Bài tập quy hoạch tuyến tính
Trang 1Bài tập QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bài 1 Một nhà máy giấy có kế hoạch sản xuất 3 loại giấy A, B, C Nguyên liệu để sản xuất giấy là gỗ và axít có trữ
lượng tương ứng là 5500 m3 và 90 tấn Mức tiêu hao các loại nguyên liệu để sản xuất và giá bán một tấn giấy mỗi loại được cho bởi bảng sau:
Qua thăm dò thị trường, nhà máy quyết định sản xuất giấy A, C có số lượng bằng nhau và giấy B có số lượng tối đa là 1000 tấn Hãy lập mô hình toán học của bài toán lập kế hoạch tối ưu trên
Bài 2 Một nhà máy luyện kim muốn sản xuất một loại hợp kim có 20% bạc, 30% đồng và 50% nhôm Để sản xuất
ra loại hợp kim đó nhà máy dùng 6 loại nguyên liệu: bạc nguyên chất, đồng nguyên chất, nhôm nguyên chất, hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C Tỉ lệ các chất bạc, đồng, nhôm trong 6 loại nguyên liệu trên và giá nguyên liệu (ngàn đồng/kg) mỗi loại được cho trong bảng sau:
Chất Loại nguyên liệu
Bạc Đồng Nhôm
100%
0 0
0 100%
0
0 0 100%
30%
40%
30%
50%
20%
30%
40%
35%
25%
Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng nguyên liệu mỗi loại để sản xuất 1 kg hợp kim thành phẩm sao cho giá thành của hợp kim thành phẩm thấp nhất nhưng vẫn bảo đảm chất lượng theo yêu cầu
Bài 3 Biến đổi bài toán QHTT sau về dạng chính tắc:
j
a f (x) x 2x 3x 4x Min
2x x 4x 3
x 0 j 1, 4
b f (x) 2x x 3x Min
x 2x x 2 2x x 4x 3 3x 4x x 4
x 0; x 0
Bài 4 Một công ty thức ăn gia súc định sản xuất các bao thức ăn gia súc có tỉ lệ % chất dinh dưỡng cho mỗi bao
theo tiêu chuẩn sau:
Chất dinh dưỡng Tỉ lệ tối thiểu Tỉ lệ tối đa
Cho biết tỉ lệ % các chất dinh dưỡng trên các loại nguyên liệu và giá nguyên liệu như sau:
Hãy lập mô hình toán học xác định thành phần nguyên liệu để sản xuất 1 bao thức ăn gia súc đạt chất lượng
và có giá rẻ nhất biết rằng bao thức ăn đó có trọng lượng 100 kg
Bài 5 Một công ty địa ốc định xây 50 căn nhà gòm 4 loại: nhà trệt, nhà 2 tầng, nhà 3 tầng và biệt thự Thời gian
(ngày) để xây nhà mỗi loại được cho bơi bảng sau:
Trang 2Công việc xây nhà Loại nhà
Nhà trệt 2 tầng 3 tầng Biệt thự
Lãi 50 triệu 100 triệu 200 triệu 300 triệu Theo kinh nghiệm kinh doanh thì mỗi loại nhà phải xây ít nhất 5 căn thì mới có lợi cho qui trình thi công
và trang bị kĩ thuật Ngoài ra thời gian phải hoàn thành công trình tối đa là 4 năm để tránh biến động thị trường và lãi suất ngân hàng Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định kế hoạch xây dụng nhà tối ưu?
Bài 6 Giải các bài toán qui hoạch tuyến tính sau?
j
a f (x) 2x x x x Max
x x 2x x 2
x 7x 3x 2 3x 2x 5
x 0, j 1, 4
j
b f (x) 6x x x 3x x 7x 6x Min
x 0, j 1, 7
ĐS: a PATU x0 = (0; 0; 9; 16; 17; 0) fMax = 25
b Bài toán không có PATƯ
Bài 7 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau Phương án tối ưu tìm được (nếu có) có duy nhất không? Hãy tìm một
phương án tối ưu khác (nếu có)
j
a f (x) 6x 10x 12x Max
x 2x 4x 32 2x x 2x 42 3x 2x 2x 30
x 0, j 1, 2, 3
j
b f (x) 2x x x Min
x x x 15
x x x x 27 2x x x 18
x 0, j 1, 2, 3, 4
Đs: a PATU của bài toán x0 = (0; 14; 1; 0; 26; 0) fmax = 152
b PATƯ của bài toán x0 = (15; 0; 12; 0; 12; 0) fmin = -30
Bài 8: Cho bài toán QHTT:
j
f (x) x x 2x 2x 4x Min
x x 3x 2x 2x 8
3x 5x 3x 2x 25
x 0, j 1, 5
a Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b Tìm phương án tối ưu x* của bài toán có x* = 20
ĐS: a PATU x0 = (0; 27; 3; 0; 5; 13; 0; 0) fmin = 13
b Tập tất cả các PATU là: z = (0; 27 - 2/5; 3 +7/10; ; 5 - /4) PATU với x4 = 20 là phương án tối
ưu tương ứng với = 20
Bài 9: Một công ty có chiến dịch quảng cáo một sản phẩm trong 1 tháng với tổng chi phí là 100 triệu đồng Các số
liệu liên quan đến quảng cáo sản phẩm được cho bởi bảng sau:
Phương tiện Chi phí Số lần QC tối đa Dự kiến số người tiếp nhận
trong 1 lần QC
Trang 3Do hiệu quả của truyền hình nên công ty quyết định nên công ty quyết định phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên truyền hình Tìm kế hoạch quảng cáo tối ưu cho công ty?
ĐS: PATU x0 = (30; 26; 58) fmax = 1.752.000
Bài 10 Một nhà máy có 28 tỷ đồng dùng để mua thiết bị cho khu vực sản xuất mới Khu vực để đặt thiết bị có diện
tích 166 m2 Có 2 loại thiết bị để mua là:
- Máy loại A có giá 160 triệu đồng, năng suất 110 sản phẩm/ giờ Chiếm diện tích 12 m2
- Máy loại B có giá 180 triệu đồng, năng suất 100 sản phẩm/ giờ Chiếm diện tích 9 m2
Tìm phương án mua thiết bị sao cho đối với số thiết bị đó trong 1 giờ làm việc thì tổng số sản phẩm thu được cao nhất?
ĐS: PATU x0 = (600; 0; 2400) fmax = 7.200.000
Bài 11 Lập bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu:
a f (x) 2x 3x 2x 4x Max
2x x x x 3x 7 4x x 2x 3x x 3
x 2x 3x x x 10
x 0; x 0; x 0
b f (x) 2x 3x x x Min
x x 2x x 7 2x x x x 5 5x x 3x x 20
x 0; x 0; x 0
Bài 12 Cho bài toán QHTT sau:
j
f (x) 3x 3x 8x 6x Min 3x 3 / 2x x 3x 57 2x x 2x 2x 18 3x 3x 5x 4x 49
x 0; j 1, 4
a Hãy giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và xét tính tối ưu của vecto y0 = (3/2; 51/4; 6) đối với bài toán đối ngẫu đó?
ĐS: PATU: x0 = ( 5; 8; 0; 10; 0; 0; 0) fmin = 21
Bài 13 Cho bài toán QHTT (P) sau:
f (x) 8x 6x 4x 5x Min
2x x x 3x 4 3x x 2x 6x 5
x 0; x 0; x 0
a Hãy viết bài toán đối ngẫu (D) của (P)?
b Chứng tỏ rằng x* = (3; 0; -2; 0) là một phương án của (P), lợi dụng x* để tìm tập phương án tối ưu của bài toán (D) Tìm phương án tối ưu của bài toán (D) có thành phần thứ 3 bằng 1
c Hãy tìm tập phương án tối ưu của bài toán (P)
Bài 14 Giải bài toán QHTT sau:
f (x) 12x 16x 16x Min
2x x 2x 6 2x 3x x 8 3x 2x 2x 9
x 0; x 0; x 0
ĐS: Một PATU x0 = (5/2; 1, 0) fmin = 46
