giáo trình và bài tập Quy hoạch tuyến tính

1. Cac vi du dân đên bai toan Quy hoach tuyên ́ ́ ̣ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ tinh (QHTT): ́ 1.1 Lâp kê hoach san xuât: ̣ ́ ̣ ̉ ́ san phâm ̉ ̉ Chi phí S1 S2 S3 Sô l ng nguyên ́ ượ liêu hiên co ̣ ̣ ́ Nguyên liêu 1 (N1) ̣ Nguyên liêu 2 (N2) ̣ Nguyên liêu 3 (N3) ̣ Lao đông ̣ 4 2 3 10 5 4 6 7 3 3 4 6 15.000 12.000 10.000 500.000 Gia s răng san phâm san xuât ra đêu co thê tiêu thu đ c ̉ ử ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ượ hêt v i l i nhuân khi ban môt đ n vi san phâm S ́ ớ ợ ̣ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̉ 1, S2, S3 t ng ng la 5000:10000:7000 (đông). Yêu câu lâp kê hoach ươ ứ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̣ san xuât tôi u. ̉ ́ ́ ư Goi x ̣ jla sô san phâm cua S ̀ ́ ̉ ̉ ̉ j(j = 1,2, 3) c n san xuât ầ ̉ ́ (xj≥ 0, j = 1, 2, 3.) 1 2 3 4 5 3 15000 x x x + + ≤ Theo kê hoach san xuât phai tim l ng nguyên liêu tiêu ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ượ ̣ hao la: ̀ N1: 1 2 3 2 4 3 12000 x x x + + ≤ N2: 1 2 3 3 6 4 10000 x x x + + ≤ N3: Sô phut cân s dung: ́ ́ ̀ ử ̣ 1 2 3 10 7 6 500.000 x x x + + ≤ Tông l i nhuân theo kê hoach san xuât la: ̉ ợ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̀ 1 2 3 5000 10000 7000 x x x + + Yêu c u t i u ầ ố ư là: 5000 10000 7000 max 1 2 3 x x x + + → Mô hinh bai toan: ̀ ̀ ́ Tim x = (x ̀ 1, x2, x3) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1, 2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j        = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Tông quat: ̉ ́ ta co bai toan lâp kê hoach san xuât ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ d i dang bang sô liêu sau đây: ướ ̣ ̉ ́ ̣ Yêu tô ́ ́ san xuât ̉ ́ Sô l ng ́ ượ hiên co ̣ ́ San phâm ̉ ̉ S1 S2 … Sn Y1 b1 a11 a12 … a1n Y2 b2 a21 a22 … a2n … … … … … … … … … … … … Ym bm am1 am2 … am n L i nhuân đ n vi ợ ̣ ơ ̣ c1 c2 … cn Mô hinh: ̀ Tim x = (x ̀ 1, x2,…, xn) sao cho: max 1 n f c x j j j = → ∑ = , 1,..., 1 n a x b i m ij j i j ≤ = ∑ = 0, 1,..., x j n j ≥ = 2.2 Phân bô vôn đâu t : ̉ ́ ̀ ư Môt nha đâu t co 4 ti đông muôn đâu t vao 4 linh v c ̣ ̀ ̀ ư ́ ̉ ̀ ́ ̀ ư ̀ ̃ ự Linh v c đâu t ̃ ự ̀ ư Lai suât/năm ̃ ́ Ch ng khoan ứ ́ Công trai ́ G i tiêt kiêm ử ́ ̣ Bât đông san ́ ̣ ̉ 20% 12% 15% 18% Ngoai ra, đê giam thiêu rui ro, nha đâu t cho răng ̀ ̉ ̉ ̉ ̉ ̀ ̀ ư ̀ không nên đâu t vao ch ng khoan v t qua 30% ̀ ư ̀ ứ ́ ượ ́ tông sô vôn đâu t ; đâu t vao công trai va g i tiêt ̉ ́ ́ ̀ ư ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ kiêm it nhât 25% tông vôn đâu t ; g i tiêt kiêm it ̣ ́ ́ ̉ ́ ̀ ư ử ́ ̣ ́ nhât 300 triêu đông. Hay xac đinh kê hoach phân bô ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ́ ̣ ̉ vôn đâu t sao cho tông thu nhâp hang năm la l n ́ ̀ ư ̉ ̣ ̀ ̀ ớ nhât. ́ • Do tông sô tiên đâu t không đ c v t qua sô tiên ̉ ́ ̀ ̀ ư ượ ượ ́ ́ ̀ hiên co nên: x ̣ ́ 1+ x2+ x3+ x4≤ 4000 (triêu đông) ̣ ̀ •Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao ch ng khoan: ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ứ ́ 0,3( ) 0, 7 0,3 0,3 0,3 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x ≤ + + + ⇔ − + + + ≥ Goi x ̣ 1, x2, x3, x4t ng ng la sô tiên (triêu đông) đâu ươ ứ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ t vao ch ng khoan, công trai, g i tiêt kiêm, bât đông ư ̀ ứ ́ ́ ử ́ ̣ ́ ̣ san ( ) ̉ 0, 1,..., 4 j x j ≥ = •Thu nh p c a năm là: ậ ủ 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 x x x x + + + •Yêu c u t i u: ầ ố ư 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 max x x x x + + + → •Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao công trai va g i tiêt kiêm: ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ ̣ ( ) 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 25 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0 x x x x x x x x x x + ≥ + + + ⇔ + + − ≥ 3 300 x ≥ Và Mô hinh: ̀ Tim x = ( x ̀ 1, x2, x3, x4) sao cho: 1 2 3 4 ( ) 0, 2 0,12 0,15 0,18 max f x x x x x = + + + → 1 2 3 4 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0 x x x x + + − ≥ 3 300 x ≥ 0, 1,..., 4 j x j ≥ = 0, 7 0,3 0,3 0,3 0 1 2 3 4 x x x x − + + + ≥ 1 2 3 4 4000 x x x x + + + ≤ Vây đê lâp mô hinh toan hoc cua môt bai toan th c ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ự tê, ta phân tich bai toan đo theo 3 b c sau: ́ ́ ̀ ́ ́ ướ B c 1: ướ Đăt ân va điêu kiên cho ân. ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ B c 2 ướ :Lâp hê rang buôc chinh ̣ ̣ ̀ ̣ ́ B c 3: ướ Lâp ham muc tiêu ̣ ̀ ̣ 2. Đinh nghia: ̣ ̃ Bai toan quy hoach tuyên tinh dang tông quat ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ́ co dang: ́ ̣ Tim x = (x ̀ 1, x2, …,xn) sao cho: ( ) 1 ( ) min max n j j j f x c x = = → ∑ V i hê rang buôc: ớ ̣ ̀ ̣ , 1,..., ij j i a x b i m ≤     = =   ≥   ∑ 0 0 , 1, 2,..., tuy y j x j n ≥     ≤ =     ham muc tiêu ̀ ̣ rang buôc biên ̀ ̣ ́ (rang buôc chinh ̀ ̣ ́ ) rang buôc dâu ̀ ̣ ́  Vect x=( x ơ 1, x2, x3, x4)Tđ c goi la ượ ̣ ̀ph ng an ươ ́ (PA) cua ̉ bai toan QHTT nêu no thoa man hê rang buôc cua bai toan ̀ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́  Ph ng an x*=( x ươ ́ 1*, x2*, x3*, x4*)T đ c goi la ượ ̣ ̀ ph ng an tôi u ươ ́ ́ ư (PAT ) cua bai toan QHTT nêu gia tri Ư ̉ ̀ ́ ́ ́ ̣ ham muc tiêu tai đo la tôt nhât. ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ́  Giai bai toan QHTT t c la tim ph ng an tôi u cua no ̉ ̀ ́ ứ ̀ ̀ ươ ́ ́ ư ̉ ́ (nêu co). ́ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ Bai toan giai đ c ̀ ́ ̉ ượ la bai toan co PAT . ̀ ̀ ́ ́ Ư Bai toan không giai ̀ ́ ̉đ c ượ la bai toan không co PAT . ̀ ̀ ́ ́ Ư Khi đo hoăc la bai toan không co ph ng an hoăc co ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ươ ́ ̣ ́ ph ng an nh ng ham muc tiêu không bi chăn ươ ́ ư ̀ ̣ ̣ ̣ ( đôi v i bai toan max (min)). ́ ớ ̀ ́ ( ) ( ) f x → +∞ −∞  Nêu ph ng an x thoa man rang buôc nao đo v i dâu ́ ươ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ớ ́ “=” thi ta noi x ̀ ́ thoa man chăt ̉ ̃ ̣ rang buôc đo. Ng c lai ̀ ̣ ́ ượ ̣ nêu thoa dâu “>” hoăc “<” thi ta noi ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ thoa man long ̉ ̃ ̉ rang ̣ buôc đo. ̣ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ - ng v i rang buôc th i ta co vect A Ứ ớ ̀ ̣ ứ ́ ơ i* = (ai1, ai2, …,ai3 - Ky hiêu: ́ ̣ 1 2 3 . j j j a a A i a     =       la vect cac hê sô cua biên x ̀ ơ ́ ̣ ́ ̉ ́ jtrong cac ́ rang buôc (không kê rang buôc dâu). ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ - Hê vect A ̣ ơ i* t ng ng v i cac rang buôc chinh tao ươ ứ ớ ́ ̀ ̣ ́ ̣ thanh ̀ ma trân rang buôc chinh ̣ ̀ ̣ ́ , ky hiêu la A. ́ ̣ ̀ - Cac rang buôc goi la ́ ̀ ̣ ̣ ̀rang buôc đôc lâp tuyên tinh ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ́ nêu ́ hê vect A ̣ ́ ơ i* t ng ng đôc lâp tuyên tinh. ươ ứ ̣ ̣ ́ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ - Ph ng an c c biên ươ ́ ự (ph ng an c ban): ươ ́ ơ ̉ la ph ng ̀ ươ an thoa man chăt n rang buôc đôc lâp tuyên tinh. ́ ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ́ + Ph ng an c c biên (PACB) thoa man chăt đung n ươ ́ ự ̉ ̃ ̣ ́ rang buôc goi la ̀ ̣ ̣ ̀PACB không suy biên ́ , PACB thoa man ̉ ̃ chăt h n n rang buôc goi la ̣ ơ ̀ ̣ ̣ ̀PACB suy biên ́ .  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 12 9 max 12 5 0 8 4 6 52 0, 0, f x x x x x x x x x x x x x = + + → − + ≥   + − =   ≥ ≤  Vi du 1: ́ ̣ * 1 1 1 1 -12 5 (1, 12,5); A ; A= 8 8 4 -6 A     = − =         ( ) ( ) 0 1 13 2;0;0 ; 8;0; 2 x x = = Mô hinh bai toan: ̀ ̀ ́ Tim x = (x ̀ 1, x2, x3) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1, 2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j        = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Ham muc ̀ ̣ tiêu Hê rang buôc chinh ̣ ̀ ̣ ́ Hê rang buôc dâu ̣ ̀ ̣ ́ 3. Cac dang đăc biêt cua bai toan QHTT ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ : a. Bai toan QHTT dang chinh tăc: ̀ ́ ̣ ́ ́ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ij 1 max min ,..., 1 ,..., 0 1 n j j j n j i j j f x c x a x b i m x j n = = = → ∑ = = ∑ ≥ = Đinh ly: ̣ ́ Ph ng an x cua bai toan QHTT dang chinh tăc ươ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ́ la ph ng án c c biên khi va chi khi hê thông cac vect ̀ ươ ự ̀ ̉ ̣ ́ ́ ơ {Aj} t ng ng v i cac thanh phân d ng cua ph ng ươ ứ ớ ́ ̀ ̀ ươ ̉ ươ an la đôc lâp tuyên tinh. ́ ̀ ̣ ̣ ́ ́ Ví d 2: ụ Cho bài toán QHTT có h ràng bu c: ệ ộ 1 2 4 2 3 4 2 4 3 2 3 ; ,..., 0 1 4 j x x x x x x x j + + = + + = ≥ = Các ph ng án ươ x1= (4; 0; 3; 0); x2 = (2; 1; 0; 0); x3= (0; 1/2; 0; 3/4) là các PACB theo đ nh lý trên. ị

Chằnng3: -

QUY HOACR TUYỂN TINH

Bal |; Khai niem ve bai toan Quy hoach tuyen tinh

1 Cac vi du dan dén bài toán Quy hoạch tuyến

Gia su rang san phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được

hết với lơi nhuận khi bán một đơn vị sản phẩm S ,S ,S_

tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng) Yêu câu lập kế hoạch

sản xuất tối ưu

Goi x là số sản phẩm của S (j = 1,2, 3) cần sản xuất

Mô hinh bài toán:

Tim x=(x ,x ,x ) sao cho:

Tông quát: ta có bài toán lập kế hoạch sản xuất dưới dạng bảng số liệu sau đây:

Yo om r: en i: a1n _# si a21 ja22 a2n

it

Lơi nhuận đơn vị |c ịc ae

2.2 Phân bố vốn đầu tư:

Một nhà đầu tư có 4 ti đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực

Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho răng

không nên đầu tư vào chứng khoán vượt quá 30%

tổng số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết

kiệm 1t nhất 25% tống vốn đầu tư; gửi tiết kiệm ft

nhất 300 triệu đồng Hãy xác định kế hoạch phân bố

vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm là lớn

nhat

Goix ,xX ,X ,x: tương ứng là số tiên (triệu đồng) đầu

tư vào chứng khoán, công trái, gui tiết kiêm, bất động

sản (x, >0, j =1, ,4)

° Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền

hiện có nên:x +x +x +x <4000 (triệu đồng)

*Điều kiện về số tiên đầu tư vào chứng khoán:

Mi <0,3(X +xX., MP œ®-~0,/xị +Ú,3xX., MO co TA 25) > 0)

°Điều kiên về số tiền đầu tư vào công trái và gửi tiết kiêm:

x, +X, 20,25( x, +x, +X, +x,} = 0, 25x, + 0, 75x, +0, 75x, —0, 25x, = 0

va X, 2300

‘Thu nhap cua nam là: 0, 2x, + 0,12x, +0,15x, + 0,18x,

"Yêu cầu tối ưu: 0, 2x, + 0,12x, +0,15x, +0,18x, > max

Vay để lập mô hình toán học của một bài toán thực

tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau:

Bước 1: Đặt ấn và điều kiên cho an

Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính

Bước 3: Lập hàm mục tiêu

s* Một số khái niệm:

> Vectơ x=(x ,x ,x ,x }T được goi là phương án (PA) củ: bài toán QHTT nếu no thoa mãn hệ ràng buộc của bài toán

> Phuong an x*=( x *, x *, x *, x *}T được gọi là

phuong an tdi uu (PATU) cua bai toán QHTT nếu giá tri

hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất

> Giải bài toán QHTT tức là tim phương án tối ưu của nó

(nếu có).

s* Một số khái niệm:

é Bài toán giải được là bài toán có PATU

é Bài toán không giải được là bài toán không có PATUƯ

Khi đó hoặc là bài toán không có phương án hoặc có

phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chăn

(ƒÍx] — +[—}]_ đối với bài toán max (min))

> Nếu phương án x thỏa mãn ràng buộc nào đó với dấu

“=" thi ta noi x thoa man chat rang buộc đó Ngược lại nếu thỏa dấu “>” hoac “<” thi ta noi thoa man Jong rang

buộc do

- Hé vecto A * tuong Ung voi các ràng buộc chỉnh tạo

thành ma trận rang buộc chính, ký hiệu là A

- _ Các ràng buộc goi là rang buộc độc lập tuyến tính nếu

hệ véctơ A * tương ứng độc lập tuyến tính

s* Một số khái niệm:

- Phương ấn cực biên (phương ấn cơ bản): là phương

án thỏa man chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính

+ Phương án cực biên (PACB) thoa man chat dung n ràng buộc gọi là PACB không suy biến, PACB thỏa mãn

chặt hơn n ràng buộc goi là PACB suy biến

Mô hinh bài toán:

Tim x=(x ,x ,x ) sao cho:

3 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT:

a Bai toán QHTT dạng chính tắc:

Tin co

Định lý: Phương án x của bài toán QHTT dạng chính tắc

là phương án cưc biên khi và chỉ khi hệ thống các vectơ {Aj} tương ứng với các thành phần dương của phương

án là độc lập tuyến tỉnh

Ví dụ 2: Cho bài toán QHTT có hệ ràng buộc:

* Cách biến đối bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng

Ví dụ 4: Đưa bài toán QHTT sau về dang chỉnh tắc

b Bai toan dang chuẩn:

* MOt ma tran cua hé rang bu6éc chỉnh chứa các vecto A

lập được thành một ma tran đơn vi được gọi là ma trân

* Bài toán QHTT dạng chuẩn là:

+ Bài toán QHTT dang chỉnh tắc

s* Băng cách sắp xếp lại bài toán QHTT dang chuẩn

* Các biến tạo thành ma trận đơn vi gọi là ân cơ bản

Ấn còn lại goi là ân không cơ bản.

> Cách đưa bài toán dạng chỉnh tắc về dạng chuẩn:

- Nếu 3b, <0(ie 1, ,m) tỉ nhân hai vế ràng buộc với -1

- Nếu ma trân A chưa có ma tran don vi thi thém vao an giá

* Mục tiêu của ấn giả là đễ tạo vectơ đơn vi khi chưa

có ma trân đơn vi Nếu trong ma trân A đã có sẵn một số

vectơ đơn vi thì chỉ cần thêm ấn giả vào những phương

trình cần thiết để tạo thành bài toán mở rộng có dạng

chuẩn

* Hệ số của ần giả trong hàm mục tiêu là M (-M) nếu f

min (max), với M là số dương khá lớn

Ví dụ: Đưa các bài toán QHTT đã được đưa về dạng chính tắc ở các ví dụ 3, 4 về dạng chuẩn.