Bài tập hình học giải tích 12

Viết phương trình các đường trung tuyến AM, CP và xác định tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC.. Lập phương trình ∆ vuông góc với d và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6..

Trang 1

Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH

A HÌNH HỌC PHẲNG

I ĐƯỜNG THẲNG

1) Chứng minh 3 điểm A(1;2), B(−1;3) và C(5;0) thẳng hàng

2) Chứng minh 3 điểm A(−2;1), B(1;−3) và C(2;5) là 3 đỉnh của 1 tam giác

3) Định m để 3 điểm M(9;m+1), N(2;−3) và P (5;2) thẳng hàng

Kết quả:m=

3

23.4) Cho ∆ABC vuông cân tại A, có B(2;1) và C(4;3) Tìm tọa độ đỉnh A của ∆ABC

Kết quả: A(2;3) hoặc A(4;1).

5) Cho ∆ABC vuông cân tại A, có A(−2;1) và B(1;−2) Tìm tọa độ đỉnh C của ∆

ABC

Kết quả: C(−5;−2) hoặc C(1;4)

6) Cho hình vuông ABCD có A(−4;5) và C(3;4) Tìm tọa độ các đỉnh B và D của hình vuông ABCD, biết xB < xD

Kết quả: B(−1;1) và D(0;8)

7) Cho tam giác đều ABC có A(1;3) và B(4;−1) Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác đều ABC

Kết quả: C(

2332

;234

8) Trên (∆ ) cho 4 điểm A(5;2), I, M và B(−1;5) sao cho AI=IM=MB Tìm tọa độ của

I và M

Kết quả: I(3;3) và M(1;4).

9) Cho A(2;6), B(−3;−4) và C(5;0)

a) Tìm tọa độ của D và E lần lượt là chân các phân giác trong và ngoài góc A trên BC

b) Viết phương trình của đường tròn nội tiếp ∆ABC

Kết quả: D(2;−23), E(17;6) và (x−2)2+(y−1)2=5

10) Cho A(−2;3), B(41;0) và C(2;0) Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn

Kết quả: K( ;21

2

1) và r =2

1.11) Tính diện tích của ∆ ABC biết A(1;−2), B(2;0) và C(−3;4)

9) và A’(

17

48;1739)

Trang 2

13) Cho A(2;6), B(−3;−4) và C(5;0) Tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

Kết quả : I(−21;1) và R=IC =

2

5

5 14) Cho A(1;3) và B(−3;1) Tìm tọa độ điểm C trên (∆): x−2y+3=0 để ∆ABC cân tại đỉnh C

Kết quả: D(5;6) và M(2;3)

17) Cho A(4;5), B(−6;−1) và C(1;1) Viết phương trình các đường trung tuyến AM,

CP và xác định tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC

Kết quả: AM: 10x−13y+25=0;CP: x+2y−3=0 và G(− ;35

3

1 ).

18) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng đi qua A(3;2), B(−1;3)

19) Cho d: 3x+4y+5=0 viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;2) và :

20) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

Kết quả: x+y−4=0 V x−y+2=0

21) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(4;−1) và chắn trên các trục toạ độ thành một tam giác vuông có diện tích bằng 1 đơn vị

Kết quả: x+2y−2=0 V x+8y+4=0

22) Cho đường thẳng d:3x+4y–2=0 Lập phương trình ∆ vuông góc với d và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6

Kết quả: 4x−3y±12=0

23) Cho ∆ ABC Biết rằng các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự có các trung điểm là M(1;2); N(3;4); P(5;1)

a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC

b) Lập phương trình cạnh AB và tính diện tích của ∆ABC

c) Lập phương trình đường trung trực d của cạnh AC

d) Lập phương trình đường cao CH của ∆ABC

Kết quả: a) A(7;3), B(3;−1), C(−1;5)

b) x−y−4=0, S=20 (đvdt) c)4x−y−8=0 d)x+y−4=0

Trang 3

24) Cho ∆ ABC có AB : 5x–3y+2=0 và có phương trình hai đường cao AA’:4x–3y+1= 0; BB’:7x+2y– 22=0 Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của ∆ABC

Kết quả: A(−1;−1), B(2;4),H )

29

95

;29

64( , AC:2x−7y−5=0, BC:3x+4y−22=0, CC’:3x+5y−23=0

25) Cho tam giác ABC với phương trình các cạnh BC:x−3y−6=0; CA:x+y−6=0; AB:3x+y−8=0

a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Chứng minh tam giác ABC vuông Tính diện tích

∆ ABC

b) Viết phương trình đường cao BH của ∆ ABC

Kết quả: a) A(1;5), B(3;−1) và C(6;0) Vuông tại B S=10(đvdt) b)x−y−4=0.26) Cho ∆ABC với C(4;−1) và đường cao d1:2x−3y+12=0, trung tuyến d2 :2x+3y=0 cùng xuất phát từ đỉnh A Lập phương trình các cạnh ∆ABC

Kết quả: AB:9x+11y+5=0;BC:3x+2y−10=0;AC:3x+7y−5=0

27) Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của hai đường thẳng d1:x+my−2=0,

d2:mx+y–m−1=0

Kết quả: •m ≠±1: d1 cắt d2 tại M(

1m

1

;1m

2m

++

•m=−1: d1 // d2 •d1≡d228) Cho ∆ ABC với AB : 5x+3y–5=0;BC : x–2y+1=0;CA : −x+4y–1=0 Dùng công thức chùm đường thẳng đồng quy tại A, lập phương trình đường cao AH của tam giác ABC

Kết quả: 46x+23y−44=0

29 ) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(2;2);cách B(1;1) một khoảng bằng 1

6

31) Cho d : 3x-y+1=0;I(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua I

Kết quả: d’:−3x+y+17=0

32) Cho ba điểm M(-2; 2);A(2; 1);B(0; 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách đều A, B

Kết quả: x+2y−2=0 V x+6y−10=0

33) Cho hình bình hành có hai cạnh BC: 2x+y-1=0;CD: x-3y+1=0;đỉnh A(1; 1) Viết phương trình hai cạnh còn lại

Kết quả: AB:x−3y+2=0 ,AD: 2x+y−3=0

34) Cho hình bình hành có hai cạnh AB:x-y+1=0; AD: 2x-y=0;tâm I(0; 2) Viết phương trình hai cạnh còn lại

Kết quả: BC:2x−y+4=0, CD:x−y+3=0

35) Tính góc giữa hai đường thẳng : 2x+y-3=0;3x-y+2=0 Kết quả:450

Trang 4

Kết quả: m=−1 V m=3

37) Cho A(2;2);B(5;1) và đường thẳng d : x–2y+8=0

a) Xác định điểm C∈d sao cho ∆ ABC cân tại C

b) Xác định điểm M∈d sao cho ∆ ABM có diện tích là

2

11

Kết quả: a) C( ;335

đi qua A(3;2) và cắt (∆1) và (∆2) lần lượt tại I và J phân biệt sao cho A là trung điểm của IJ Tìm tọa độ của I và J

Kết quả: (∆):16x+7y−62= 0; I(

5

22

;5

26)

BÀI TẬP NÂNG CAO

1) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(−4;−5) và hai đường cao có phương trình 5x+3y−4=0 và 3x+8y+13=0 ( Đề 58)

Kết quả: 8x−3y+17=0; 3x−5y−13=0; 5x+2y−1=0

2) Viết phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ trung điểm của các cạnh là M(−1;1);N(1;9) và P(9;1) ( Đề 14)

Kết quả: x−y+2=0;x−1=0;x+4y−13=0

3) Cho tam giác ABC có A(2;2)

a.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết phương trình các đường cao BH: 9x−3y−4=0 và CK: x+y−2=0

b.Lập phương trình đường thẳng d qua A và tạo với AC góc 450 ( Đề 3)

Kết quả: a AC:x+3y−8=0; AB:x−y=0; BC: 7x+5y−8=0

b.d:x−2y+2=0;2x+y−6=04) Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4;5) và một đường chéo đặt trên d:7x−y+8=0

Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông ( Đề 98)

Kết quả: AB:3x−4y+32=0; AD: 4x+3y+1=0;

BC: 3x−4y+7=0; CD:4x+3y−24=0; AI: x+7y−31=0

5) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;−1), đường cao AH:3x−4y+27=0 và phân giác CD: x+2y−5=0 ( Đề 84)

Kết quả: AC:y−3=0;AB:4x+7y−1=0;BC: 4x+3y−5=0

6) Cho M(2;1), N(5;3) và P(3;−4) là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC ( Đề 72)

Kết quả: 2x−3y−18=0;7x−2y−12=0;5x+y−28=0

7) Cho tam giác ABC có M(−1;1) là trung điểm BC và

AB:x+y−2=0;AC:2x+6y+3=0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.( Đề 32)

4

1

;4

9(Cvà )4

7

;4

1(B);

4

7

;4

15(

Trang 5

8) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến BN:y−1=0 và CP:x−2y+1=0.( Đề 85)

Kết quả: AC:x−y+2=0;AB:x+2y−7=0;BC: x−4y−1=0

9) Cho tam giác ABC biết diện tích S=

2

3, A(2;−3) và B(3;−2) và trọng tâm G thuộc d:3x−y−8=0 Tìm tọa độ đỉnh C ( Đề 86)

Kết quả: C(−2;−10) V C(1;−1)

10) Tìm trên Ox điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến A(1;2) và B(3;4)

nhỏ nhất ( Đề 97).

Kết quả: P( 0;

3

5)11) Cho P(3;0) và d1:2x−y−2=0, d2:x+y+3=0 Gọi d là đường thẳng qua P và lần lượt cắt d1; d2 tại hai điểm phân biệt A và B Viết phương trình của d biết PA=PB

( Đề 57)

Kết quả: 8x−y−24=0

12) Cho A(−1;3), B(1;1) và M(2;4)

a) Tìm C thuộc d:2x−y=0 để tam giác ABC cân tại C

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABM ( Đề 116)

4

11y()4

3x

13) Lập phương trình đường thẳng d đi qua P(2;−1) sao cho d cùng với hai đường thẳng d1:2x−y+5=0;d2:3x+6y−1=0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1 với d2 (Đề 56).

Kết quả: 3x+y−5=0;x−3y−5=0

14) Cho d:2x−y−1=0 và E(1;6), F(−3;−4).Tìm M∈d để EM→ +FM→ nhỏ nhất (Đề 15)

Kết quả: M( ;51

53)

Trang 6

II ĐƯỜNG TRÒN

1) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C):x2+y2−6x+4y−5=0 Tìm

các giao điểm của (C) với trục Oy Kết quả: I(3;−2) và R=3 2 A(0;−5) và B(0;1).2) Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(−1;2) và tiếp xúc với (∆):x−2y+7=0 Kết quả:(x+1)2+(y−2)2=54

b)(C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5) Kết quả:(x−4)2+(y−3)2=13

c) (C) đi qua A(1;2) và B(3;0) và có tâm I nằm trên (∆):x+y+7=0

Kết quả:(x+3)2+(y+4)2=52

d) (C) có tâm I nằm trên (∆):x−2y−3=0, bán kính R=5 và đi qua điểm A(4;3)

Kết quả:(x−1)2+(y+1)2=25 hoặc (x−9)2+(y−3)2=25

e) (C) đi qua 3 điểm A(−2;4), B(5;5) và C(6;−2)

Kết quả:(x−2)2+(y−1)2=25

f) (C) tiếp xúc với (∆):2x+y−3=0 tại A(1;1) và có tâm I nằm trên d:x+y+7=0

Kết quả:(x+5)2+(y+2)2=45

g) (C) tiếp xúc với (∆): 3x−4y−9=0 có tâm I nằm trên d:x+y−2=0 và có bán kính R=2

Kết quả:(x−1)2+(y−1)2=4 hoặc (x−277 )2+(y+

7

13)2=4h) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và đi qua M(4;2)

Kết quả:(x−10)2+(y−10)2=100 hoặc (x−2)2+(y−2)2=4

i) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và có tâm I nằm trên (∆):2x−y−4=0

Kết quả:(x−4)2+(y−4)2=16 hoặc (x−34)2+(y+

3

4)2=916

j) (C) có tâm I nằm trên (∆):4x+3y−2=0 và tiếp xúc với hai đường thẳng

d1:x+y+4=0, d2:7x−y+4=0

Kết quả:(x−2)2+(y+2)2=8 hoặc (x+4)2+(y−6)2=18

k) (C) đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1:2x+y−1=0,

d2:2x−y+2=0

Kết quả:x2+y2+

4

1023x2

Kết quả: (x−10)2+y2=25

n) (C) đối xứng với (C’):(x−1)2+(y+2)2= 4 qua điểm M(−2;2)

Kết quả: (x+5)2+(y−6)2=4

Trang 7

o) (C) đối xứng với (C’): (x−1)2+(y−4)2= 1 qua (∆):x−2y−3=0

Kết quả: (x−5)2+(y+4)2=1

3) a) Lập phương trình của đường tròn (C) có tâm I(4;3) và tiếp xúc với

(∆):x−3y−5=0

b) Chứng minh rằng (C) không có điểm chung với trục tung Tìm các giá trị của

k sao cho đường thẳng d:y=kx có điểm chung với đường tròn (C)

Kết quả: a) x2+y2−8x−6y+15=0

b) x=0 ⇒ (y−3)2= −6 vn ⇒ đpcm 2− 56 ≤ k ≤ 2+

65

4) Cho đường tròn (C): x2+y2+4x+4y−17=0 Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết:

a) d tiếp xúc với (C) tại M(2;1) Kết quả:4x+3y−11=0

b) d đi qua điểm A(−1;5) Kết quả: 3x−4y+23=0 V 4x+3y−11=0

c) d song song với (∆):3x−4y+2007=0

Kết quả:3x−4y+23=0 V 3x−4y−27=0

5) Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): x2+y2−4x−5=0 và vuông góc với đường thẳng d:12x+5y=0

Kết quả:5x−12y−49=0 V 5x−12y+29=0

BÀI TẬP NÂNG CAO

1) Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng Dm sau luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định:

a) (1−m2)x+2my+m2−4m+3=0 Kết quả: (x+1)2+(y−2)2=4

b) xcos2m+ysin2m+4cos2m−5=0 Kết quả: (x+2)2+y2=9

Phương pháp chung: Dm tiếp xúc (C) có tâm I(a;b), bán kính R cố định ⇔

R=d(I,Dm) không phụ thuộc vào m

2) Viết phương trình của đường tròn (C) nội tiếp ∆OABC biết A(15;0) và B(0;8)

Kết quả: (C): (x−3)2+(y−3)2=9

3) Cho điểm A(3;1)

a) Tìm tọa độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc tọa độ thứ nhất

b) Viết phương trình của hai đường chéo và tìm tọa độ tâm của hình vuông.c) Viết phương trình của đường tròn (C) ngoại tiếp hình vuông

Kết quả: a) B(2;4), C(−1;3) b)AC:x+2y−5=0, OB: 2x−y=0, I(1;2)

c) (x−1)2+(y−2)2=5

4) Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh AB:

2x+y+5=0;AC:2x−y−5=0;BC:x+2y−5=0 Viết phương trình của đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC

Trang 8

a) Viết phương trình của đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC

b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với cạnh BC

Kết quả: a) (x−21)2+(y−21)2=

b) Tìm tập hợp các tâm I của (Cm)

Kết quả:2x−y−4=0 với x≤1 V x≥2

7) Cho hai điểm A và B thuộc Ox có hoành độ là nghiệâm của phương trình

x2−2(m+1)x+m=0

a) Viết phương trình của đường tròn (C) có đường kính AB

b) Cho E(0;1) Viết phương trình của đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác EAB

Kết quả: a) (C): x2+y2−2(m+1)x+m=0

b) (C’):x2+y2−2(m+1)x−(m+1)y+m=0

8) Cho đường tròn (C) có tâm I(0;1), bán kính R=1 và đường thẳng d:y=3 Trên d có điểm M(m;3) di động và trên Ox có điểm T(t;0) di động

a) Chứng minh rằng, điều kiện để MT tiếp xúc với (C) là t2+2mt−3=0

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm M ta luôn tìm được hai điểm T1 và T2 trên

Ox để MT1 và MT2 tiếp xúc với (C)

c) Lập phương trình của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác MT1T2 Tìm tập hợp tâm K của đường tròn này

Kết quả: x2+y2+2mx−(m2+2)y−3=0 K∈ (P):y= 1

a) Tìm tập hợp các tâm I của (Cm)

b) Chứng minh rằng có hai đường tròn (C) và (C’) trong các đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường tròn (T)

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’)

Kết quả:a) 2x+y+2=0 b) Ứng với m=1 V m=

5

3 c)2x+y

−2±3 5=0

10) (Đề 19) Cho d: xcosα+ysinα+2 cosα+1=0 và K(−2;1)

a) Chứng minh rằng khi α thay đổi d luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên d và kéo dài KH một đoạn về phía

H và lấy trên đó điểmN sao cho HN=2KH Tính tọa độ của N theo α

Kết quả: a (C): (x+2)2+y2=1;b.N(−2−3(sinα+1)cosα;1−3(sinα+1) sinα)

11) (Đề 16) Cho d1:3x+4y−6=0;d2:4x+3y−1=0 và d3:y=0 Gọi A=d1∩ d2; B=d2∩ d3 và C=d1∩ d3.

a) Viết phưông trình phân giác trong của góc A của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Trang 9

c) Viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC

Kết quả: a x+y−1=0 b S=218 c (x−21)2+(y−21)2=41

12) (Đề 141) Cho họ đường thẳng d: (x−1)cosα+(y−1)sinα−4=0

a) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy mà d không thể đi qua

b) Chứng minh rằng với mọi α d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Kết quả: a M(x;y) với (x−1)2+(y−1)2<16 b (x−1)2+(y−1)2=16

13) (Đề 28) Lập phương trình đường tròn (C’) đi qua A(1;−2) và qua các giao điểm của d:x−7y+10=0 với (C):x2+y2−2x+4y−20=0

Kết quả: x2+y2−x−3y−10=0

14) (Đề 46) Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C):

x2+y2−10x+24y−56=0 và (C’): x2+y2−2x−4y−20=0

Kết quả: (−14±10 7)x+21y−203±10 7=0

15) (Đề 11) Cho (Cm): x2+y2−(m−2)x+2my−1=0

a) Tìm quỹ tích tâm I của các đường tròn (Cm)

b) Chứng minh rằng (Cm) đi qua 2 điểm cố định

c) Cho m=−2 Viết phương trình tiếp tuyến (C− 2) kẻ từ A(0;−1)

Kết quả: a 2x+y+2=0; b A(−2;−1) và B( ;15

5

2);

c y+1=0;12x−5y−5=0

16) (Đề 127) Cho A(0;a), B(b;0) và C(−b;0) với a,b>0

a) Viết phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với AC tại C

b) M thuộc (C) Gọi d1, d2, d3 là các khoảng cách từ M tới AB, AC và BC Chứng

3 2

a) Viết phương trình đường thẳng T1T2

b) Giả sử M thuộc một đường thẳng d cố định không cắt (C) Chứng minh rằng

T1T2 luôn luôn đi qua một điểm cố định

Kết quả: a x0x+y0y−R2=0 b.M( 2 R2

C

B

;RC

A

) với d:Ax+By=C

18) (Đề 99) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C):(x−a)2+(y−b)2=R2 tại tiếp điểm M(x0;y0) có phương trình (x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b) =R2

Aùp dụng: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x2+y2+2x−4y=0 tại O

Kết quả: x−2y=0

19) (Đề 140) Cho F(x,y)=x2+y2−2m(x−a)=0 (0<a cố định)

Trang 10

a) Định m để phương trình trên là phương trình của một đường tròn (Cm)

b) Chứng minh rằng đoạn OA, với A(2a;0) luôn cắt (Cm)

c) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương của mọi đường tròn (Cm)

Kết quả: a)m<0 V m>2a b) PO/(C) PA/(C)<0 c) x=a

20) (Đề 133) Cho A(a;0) và B(0;a) với a>0.

a) Viết phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc Ox tại A và tâm C có tung độ

2

2m

yC = Xác định giao điểm thứ hai P của AB với (C)

b) Viết phương trình của đường tròn (C’) đi qua P và tiếp xúc Oy tại B

c) (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm P và Q Viết phương trình của PQ Chứng minh rằng khi m thay đổi PQ luôn đi qua một điểm cố định

Kết quả: a) C(a;

| và vì (AB,Ox)=1350 nên ∆ACP vuông

cân tại C ⇒P(a−

2m

Trang 11

III ÊLÍP

A BÀI TẬP CƠ BẢN:

1) Viết phương trình chính tắc của (E) có hai tiêu điểm F1(-7;0), F2(7;0) và điểm

147

y 196

11

x 2 2

= + và 4x−3y+11=0

4) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ( E ) sau :

1 4

y 9

x : ) (E , 1

y 16

x : ) E

2 2

55

7 x 55

3

= +

±

5) Viết phương trình chính tắc của ( E ) biết rằng nó nhận đường thẳng :

( d ) : x–y–5=0 làm tiếp tuyến và có một tiêu điểm là F1 (- 3;0 )

8

y 17

x 2 2

= +

1

y10

x:)(E ; 14

y9

x:)E( 1 2 + 2 = 2 2 + 2 = Viết phương trình đường tròn

đi qua các giao điểm của hai êlíp trên Kết quả: x 2 + y 2 =27431

7) Tìm M trên ( E ): 1

9

y25

=+ sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

Vẽ (E) Kết quả: M(

4

9

; 4 7 5

=+ đi qua M(4;-3) là vuông

góc nhau Kết quả: 2 tiếp tuyến là x−4=0 và y+3=0 vuông góc nhau

9) Viết phương trình tiếp tuyến của 1

9

y25

x:)E( 2 + 2 = biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:x+2y−1=0 Kết quả: x+2y± 61=0

Trang 12

10) Tìm giao điểm của đường thẳng ∆:

t 1 x

( t∈R) với 1

4

y5

x:)E( 2 + 2 =

Kết quả: A(0;2) và B( ; 34

1 Viết phương trình chính tắc của elíp (E)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M

(Đề thi TN THPT năm học 2002-2003) Kết quả: a) 1

80

y 144

x 2 2

=

2 11 5

; 2

x2 2

=+

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M(3;m) với m > 0

b) Cho hai điểm A, B thuộc (E) sao cho AF1+BF2=8 Hãy tính AF2+BF1

(Đề thi TN THPT năm học 2003-2004) Kết quả: a) M(3;165 ), tiếp tuyến 3x+5y−25=0 b) AF2+BF1=12

B BÀI TẬP NÂNG CAO:

1) Đề 103) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ tiếp xúc với ∆:Ax+By+C=0 là A2a2+B2b2=C2 (C≠0)

b

ya

x2 2 2

2

=+ biết (E) có 2 tiếp tuyến d1:3x−2y−20=0 và

d2:x+6y−20=0 Kết quả: a2=40 và b2=10

3) (Đề 31) Một đường thẳng qua O cắt (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ tại hai điểm M và N Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (E) tại M và N là song song với nhau

4) (Tương tự đề 103) Cho (E): x2+4y2−4=0 Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) đi qua M(0;

3

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 tiếp tuyến trên và (E)

5) (Đề 118) Cho 2 elíp 1

1

y16

x2 2

=

a) Lập phương trình các tiếp tuyến chung của hai elíp trên

b) Viết phương trình của đường tròn (C) đi qua các giao điểm của hai elíp trên

7

55yx7

Trang 13

6) (Đề 47) Cho elíp 1

3

y6

x2 2

=+ Xét hình vuông ngoại tiếp elíp Viết phương

trình các cạnh của hình vuông Kết quả: x±y±3=0

7) (Đề 4) Cho (E):x2+4y2=4 và M(−2;m), N(2;n)

a) Gọi A1 và A2 là các đỉnh trên trục lớp của (E) Viết phương trình các đường thẳng A1N và A2M và tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng này

b) Cho MN luôn tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích của I

nm

mn

;nm

)nm(2(

++

8) (Đề 43) Cho M, N là hai điểm thuộc tiếp tuyến d của (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=

mỗi tiêu điểm F1;F2 của (E) nhìn đoạn MN dưới góc vuông Hãy xác định vị trí của

M, N trên tiếp tuyến ấy

Kết quả: M, N có hoành độ x= ± a

9) (Đề 6) Cho (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ Gọi A1,A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E), dựng các tiếp tuyến A1t và A2t’ Một tiếp tuyến qua M∈(E) cắt A1t tại T và A2t’ tại T’.a) Chứng minh rằng tích A1 T.A2 T’ không phụ thuộc vào vị trí của M

b) Tìm quỹ tích giao điểm N của A1T’ và A2T khi M chạy trên (E)

2

b(

ya

x

2

2 2

2

=+

10) (Đề 34) Cho (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ (a > b > 0) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một (E) bằng b2

11) (Đề 45) Cho (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ (a > b > 0) (∆) là một tiếp tuyến của (E) cắt x=−a tại N và cắt x=a tại M Xác định tiếp tuyến (∆) sao cho diện tích tam giác FMN nhỏ nhất với F là một tiêu điểm của (E)

Kết quả: Có 2 tiếp tuyến (∆) tiếp xúc (E) tại x=c ( với F(c;0) )

12) (Đề 79) Cho (E): 4x2+9y2=36 và M(1;1) Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại A và B sao cho AM=MB

Kết quả: 4x+9y−13=0

13) (Đề 119) Cho (E): 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ (a > b > 0)

a) Chứng minh rằng với mọi M∈(E), ta có b≤ OM ≤a

b) Gọi A là giao điểm của d:y=kx với (E) Tính OA theo a, b, k

Trang 14

c) Gọi A, B là hai điểm thuộc (E) mà OA ⊥ OB Chứng minh rằng 2 2

OB

1OA

k1abOA

x2 2

=+ và (D):ax−by=0, (D’):bx+ay=0 (a2+b2>0)a) Xác định các giao điểm M và N của (D) với (E) và giao điểm P và Q của (D’) với (E)

b) Tính diện tích MNPQ theo a, b

c) Tìm a, b để diện tích MNPQ đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm a, b để diện tích MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn và kết quả: b) SMNPQ=2OM.OP= (9a272(ba2)(4ba2) b2)

2 2

++

+

c) Có thể giả thiết a2+b2=1 ⇒ S= 2 2

ba2536

72

⇒ S ≤12 ⇒

MaxS=12 khi a=0 hoặc b=0

d) Theo bất đẳng thức Côsi a2+b2≥2ab⇒ab≤½ ⇒ a2b2≤¼

ba2536

2215) Tìm quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E): 1

3

y6

x2 2

=+

Hướng dẫn và kết quả: Giả sử có 2 đường thẳng vuông góc nhau

(D1):Ax+By+C=0 và (D2):Bx-Ay+C’=0 Dùng điều kiện tiếp xúc của (D1) và của (D2) với (E) ta có: 6A2+3B2=C2 và6B2+3A2=C’2⇒ C2+C’2=9(A2+B2) (1) Từ 2 phương trình của (D1) và (D2) ⇒ C2+C’2=(A2+B2)(x2+y2) (2) Từ (1) và (2) ⇒ x2+y2=9 ⇒ Quỹ tích của M là đường tròn có tâm O, bán kính R=3

Trang 15

IV HYPEBOL

A BÀI TẬP CƠ BẢN:

1) Xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, phương trình đường tiệm

cận, độ dài hai trục của (H): 9x2– 4y2– 36=0

2) Lập phương trình chính tắc của (H) trong các trường hợp :

a) Trục thực bằng 10, tiêu cự bằng 26

b) Tiêu cự bằng 26, phương trình một tiệm cận là x

12

5

y=c) Tâm sai e= 2 đi qua M(5;3)

d) Có một tiêu điểm F ( 7;0 ) và đi qua A (-2;12)

3) Cho ( H ) : 9x2–y2–9=0 tìm M∈ ( H ) sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

4) Cho ( H ) : 9x2–16 y2–144=0 tìm M∈ ( H ) sao cho MF1=2MF2

5) Lập phương trình chính tắc của (H) tiếp xúc với các đường thẳng

(d1):5x–5y–16=0, (d2): 13x−10y−48=0

24

y25

=

a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (H)

b) Tìm M trên ( H ) có hoành độ x=10 và tính khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm

c) Tìm k để đường thẳng y=kx – 1 có điểm chung với ( H )

7) Lập phương trình chính tắc của ( H ) trong các trường hợp:

a) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là

13

50 và có tiêu cự bằng 6.

b) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là

5

32 và độ dài trục thực bằng 8

4

y5

x2 2

=

−a) Xác định các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận của (H)

b) Lập phương trình tiếp tuyến ( d ) tại M (5;−4)

c) Lập phương trình tiếp tuyến ( d/ ) qua N (−2;1)

9) Lập phương trình chính tắc của ( H ) đi qua điểm M(4;3)và tiếp xúc

(d): x−y+1= 0

10) Cho ( H ) : 4x2–y2−64=0 và đường thẳng ( d ) : 10x–3y–2007=0

a) Lập phương trình tiếp tuyến của ( H ) song song ( d ) và tính khoảng cách giữa các tiếp tuyến đó

b) Lập phương trình tiếp tuyến của ( H ) và vuông góc với ( d )

11) Lập phương trình chính tắc của (H ) trong các trường hợp :

a) Một đỉnh trên trục thực là A (-3;0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là : x2+y2 =16

Trang 16

b) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là

12) Lập phương trình tiếp tuyến của (H ) : x2−2y2=1tại điểm có tung độ y=2

B BÀI TẬP NÂNG CAO:

1) (Đề 103) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (D):

Ax+By+C=0 (A2+B2≠ 0) tiếp xúc với (H): 1

b

ya

x2 2 2

2

=

− là A2 a2−B2b2= C2 > 0

2) (Đề 18) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) tiếp xúc với hai

đường thẳng d1: 5x−6y−16=0 và d2: 13x−10y−48=0

4

y16

ba

+

4) (Đề 113) Cho (H): 1

b

ya

x2 2 2

2

=

− và một tiếp tuyến bất kỳ của (H) là (D): Ax+By+C=0 (A2+B2≠ 0) tiếp xúc với (H) tại T Gọi M, N là các giao điểm của tiếp tuyến (D) với các tiệm cận của (H)

a) Chứng minh rằng T là trung điểm của MN

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác OMN không phụ thuộc vào (D)

Kết quả: ab

5) (Đề 137) Cho (H): 1

b

ya

x2 2 2

2

=

a) Tính phần độ dài phần tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn

b) Tính khoảng cách từ các tiêu điểm của (H) đến hai tiệm cận

c) Chứng minh rằng: Chân các đường vuông góc hạ từ 1 tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó

Kết quả: a) 2a b) b c)OH→ .F1→H=0 ⇒ đpcm

9

y4

x2 2

=

− Gọi (D) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k và (D’) qua O và (D’) ⊥ (D)

a) Tìm k để (D) và (D’) đều cắt (H)

b) Tính diện tích của hình thoi có 4 đỉnh là 4 giao điểm của (D’) và (D) với (H).c) Xác định k để hình thoi có diện tích nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	650 KB