Chuyên đề ôn thi vào chuyên toán ứng dụng bất đẳng thức trong giải hệ phương trình THCS

Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong số trước chúng ta đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình.Kì này, chúng ta s

Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong số trước chúng ta đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình.Kì này, chúng ta sẽ tiếp tục với dụng của bất đẳng thức trong hệ phương trình

Ưng dụng của bất đẳng thức trong giải hệ phương trình

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

3 16

x y

x y



 



Từ phương trình thứ nhất, ta nhận thấy x, y cùng dấu, kết hợp phương trình thứ hai suy ra x, y cùng dương.Ap dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta có

4 4 3

4

x y

x y xxxy   

Đẳng thức xảy ra x = y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2)

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

2 4

4







Cộng theo từng vế hai phương trình của hệ ta được

2

( x 32 x)  ( x 32 x)  y  6y 21 (*)

Theo bất đẳng thưc Bu- nhi-a-cốp-ski ta có

Suy ra ( x 32 x)  ( 4 x 4 32 x)  12

Mặt khác y2  6y 21  (y 3) 2  12 12 

32

16 32

3

3 0

x

y y







  

 Thử lại ta thấy (x;y) = (16;3) nghiệm đúng hệ phương trình, vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) =( 16; 3)

Ví dụ 7: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình

x y z 3

x y z xy yz zx







Lời giải:

x  x x  x x x x x  x

Suy ra x22 x3x

Tương tự y2  2 y 3 ;y z2  2 z  3z

Mặt khác, vì x + y + z =3 nên cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có

Suy ra x y  zxyyzzx

Đẳng thức xảy ra x2  x y; 2  y z; 2  z x; y  z 3 x yz 1

Vậy bộ số thực dương (x; y; z)duy nhất thỏa mãn hệ phương trình là (1; 1; 1 )

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

x y y z z x xyz x y z







(Phần Lan – 1997)

3(x y z )(xyz)

1 ( xyz) ; (1)

3(x y y z x z )  (xy  yz  xz)

x y y z x z x yz2 y xz2 z xy2

x y y z x z ) 2

(x y z)

   (x yz2 y zx2 z xy2 ) xyz x( yz)3

x y y z z x xyz x y z

3

x y z

trình Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) là ( ; ; )1 1 1

3 3 3 và

1 1 1

Bài tập luyện tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

x  xx  x ;

6 x x 4 x  10x 27;

x  x  x  x  ;

17 8  x 2x  4 12  x 3x x  4x 13;

5) 4 2 x4 x2  3x 3;

Bài 2: Giải các hệ phương trình:

1)

92

x y z







2)

2006 2005

3 ( );

2









3) x4 y 4z 41

x y z xyz







2

x y



  



Bài 3: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình

2

xy yz zx







Bài 4: Tìm các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn hệ phương trình

27

x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt







(Anh – 1996)