Bài tập quy hoạch tuyến tính

Do thời gian gấp rút nên các chương từ thuật toán đơn hình về sau chỉ kịp giải bài tập, phần lý thuyết anh chị tự tìm hiểu thêm trong các tài liệu được Giảng Viên cung cấp.. 1 Chương 2:

BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu này được tác giả tự biên soạn với mục đích ôn tập thi cuối kỳ môn Quy Hoạch Tuyến Tính cho riêng cá nhân và lớp VB2-Toán K1, Đại Học Sư Phạm TPHCM Do thời gian gấp rút nên các chương từ thuật toán đơn hình về sau chỉ kịp giải bài tập, phần lý thuyết anh chị

tự tìm hiểu thêm trong các tài liệu được Giảng Viên cung cấp

Do chỉ soạn trong thời gian ôn thi nên còn sơ sài, tác giả mong nhận được những chia sẻ, góp ý của anh chị để kỳ thi được kết quả tốt hơn

Chi tiết xin liên hệ qua địa chỉ mail: tranhuukhanh.edu@gmail.com

Chân thành cảm ơn

Tác giả

TRẦN HỮU KHANH

MỤC LỤC

Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI 1

Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 9

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 26

Chương 4: BÀI TOÁN ĐỒI NGẪU 38

Chương 5: BÀI TOÁN VẬN TẢI 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI

x x x x  x x 

(iv) Nửa đoạn thẳng mở – đóng  1 2    1 2 

x x   x x   x x Hiển nhiên x x1; 2 là một đoạn của đường thẳng qua x1 và x2 nằm giữa và bao gồm hai điểm x1 và x2  1 2

a) b)

Hình 3 a) Tập lồi, b) Tập không lồi

4 Nửa không gian mở, đóng

Giả sử c   n, c 0 và   Tập x x n,cx (hoặc x x n,cx) được gọi là nửa không gian mở trong  , và tập n x x n,cx (hoặc x x n,cx) được gọi là nửa không gian đóng trong  n

5 Siêu phẳng

Giả sử c   n, c 0 và   Tập x x n,cx được gọi là siêu phẳng trong

n



6 Không gian con

Một tập    là không gian con nếu n

1 2

1 2

,,

Một điểm b   n gọi là tổ hợp lồi của hệ a1, ,a   nếu tồn tại m số thực m n p1, ,p m

sao cho b p a1 1 p a2 2  p a m m với p1, ,p  và m 0 p1 p m  1

Hoặc, nếu chúng ta định nghĩa một ma trận A cỡ m n có hàng thứ i là A i a i và nếu

ta lấy pp1, ,p m  và n e là một m -vectơ thì ta có b là một tổ hợp lồi của hàng thứ i của

Giả sử    Bao lồi của  ký hiệu là n   là giao của tất cả các tập lồi trong  chứa n

 Hiển nhiên, nếu  là lồi thì     

Hình 8 Tập  và bao lồi của nó  

9 Đỉnh (điểm cực biên)

Giả sử  là tập lồi trong  Điểm n x   được gọi là đỉnh (hay điểm cực biên) của 

nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt x x   1, 2

Một tập lồi    có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng n x x n,cx và quả cầu mở B x không có đỉnh), số đỉnh có thể là hữu hạn (ví dụ như tập

x x n,x0,ex1, với e trong một n -vectơ, có n đỉnh e i, i1, 2, ,n, với e i là một n

-vectơ với e  i i 1 và e  , i i j 0  ), hay số đỉnh có thể là vô hạn (ví dụ như quả cầu đóng j

B x   là vô hạn số đỉnh được cho bởi x x n, xx 

10 Đa diện và khối đa diện

Một tập trong  mà giao của hữu hạn nửa khoảng đóng trong n  được gọi là đa diện n Nếu một đa diện là giới nội (nghĩa là, mỗi x trong đa diện x  cho vài giá trị không đổi

 ) nó được gọi là khối đa diện

Vậy:  là tập lồi

Bài 1.2: Chứng minh nửa không gian mở, đóng đều là các tập lồi?

Chứng minh nửa không gian mở là tập lồi

Đặt  x x n,cx là nửa không gian mở, ta cần chứng minh:

1 x x   Vậy: Nửa không gian mở  x x n,cx là tập lồi

(Chứng minh tương tự cho trường hợp nửa không gian đóng)

Bài 1.3: Chứng minh mỗi siêu phẳng trong  là một tập lồi? n

Đặt  x x n,cx là siêu phẳng trong  , ta cần chứng minh: n

1 x x   Vậy: Siêu phẳng  x x n,cx là tập lồi

Bài 1.4: Chứng minh rằng quả cầu đóng và quả cầu mở là các tập lồi?

Chứng minh quả cầu đóng là tập lồi:

Xét quả cầu đóng B x x x n, xx  quanh điểm x   n

Vậy: Quả cầu đóng là tập lồi

(Chứng minh tương tự cho trường hợp quả cầu mở)

Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu  i i I là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) tập lồi trong  , thì ngiao của chúng i

Bài 1.6: Chứng minh rằng tổng của hai tập lồi là tập lồi?

Giả sử  và  là hai tập lồi trong  Ta chứng minh tổng của  và n , kí hiệu là

Vì  và  là các tập lồi nên có: 1x x   và 1y y  

1 x x  1 y y     Hay là:   1 2

1 z z     Vậy:    là một tập lồi

Bài 1.7: Chứng minh rằng hiệu của hai tập lồi là tập lồi?

Chứng minh tương tự bài 1.6

Bài 1.8: Chứng minh rằng tích của một số thực với một tập lồi là tập lồi?

Giả sử  là tập lồi trong  và n   Ta chứng minh tích của  và  , kí hiệu  , là tập lồi

Bài 1.9: Chứng minh rằng đường thẳng trong  là tập lồi? n

Đường thẳng  qua hai điểm x1 và x2 được định nghĩa là tập

,

x x x  x x   Lấy hai điểm bất kỳ thuộc  là 1  2 1

Vậy: Đường thẳng trong  là tập lồi n

Bài 1.10: Chứng minh rằng đoạn thẳng qua hai điểm trong  là tập lồi? n

Thay 0 1 trong bài 1.9 ta được kết quả

1 1

, ,, , 0 1

Điều kiện đủ: hiển nhiên Chẳng hạn lấy m 2 thì  lồi theo bài 1.10

Điều kiện cần: chứng minh theo quy nạp

 Kiểm tra m 1 ta có (1) đúng (hiển nhiên)

 Giả sử (1) đúng với mk, ta cần chứng minh (1) đúng với mk1

1 1

Vậy: Tổ hợp lồi là tập lồi

Bài 1.12: Chứng minh rằng đa diện lồi là tập lồi?

Giả sử đa diện lồi  sinh bởi các điểm x i i0,m là:

1

m i i i

x p x



 , trong đó

11

m

i i

- Trước hết ta chứng minh các 1A1 là tập lồi

Lấy z z1, 21A1, với z11x1, z2 1x2, trong đó x x1, 2A1

1 1

1 z z  A

Do đó: 1A1 là tập lồi

Tương tự ta cũng có 2A2, …, m A m cũng là các tập lồi

- Tiếp theo ta chứng minh 1A12A2 là tập lồi

Lấy u u1, 21A12A2, với u11x12y1, u2 1x22y2, trong đó

Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

j

j j

mj

a a A

Trong đó:

 

f x được gọi là hàm mục tiêu;

Mỗi ràng buộc loại (1), (2) và (3) được gọi là ràng buộc cưỡng bức;

Mỗi ràng buộc loại (4), (5) và (6) được gọi là ràng buộc tự nhiên;

Mỗi vectơ thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một phương án;

3 Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc và chính tắc

 Mỗi ràng buộc A u i b i có thể đưa về A u i x n1b i với x n1 0

 Mỗi ràng buộc A u i b i có thể đưa về A u i x n1 b i với x n1 0

 Mỗi ràng buộc A u i b i có thể viết thành hệ các ràng buộc A u i b i và A u i   b i

 Mỗi ẩn x j không có ràng buộc về dấu được viết thành hiệu của hai ẩn mới không âm:

 0, 0

x xx x  x 

 Mỗi ẩn x  j 0 ta đặt x j  t j t j 0

4 Bài toán QHTT đối ngẫu

Các bài toán quy hoạch tuyến tính P và Q sau đây được gọi là đối ngẫu của nhau

Bài toán gốc P Bài toán đối ngẫu Q

Bài toán gốc P Bài toán đối ngẫu Q

Giả sử  là tập lồi trong  Điểm n x   được gọi là điểm cực biên của  nếu x không

thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt x x   1, 2

a là hàng thứ i của ma t

trận A

6 Giải bài toán QHTT bằng thuật toán điểm cực biên

Xét bài toán QHTT dạng tổng quát:

 :   , min

, n

f u c u TT

M   khi và chỉ khi M   và hàm mục tiêu f u bị chặn dưới trên   M

(nếu f u   max thì thay điều kiện bị chặn dưới của f u bởi điều kiện bị chặn trên)  

Thuật toán điểm cực biên giải bài toán QHTT

- Bước 1: Kiểm tra M  *

x y

x y xy

Nên G không là tập lồi

Vậy: d) không là bài toán QHTT

Bài 2.2: Đưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc và chính tắc

 Đưa bài toán TT về dạng chuẩn tắc  TcT : 

- Đổi dấu hàm mục tiêu để đưa về dạng min

 Đưa bài toán chuẩn tắc TcT về dạng chính tắc  ToT : 

- Đưa vào ràng buộc thứ nhất ẩn y  ta được: 5 0

Bài 2.3: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau

a là hàng thứ i của ma t

trận A

a) Giải bài toán bằng hình học

3

0 0

x x

x x

x x

D (mỗi đường thẳng với phần gạch

chéo chỉ rõ nửa mặt phẳng bị bỏ đi)

3 5

Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

; ; : 0

0 0

x x x

x x x

x x

Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 3 vectơ trong hệ gồm 5 vectơ hàng của

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

4 : 0

0

x x x x

6 : 0

0

x x x x x

7 : 0

0

x x x x

9 : 0

0

x x x x x

-  

1 2 3

0

10 : 0

0

x x x

Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 3 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

Vậy: Điểm cực biên cần tìm là 0;12; 9 

Bài 2.5: Cho bài toán QHTT

x không phải là phương án cực biên

Bài 2.6: Giải bài toán QHTT sau bằng thuật toán điểm cực biên

x x x

 Chứng minh M  *

- Chứng minh M  

Dễ thấy  1;1 là một phương án của bài toán nên M  

- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn dưới

Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

Kiểm tra ta được v v v1, 2, 3M

Suy ra: Điểm cực biên cần tìm là 45 8;

- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn trên

Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 4 vectơ hàng của

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

x x

x x x

Dễ thấy 1;1;1 là một phương án của bài toán nên  M  

- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn trên

Lấy ràng buộc (1) + (2) + (4) ta được: 4x1x2x3 5 (6) Nhân ràng buộc (3) với 3 ta được: 3x23x315 (7) Lấy (6) + (7) ta được: 4x12x22x320 (8) Cộng hai vế của (8) với 7x2 ta được: 4x15x22x3 20 7 x2

x x x

A, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được:

-  

1 2 2

Hàm mục tiêu f x   max, bị chặn trên và tập phương án khác rỗng (theo câu a) nên bài toán có phương án tối ưu

- Xét trường hợp ít nhất một trong các bất đẳng thức a 0, b 0 xãy ra

Giả sử a 0 Khi đó ut; 0 là phương án với mọi t 0

Từ đó ta có: f x x1x2    không bị chặn trên t

Tương tự ta cũng có kết luận như vậy nếu b 0

- Xét trường hợp còn lại: cả hai a 0, b 0 xãy ra

Tương tự ta cũng có f x không bị chặn  

Vậy: Bài toán có phương án tối ưu khi a 0 và b 0

c) Theo câu b thì khi cả hai a 0, b 0 hoặc một trong hai a 0, b 0 xãy ra thì hàm mục tiêu không bị chặn:

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Giải các bài toán QHTT sau:

x x x

a) Cách 1: Dùng thuật toán đơn hình dạng chuẩn

 Bước 1: Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách:

- Thêm ẩn mới x 3 0 vào ràng buộc thứ nhất;

- Thêm ẩn mới x  vào ràng buộc thứ hai; 4 0

- Thay ẩn x không ràng buộc về dấu bởi 2 x2x2;

- Đặt x1 y1, x2  y2; x2 y3, x3 y4, x4  y5 ta được bài toán dạng chính tắc sau:

Bước

Ghi chú

322

11 0 1 –1

211

Từ bảng thuật toán đơn hình trên ta có nhận xét: bản chất của các công thức đổi cơ

sở chính là biến đổi sơ cấp ma trận ở bảng đơn hình bước lặp trước sao cho cột j mới là vectơ đơn vị (phần tử 1 thế chỗ

0 0

i j

x ), sau đó ta chỉ cần tính các ước lượng j Nếu đề bài không cho trước ma trận cực B là ma trận đơn vị thì ta phải biến đổi sơ cấp ma trận mở rộng để được ma trận đơn vị Tuy nhiên cần chú ý là phải biến đổi sao cho cột b luôn luôn dương thì mới thỏa mãn giả thiết của phương pháp (xem thêm các bài tập bên dưới)

b) Cách 2: Dùng thuật toán đơn hình dạng ma trận nghịch đảo

 Bước 1 và Bước 2: giống thuật toán đơn hình dạng chuẩn

 Bước 3: Lập bảng giải bài toán TT 1

711

Suy ra: Phương án tối ưu của bài toán TT là  * 45 8

B a trong bảng ma trận nghịch đảo chính là cột xoay trong bảng đơn hình gốc;

- Cột B b1 trong bảng ma trận nghịch đảo chính là cột u trong bảng đơn hình gốc; B

- Các cột của ma trận K1 trong bảng ma trận nghich đảo chính là các cột tương ứng trong bảng đơn hình gốc Chẳng hạn, từ bài tập trên ta thấy cột x và 4 x trong bảng đơn 5hình gốc sẽ xuất hiện ở ma trận 1

K

trong bảng ma trận nghich đảo;

- Các giá trị j của bảng đơn hình gốc không thay đổi cho bảng đơn hình nghịch đảo;

- Như vậy, nếu gặp khó khăn khi tính với ma trận nghịch đảo thì có thể dùng bảng đơn hình gốc để tính, sau đó dùng những nhận xét trên để điền vào bảng đơn hình dạng ma trận nghịch đảo;

- Bản chất của vấn đề này đã được đề cập trong lý thuyết, bạn đọc tự tìm hiểu thêm

Dùng thuật toán đơn hình dạng chuẩn để giải

 Bước 1: Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách:

- Đổi dấu hàm mục tiêu để đưa về dạng min

Ở bước lặp 1, các  j 0,j nên x1; 0; 0; 0 là phương án tối ưu và f x  1

Suy ra: Phương án tối ưu của bài toán TT là  *  

a) Cách 1: Dùng thuật toán đơn hình dạng chuẩn

 Bước 1: Đưa bài toán về dạng chính tắc:

- Bái toán đã cho ở dạng chính tắc nên không cần biến đổi

 Bước 2: Tìm ma trận cực

- Biến đổi sơ cấp ma trận mở rộng của hệ phương trình trong ràng buộc để đưa về dạng chuẩn

2 5

5 0 0 0

165

 12

5



 Bước 4: Kết luận

Vậy: Bài toán TT có hàm mục tiêu không bị chặn 

b) Cách 2: Dùng thuật toán đơn hình hai pha (dùng ẩn giả)

 Bước 1: Đưa bài toán về dạng chính tắc

- Bài toán đã cho ở dạng chính tắc nên không cần biến đổi

 Bước 2: Thêm ẩn giả

- Thêm ẩn giả x7 0 ta được bài toán dạng chuẩn sau:

Bước

lặp i J B c B

Ghi chú

15

15

5 0 0 0

165

Suy ra: Bài toán TT có hàm mục tiêu không bị chặn 

Vậy: Bài toán TT có hàm mục tiêu không bị chặn 

c) Cách 3: Dùng thuật toán đơn hình dạng ma trận nghịch đảo

 Bước 1 và Bước 2: Giống phần đơn hình dạng chuẩn

 Bước 3: Lập bảng đơn hình dạng ma trận nghịch đảo

Ta lập hai bảng sau (hai bảng đồng thời):

Dùng thuật toán đơn hình dạng chuẩn để giải

 Bước 1: Đưa bài toán về dạng chính tăc bằng cách:

- Đổi dấu hàm mục tiêu để đưa về dạng min;

- Thêm ẩn mới x5 0 vào ràng buộc thứ nhất;

- Thêm ẩn mới x6 0 vào ràng buộc thứ hai;

- Thêm ẩn mới x7 0 vào ràng buộc thứ ba

- Ta được bài toán dạng chính tắc (và thỏa dạng chuẩn) sau:

Bước

lặp i J B c B

Ghi chú

 0 4 2

3

13

 0 1 1

6

112

15

110

 1

20

14

Chương 4: BÀI TOÁN ĐỒI NGẪU

Chương 5: BÀI TOÁN VẬN TẢI

Giải các bài toán vận tải sau

- Ta có T P161 nên bài toán luôn có phương án tối ưu

 Bước 2: Tìm phương án cực biên ban đầu

- Sử dụng phương pháp góc Tây Bắc để tìm phương án cực biên ban đầu

Tìm các thế vị trong phương án cực biên ban đầu X 1

0254744

Các 21,31,32  nên phương án cực biên ban đầu chưa tối ưu Ta xây dựng phương 0

án cực biên mới X không xấu hơn 2 X 1

 Bước 3: Xây phương án cực biên mới X 2

- Ta có: 32 10max21;31;32 nên bổ sung ô  * *  

Các 21,24  nên phương án cực biên 0 X chưa tối ưu Ta xây dựng phương án cực 2

biên mới X không xấu hơn 3 X 2

 Bước 4: Xây phương án cực biên mới X 3

- Ta có: 24 7max21;24 nên bổ sung ô  * *  

05547116

Các  ij 0 nên phương án cực biên X là phương án tối ưu 3

- Ta có T P nên bài toán không cân bằng thu phát Do đó, ta lập thêm một trạm

phát giả với lượng phát là P5 TP273 248 25 và cước phí là 0 ta được:

- Sử dụng phương pháp góc Fo – ghen để tìm phương án cực biên ban đầu

- Kiểm tra phương án cực biên ban đầu tối ưu hay chưa?

Tìm các thế vị trong phương án cực biên ban đầu X 1

052200351

u u u u u v v v v