3

2 3 khi 3





 



x

x

x Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I

f x 

liên tục tại x 3

 II

f x 

gián đoạn tại x 3

III

f x 

liên tục trên 

A Chỉ  I

và  II

và III

C Chỉ  I

và III

, II

,III đều đúng

Lời giải

Chọn C.

Câu 3 Hàm số nào sau đây không liên tục tại x1 :

A

 

2 1 khi 1 1

3 1 khi 1

 





 



x

x

2 2 khi 1

2 3 khi 1





f x

C

 

2

khi 1 1

2 1 khi 1







x

 

1

- khi 1

2 3 khi 1











x

Lời giải

Chọn D.

Câu 4. Hàm số  

2 2

1 5x 6

x

f x

x





  liên tục trên khoảng nào sau đây?

A.  ;3 B. 2;3

C. 3;2 D. 3;  

Lời giải

Chọn B.

Câu 5. Cho a và b là các số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

 

2

1 1 khi 0

4 5 khi 0

ax

x







A. a5b B. a10b C. a b D. a2b

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Theo kết quả đã biết thì lim0   lim0 1 1

2

f x

x

 

Mặt khác f 0 5b

Để hàm số đã cho

liên tục tại x  thì 0 lim0    0 5 10

2

x

a

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn các giá trị cụ thể của a và b thỏa mãn từng hệ thức rồi tính toán cho đến

khi được kết quả lim0    0

x f x f

Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn a5;b1 ta tìm được

  0

5 1 1 5

2

x

x

f x



 

nên không thỏa mãn Với hệ thức ở đáp án B, chọn a10;b1 ta được

  0

10 1 1

x

x

f x



 

nên thỏa mãn    

0

x f x f

Do đó đáp án là B

Kinh nghiệm:

1 1 lim

n

x



 



 

2

1

khi 2

x







 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để

hàm số liên tục trên 

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2;  

Ta có  2 3; lim2   lim2  2 4 3 3

Nếu m  thì 6 2   2 2

1

12 20

x

f x



  nên hàm số không liên tục tại x  2

Nếu m  thì ta có 6 2   2 2

x

f x



Để hàm số liên tục tại x  thì 2

3

6 m   m  m

Với m  thì khi 5 x  , 2   2

1

10 17

x

f x





  liên tục trên  ; 2 Tóm lại với m  thì hàm số đã cho liên tục trên 5 

Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2;  

Ta có  2 3; lim2   lim2  2 4 3 3

Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy m  thỏa mãn 5 lim2   3

x f x



Do đó chọn đáp án C

  32 2 khi 1

1 khi 1

f x





 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. f x 

liên tục trên  B. f x 

liên tục trên   ; 1

C. f x 

liên tục trên 1;  D. f x 

liên tục tại x  1

Lời giải

Chọn C.

 I

1







x

f x

x liên tục với mọi x1.

 II

f x sinx

liên tục trên 

III   x

f x

x liên tục tại x1.

A Chỉ  I đúng. B Chỉ  I và  II . C Chỉ  I và III. D Chỉ  II và III .

Lời giải

Chọn D.

 

2 2

2

khi 2,









f x

Giá trị của a để f x  liên tục trên  là:

A 1 và 2 B 1 và –1 C –1 và 2 D 1 và –2

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: D.

Với x 2 ta có hàm số   2 2



f x a x

liên tục trên khoảng  2; 

Với x 2 ta có hàm số f x   2 a x 2

liên tục trên khoảng  ; 2

Với x 2 ta có f  2 2a2

Để hàm số liên tục tạix 2

2

 a   a  a2 a 2 0

1 2





  



a

Vậy a1hoặc a2 thì hàm số liên tục trên 

 

2 3

, 1 2

, 0 1 1

sin , 0















x

x

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A f x  liên tục trên  B f x  liên tục trên \ 0 

C f x 

liên tục trên \ 1 

liên tục trên \ 0;1 

Lời giải

Chọn A.

Chọn khẳng định đúng: