SKKN Đa thức và ứng dụng

Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp: Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về đa thức là một phần quantrọng của toán học.. Trong bài viết này tác giả cố gắng tối đa chọn lọc ra

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP:

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Họ và tên: Nguyễn Minh Tuấn

Đơn vị công tác: THPT chuyên Võ Nguyên Giáp

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP:

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Họ và tên: Nguyễn Minh Tuấn

Đơn vị công tác: THPT chuyên Võ Nguyên Giáp

Quảng Bình, tháng 5 năm 2015

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp:

Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về đa thức là một phần quantrọng của toán học Đa thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sứchấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giảichúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải

Trong các kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế vàOlympic sinh viên, bài đa thức thường ở mức độ khó Toán đa thức rất phongphú và đa dạng và cũng rất phức tạp nên khó phân loại và hệ thống hóa thànhcác chuyên đề riêng biệt

Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh

mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học

Trong bài viết này tác giả cố gắng tối đa chọn lọc ra một số ứng dụng của

đa thức vào việc giải các bài toán đại số, số học, bất đẳng thức giúp học sinh tiếpcận từng bước từng mức độ kiến thức và luyện tập giải toán

1.2 Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp: Đề tài có ứng dụng rộng

rãi đối với tất cả giáo viên, học sinh và trên nhiều kiến thức liên quan: đại số,giải tích, số học, bất đẳng thức…

Tác giả hy vọng đề tài “Đa thức và ứng dụng” sẽ giúp các em học sinh bổsung kiến thức về phần đa thức trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu thamkhảo bổ ích cho bạn đọc

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1.Thực trạng của vấn đề mà đề tài, sáng kiến, giải pháp giải quyết

Đa thức được học từ lớp 7, 8 bổ sung dần dần đến lớp 12 và hoàn chỉnh ởcấp Đại học Hiện nay việc nghiên cứu đa thức ở bậc THPT còn hạn chế, bởi vìkiến thức này thương được sử dụng trong các đề thi học sinh giỏi và ít giáo viênviên dạy về phần này Đề tài tập trung vào việc ứng dụng của đa thức vào việcgiải các bài toán đại số, số học và đánh giá hệ số và nghiệm của đa thức

2.2 Nội dung đề tài, sáng kiến, giải pháp

Cho đa thức

0

k k

deg(f g) max{ , }, degm n f g m n   ,deg(f g )  m n

Phép chia đa thức

Định lý 1.7.1 (Định lý cơ bản) Mọi đa thức bậc n có không quá n nghiệm

thực

Từ đó, nếu deg f n và f x ( ) 0 tại ít nhất n+1 điểm, thì f x( ) 0  x

Định lý 1.7.2 (Định lý về phép chia với dư) Cho f g,   [ ]x Khi đó tồn tạicác đa thức q r,   [ ]x sao cho

( ) ( ) ( ) ( )

f x q x g x r x

Trong đó degr degg

Đặc biệt, khi ( ) 0 thì ta nói f x( ) chia hết cho g x( ), ký hiệu f x g x( ) ( ) hay g x f x( ) ( )

Định lý 1.7.3 (Định lý Bezout) Nếu x a là nghiệm của đa thức f x( ) thì( ) ( )

Hai đa thức bằng nhau

Cho hai đa thức

0

k k

g x b x 



 Nếu P x( ) Q x( ) tại ít nhất[ ax( ; ) 1]m m n  giá trị phân biệt của x thì

f x x  a b c d x    ab bc cd da ac bd x      abc bcd cda dab x abcd   

Vì f x( ) có 4 nghiệm a b c d , , , 0 nên f x ( ) có 3 nghiệm x x x 1 , , 2 3 0 Ta có

1 2 3

2 3

Lời giải Xét đa thức

1 0

1

k k

Lời giải Xét đa thức f x( ) ax3  (m b x ) 2  (n c x p d )   Ta có

 (vô lý)Nếu   0 thì d   n suy ra  d n bị chặn.

2.2.5 Sử dụng đa thức trong các bài tập số học

Ví dụ 1: Cho số tự nhiên lẻ P và các số nguyên a b c d e, , , , thỏa mãn các điềukiện a b c d e    và tổng a2 b2 c2 d2 e2 đều chia hết cho P Chứng minh

rằng a5 b5 c5 d5 e5 cũng chia hết cho P.

Lời giải Xét đa thức f x   x a x b x c x d x e              Ta đặt

  5 4 3 2

f x x  Ax Bx  Cx Dx abcde (4.3)Với A a b c d e B ab ac ad ae bc bd be cd ce de     ,          

Lời giải Ta có f x  g x   a b c x    2  x 1 Giả sử x0 là nghiệm chungcủa 2 phương trình f x   0 và g x   0 Khi đó

+ Nếu a b c   0 thì do a b  2c a b c   (mod 3) nên a b  2 3c

+ Nếu a b c   0, thì do x0 là nghiệm chung của f x  và g x  nên x0 lànghiệm của phương trình x2  x 1  0 Theo định lý về phép chia với số dư, ta có

   2 1  

trong đór  x ,degr 2 Trong (4.4), thay x x 0 ta được

Lời giải Xét đa thức

a  b và nhận giá trị chính phương tại 2010 điểm phân biệt

Lời giải Tồn tại đa thức bậc hai có tính chất như vậy Thật vậy:

Xét f x( ) x2 ax b , ta có 4 ( ) 4f x  x2  4ax 4b (2x a ) 2  4b a 2

Giả sử tồn tại x x1 , , , 2 x2010; 1y y, , , 2 y2010 , (x i x j, 1    i j 2010)là các sốnguyên thỏa mãn

Vậy tồn tại đa thức thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 4: Biết rằng các số nguyên dương a b c  và d thỏa mãn đồng thời cácđiều kiện sau:

(i) abc d 3

(ii) số a b c d   là một ước nguyên tố của số ab bc ca d   2

Chứng minh rằng b d

Lời giải Ta chứng minh bài toán bằng phản chứng Giả sử ngược lại là b d

khi đó dễ thấy a c d,  (do abc d 3và a b c  ) Dễ dàng chứng minh được khi đó

a b c 

Xét hàm số

3 ( ) ( )( )( ) ( )

Suy ra f( d) (  a d b d c d )(  )(  )là một bội của a b c d  

+ Trường hợp 1 c d là bội của a b c d   Trong trường hợp này ta có

d c a b c d      d  a b c

Nhưng, theo BĐT AM-GM, có a b  2c 33 ab c(2 ) 3  d3 2 2  d Vô lý

+ Trường hợp 2 b d là bội của a b c d   Tương tự như trên, suy ra vôlý

Vậy b d

Chú ý: Khi a d b d c 2 ;  ;  1 và d2   1 Plà số nguyên tố (chẳng hạn d 2, 4)

ta thấy bộ số a b c d, , , thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với bất kỳ 3 số nguyên a b c, , nào đó luôn tìmđược n 

  để cho số n3 an2 bn c không là số chính phương

Lời giải Xét đa thức f n( ) n3 an2 bn c Ta cần chứng minh trong các đạilượng f(1), (2), (3), (4)f f f phải có ít nhất 1 số không là số chính phương

Giả sử trái lại, các số f(1), (2), (3), (4)f f f đều là số chính phương

Ví dụ 6:Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

0 0 0 ( ,x y z  , ) là nghiệm của

hệ, và giả sử x y z0 , 0 , 0 đôi một phân biệt Khi đó

7 Chứng minh rằng phương trình g x  ax4bx3cx2dx e  0 có nghiệmthực.

8 Cho P  x ,degP1 sao cho    '  

P x P x  Chứng minh rằng tồn tại

n 

  sao cho P n  không là số chính phương

9 Cho a b c  , , sao cho a b c a  2 b2 c2 Chứng minh rằng tồn tại vô số

2.2.5 Sử dụng đa thức trong các bài tập bất đẳng thức

Ví dụ 1: Giả sử phương trình x3  ax2 bx a  0có ba nghiệm thực không

âm (không nhất thiết phải phân biệt) Chứng minh rằng 8a 3b 72

Lời giải Gọi ba nghiệm của phương trình là    , , Theo định lý Viete tacó:       6;         a;    b

Ta cũng có thể giải như sau: Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc

Ví dụ 2: Giả sử với hai số dương a b, thì phương trình x3  ax2 bx a  0có

ba nghiệm lớn hơn 1 Xác định a b, để biểu thức P b n n3n

a



 , với nlà số nguyêndương cho trước, đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải Gọi ba nghiệm của phương trình là    , , Theo định lý Viete tacó:      a;         b;    a

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a3 3,b a 3 9 , khi đó phương trình

có ba nghiệm trùng nhau và đều bằng 3

Vậy min

2

3 13

n n

P   khi a 3 3,b 9

Ví dụ 3: Giả sử a b c, , là ba số thực sao cho phương trình

x ax bx c  có ba nghiệm thực (các nghiệm không nhất thiết đôi một phân biệt) Chứng minh rằng: 12ab27c6a3 10(a2  2 )b 32

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

2(9 2)(8 4 () )

Từ (*) và (**) suy ra 2 3 Do đó 2 2 2  9 2

Vì vậy từ (4) ta có:

2(2(  ) ) 100

Đẳng thức ở (1) xảy ra khi và chỉ khi ( ; ; )a b c là một hoán vị của

( t;2 t;2 t) , trong đó t là một số thực không âm

Ví dụ 4: Cho phương trình x3 ax2 bx a 0 với a 0,b 0 Chứngminh rằng nếu phương trình có ba nghiệm đều không nhỏ hơn 1 thì:

Do       nên tồn tại một tam giác ABC sao cho:

   Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Lời giải Đặt f x  x4 ax3 bx2 cx1 Gọi  x1; x2; x3; x4là bốnnghiệm của f x  Do a b c, , không âm nên nghiệm của f x  là các số âm, suy

Khi đó Q x  x5 dx4 cx3 bx2 ax1 cũng có năm nghiệm phân biệt.Tương tự như trên ta cũng có:

2

Từ (1) và (2) suy ra 2a2 d2 5b c 

Nhận xét Qua các bài toán trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để giải quyết

bài toán là định lý Viete, bất đẳng thức AM-GM, Bunhyakovski, công cụ lượnggiác, khảo sát hàm số Hy vọng với việc phân tích các tình huống như đã nêu sẽgiúp các bạn có kỹ năng giải các bài toán này và bản thân các bạn cũng có thểsáng tạo được các bài toán tương tự

b c a

   

Đẳng thức xảy ra khi nào?

2 Giả sử phương trình x3 6a2  5x2  x 2a3 0a0có ba nghiệm

5 Chứng minh rằng nếu x là nghiệm của phương trình0

2007a 4016a a

3 PHẦN KẾT LUẬN

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài, sáng kiến, giải pháp

Đa thức là một chuyên đề quan trọng trong toán học Các bài toán liên quanđến đa thức luôn mang đến sự hấp dẫn bởi kỹ thuật và phương pháp giải chúng

Đề tài trình bày một số ứng dụng của đa thức trong đại số, số học, bất đẳngthức với các ý tưởng, ví dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thốngnhằm giúp cho bạn đọc có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển

Chuyên đề này thật sự bổ ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.Hiện nay những tài liệu, cuốc sách chuyên khảo về đa thức không nhiều, điều đógây khó khăn không nhỏ cho không chỉ học sinh mà thậm chí cả giáo viên dạytoán ở các trường chuyên Trong bài viết này, tác giả trao đổi với các thầy côđồng nghiệp, các em học sinh về đa thức và ứng dụng của của trong giải toán

Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những saisót về trình bày cũng như về chuyên môn Rất mong bạn đọc góp ý kiến

Xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- TS Huỳnh Công Thái, Chuyên khảo về đa thức và ứng dụng Bồi dưỡng học sinh chuyên toán và giáo viên, NXB ĐH Quốc gia Ha nội.

2- Lê Hoành Phò, Chuyên khảo đa thức, NXB ĐH Quốc gia HCM.

3- Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam.