ặ ậ ệ Hãy luôn nhớ rằng : Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn.. Vậy để làm
Trang 1TÍCH PHÂN : “NHỮNG ĐIỀU CẦN NÓI ĐẾN“
Nh chúng ta đã bi t, tích phân là m t đ i t ư ế ộ ố ượ ng không th thi u trong đ thi đ i h c, h u h t ể ế ề ạ ọ ầ ế các câu tích phân xu t hi n trong đ thi g n đây đ u không khó. Tuy nhiên không lo i tr kh năng ấ ệ ề ầ ề ạ ừ ả vào m t ngày đ p tr i nào đó, nhóm tác g a đ thi n i h ng dành t ng chúng ta m t câu tích phân ộ ẹ ờ ỉ ề ổ ứ ặ ộ
“hay, l và khó” nh t là l i v i tr ạ ấ ạ ớ ườ ng h p c a kì thi năm 2015 s p t i – m t năm có nhi u sóng ợ ủ ắ ớ ộ ề gió, bi n đ ng trong ngành giáo d c. Vì v y đ không b b ng , th t v ng khi g p m t câu tích ế ộ ụ ậ ể ị ỡ ỡ ấ ọ ặ ộ phân nh th kì thi đ i h c s p t i, chúng ta c n chu n b t t hành trang, vũ khí đ dành ph n ư ế ở ạ ọ ắ ớ ầ ẩ ị ố ể ầ
th ng trong cu c chi n ! ắ ộ ế
B n thân tôi cũng là m t h c sinh bình th ả ộ ọ ườ ng nh các b n, tôi không thông minh v ư ạ ượ ậ t b c nh ư
“con nhà ng ườ i ta”, cũng không siêng năng, chăm ch cho l m. Tuy nhiên tôi có cá tính r ng đã h c ỉ ắ ằ ọ cái gì thì c n hi u b n ch t c a nó, tôi r t ghét ph i th a nh n m t cách m h , không có căn c ầ ể ả ấ ủ ấ ả ừ ậ ộ ơ ồ ứ
đi u mà chúng ta g p m i n i, t cách d y c a gíao viên cho t i các b sách tham kh o… Vì ề ặ ở ọ ơ ừ ạ ủ ớ ộ ả
v y tôi đã c g ng đi tìm ra m t s chân lý mà không ph i đâu b n cũng đ ậ ố ắ ộ ố ả ở ạ ượ c d y và đi u đó ạ ề
th c s quan tr ng đ gíup chúng ta ti n sâu h n, rèn luy n t t l i t duy riêng bi t không gi ng ự ự ọ ể ế ơ ệ ố ố ư ệ ố
ai và th m chí có th g ai m t bài toán v i th i gian b ng m t ph n 3 th i gian ng ậ ể ỉ ộ ớ ờ ằ ộ ầ ờ ườ i khác gi i ả
T t c đi u đó, các b n s đ ấ ả ề ạ ẽ ượ c g p trong t p tài li u sau ./ ặ ậ ệ
Hãy luôn nhớ rằng : Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra
những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn.
Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?
1 Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.
2 Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.
3 Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp.
(Tài li u không hoàn toàn do chính tôi sáng tác, m t s bài t p, kinh nghi m đ ệ ộ ố ậ ệ ượ ư ầ c s u t m t quá ừ
trình tôi tìm hi u, h c h i ) ể ọ ỏ Tôi luôn s n sàng th o lu n đ h c h i, s chia đ v ẵ ả ậ ể ọ ỏ ẻ ể ươ n lên cùng t t c m i đ i t ấ ả ọ ố ượ ng, m i lúc, ọ
m i n i… ọ ơ Chân thành c m n ! ả ơ
Thành Vinh, ngày 29.12.2014
Võ Minh Hùng ( @zanter ) – THPT LVT
Góp ý xin g i v : ử ề motdemmuathu@gmail.com
Trang 2Đ U TIÊN C N NH C L I M T S KI N TH C : Ầ Ầ Ắ Ạ Ộ Ố Ế Ứ
Trang 3Nh n xét 1: ậ Quan sát th y đ c hàm s d i d u tích phân có d ng phân th c. V y ki n th c s s d ng cho hàm phân ấ ượ ố ướ ấ ạ ứ ậ ế ứ ẽ ử ụ
th c là gì? Ch c ch n chúng ta nghĩ đ n nguyên hàm ứ ắ ắ ế
V y đ s d ng đ c công th c này chúng ta c n ph i tìm m i cách bi n đ i v d ng đó !ậ ể ử ụ ượ ứ ầ ả ọ ế ổ ề ạ
Nh n xét 2: ậ đây ch xu t hi n 2 hàm s l ng giác là sinx và cosx . V y có cách nào bi u di n thông qua m t y u t Ở ỉ ấ ệ ố ượ ậ ể ễ ộ ế ố không ? Ta cùng tìm ki m ki n th c đ gi i quy t. ế ế ứ ể ả ế
H ng 1: Chia c t và m u cho cosx ta đ c t đó đ t t= tgx ướ ả ử ẫ ượ ừ ặ
I =
H ng 2: Đ t thì ướ ặ
V i h ng trên ta có th tính đ c tích phân có d ng t ng quát sau: ớ ướ ể ượ ạ ổ Các b n hãy làm bài toán trên và t mình nghĩ ra đ bài và gi i nhé!ạ ự ề ả
Nh n xét 3: ậ Xu t phát t quan h c a sinx và cosx . Đi u gì đ c bi t trong c n c a tích phân ? ấ ừ ệ ủ ề ặ ệ ậ ủ
H ng 3: Đ t x= ( đây là cách đ t n ph mà không làm thay đ i c n c a tích phân đã có d p trao đ i cùng các b n).ướ ặ ặ ẩ ụ ổ ậ ủ ị ổ ạ Khi đó :
Thật đáng kinh ngạc … !!!!
V i h ng trên ta có th tính đ c tích phân t ng quát sau: ớ ướ ể ượ ổ Các b n hãy làm bài toán trên và t mình nghĩ ra đ bài và gi i nhé!ạ ự ề ả
Nh n xét 4: ậ N u dùng bi n đ i l ng giác thì nh th nào ? ế ế ổ ượ ư ế
H ng 4: Bi n đ i f(x) = và ta tính đ c bình th ng.ướ ế ổ ượ ườ
H ng 5: Bi n đ i ướ ế ổ f(x) =
và ta tính v i các tích phân bình th ng c a hàm l ng giác.ớ ườ ủ ượ
Nh n xét 5: ậ Vì tích phân có d ng hàm phân th c nên n u ta bi n đ i t th c đ tìm cách vi t đ c qua m u s và đ o hàmạ ứ ế ế ổ ử ứ ể ế ượ ẫ ố ạ
c a m u thì hay quá ! ủ ẫ
H ng 6: Bi n đ i ướ ế ổ
Nh n xét 6: ậ Quan sát tích phân c n tìm ta th y s sai khác c a t s và m u s , v y n u ta tìm đ c m t tích phân khác cóầ ấ ự ủ ử ố ẫ ố ậ ế ượ ộ
“h hàng” ọ v i nó thì sao nh ? Tr l i câu h i đó ta đi xét tích phân ( g i là tích phân liên k t c a tích phân I) .ớ ỉ ả ờ ỏ ọ ế ủ
T hai tích phân trên ta đi gi i h : s tìm đ c I .ừ ả ệ ẽ ượ
Trang 4 Trên đây ch là m t bài toán mang tính ch t minh ho cho l i t duy gi i toán tích phân mà thôi. Và nh tôi đãỉ ộ ấ ạ ố ư ả ư nói đ u r ng khi g ai m i bài toán c n tìm ra đi m nh n n trong đ bài. Ti p theo tôi mu n gi i thi u v iở ầ ằ ỉ ỗ ầ ể ấ ẩ ề ế ố ớ ệ ớ các b n m t l i t duy có tên ạ ộ ố ư “KH TRỔ ƯỚC SƯỚNG SAU” thông qua m t ví d đ n gi n :ộ ụ ơ ả
Đ bài :ề Tính nguyên hàm :
Gi i : ả
Ta có :
Nhận xét : Đ n đây chúng ta đã có th nghĩ ra nhi u cách g ai khác ế ể ề ỉ nhau, nhưng việc lựa chọn sao cho cách g ai nào là t i ưu nh t mới là ỉ ố ấ quan trọng …
Cách 1 : Đặt
Đến đây bạn đã biết cách giải !
Cách 2 : Đặt nhiều hơn tí nữa nhé! Đặt
Cũng hay đ y ! Tuy nhiên đây chưa ph i là t i ưu đâu ấ ả ố
Cách 3 : Đặt
Ta có :
Vậy :
BẠN THẤY KHÔNG ? VIỆC ĐẶT ẨN T CÀNG KHÓ KHĂN THÌ SAU ĐÓ CHO TA KẾT QUẢ THẬT
DỄ DÀNG !
CÓ THỂ BẠN CHƯA THẤY ĐƯỢC HIỆU QUẢ CAO TRONG BÀI TOÁN NÀY VÌ NÓ KHÁ ĐƠN GIẢN, NHƯNG HÃY THỬ LÀM THẾ VỚI BÀI TOÁN KHÁC, BẠN SẼ BẤT NGỜ ĐẤY !
……To Be Continued