giáo trình phương pháp tính

Ngoài ra ta thường gặp trường hợp phương trình 1.1 chứa các hệ sổ chỉ biết một cách gần đúng, khi đó việc xác định chính xác nghiệm của 1.1 không có ý nghĩa Vì vậy, việc tìm những phươn

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

độ

bả

gle

LỜI NÓI ĐẦU

Phương pháp tính là môn toán chuyên đề dành cho khối kỹ thuật những sinh viên khối kinh tế có thể tham khảo như môn hạc nhiệm ý,

nếu đã học Aong các môn xắc vui thâng kê và quy hoạch tuyến tính Đây là sách giáo khu dũng vong tong tốt cuốn bài lập - Ngân hàng

câu hỏi phương pháp tùnh thí tự luận và tiểu luận của cũng tác giả

Vì đây là môn học tính toán, nên nhóm tác giả muốn truyền tải đến sinh viên theo đúng tỉnh thần thuật toán (algorithm), va lay Microsoft

excel lam cong cụ chính để cài đặt thuật toán (vì bản chất của Excel được thiết kể một cách hoàn mỹ theo cấu mic con trỏ tuyển tỉnh theo

chiều ngang cũng như chiều doc, rai phù hợp với các thuật toán của

phương pháp tính Hơn nữa, Excel luôn có trong bộ Microsolt Office rat

quen thuộc đổi với vình viên) Hầu hết các kết quả trong sách đầu được

cài đặt công thức theo phương thức trên, và sau dé là kỹ thuật kéo thủ chuột để ra các bằng kết gud Tai nhiên một sổ kẽ] quả quá mễm và

nhạy cẩm thì đồi hồi ta phải lập trinh bang Matlab hay Visual Basic C Sách chia làm 7 chương, trong Äó„~sinh viên cần nhớ các công thức,

và các bước thuật toán, để kiểm tra lại các kế) guả trong sách, bằng cách dùng Excel hay máy tỉnh Vn-57DMS Chương 2, 3, 4, 5, Ố, 7 có một

số bài toán mở rộng dành cho sinh viên giỏi muốn nghiên cứu thêm hay

để làm tiểu luận

Tác giả rất cẩm ơn Hiệu trưởng Tụ Xuân Tế, Ngài đã khích lệ và

động viên cùng tấi củ những cao kiển đóng góp quý báu cho lần xuất bản tập sách này, kip ra mắt độc giả trong năm học mới Rất mong độc

giả nhiệt tình góp ý phê bình để cuổn sách ngày một hoàn thiện hon

'Tp HCM, ngày 01 tháng 04 nãm 2009

TS Nguyễn Phú Vinh

MỤC LỤC Mục lục

Chương 1: TÍNH GẦN DUNG “NGHIỆM THỰC CỦA

PHƯƠNGTRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆ ï

Chương 2: GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH

Chương 7: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DAO HAM RIENG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

278 -ò 305 -Ö315

Ch

tron,

thườ bậc

VỚI r

đơn, khi n nhữn

tính :

thi kt

phươi việc việc I việt c tìm đi

T

phươn một k

la ngt /@) 1

cô lập miễn ]

Vị hành tị

đơn giản Người ta cũng tìm ra những công thức tính nghiệm của (1 2)

khin= 3 và n=4, nhưng việc sử dụng chúng khá phức tạp Còn đối với những phương trình đại sổ từ bậc năm trở lên thì không có công thức

tính nghiệm Hơn nữa, đối với phương trình siêu việt đạng (1.1) như:

cosx +1~5x=0

thì không có công thức tính nghiệm Ngoài ra ta thường gặp trường hợp

phương trình (1.1) chứa các hệ sổ chỉ biết một cách gần đúng, khi đó

việc xác định chính xác nghiệm của (1.1) không có ý nghĩa Vì vậy,

việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình đại sổ và siêu việt cũng như việc đánh giá mức độ chính Xác của nghiệm gần đúng

tìm được có một vai trò quan trọng Trong chương này, ta xét việc tính gần đúng nghiệm thực của

phương trình (1,1) với giá thiết hầm sổ /(x) xác định và liên tục trong

một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn Mỗi sé thực š thoả mãn /(E) = 0 gọi

là nghiệm thực của phương trình (1 1) hoặc không điểm của hàm số ƒ() Ta cũng giả thiết thêm rằng phương trình (1.1) chỉ có nghiệm thực

cô lập, nghĩa là với mỗi nghiệm thực của phương trình (1.1) tổn tại một

miền lân cận không chứa nghiệm thực khác của phương trình Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1 1) được tiển hành theo hai bước: r Go aye 4

on

-Bude I tìm khoảng cách ly nghiện, nghĩa là im khodng (a, b)

chứa một và chỉ một nghiệm thực của phương trình (1.1)

Buóc 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm ở bước I, tính gần

đúng nghiệm thực của phương trình (1.1) đạt độ chính xác yêu cầu

bằng một phương pháp gần đúng

§2 KHOẢNG CÁCH ELY NGHIỆM Định lý 1 1 dưới đây (đã biết trong giáo trình Toán học cao cấp)

cho ta cách Gm khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1)

Định lý L1: Nếu hàm sổ /{x) liên tue trong (a, b), 4a) 4b) < 0,

St) tốn tại và giữ dấu không déi trong (a b) thì trên khoảng ấy chỉ có

một nghiệm thực £ duy nhất của phương trình (L 1)

Ý nghĩa hình học của định lý I1 như sau: một đường cong liền nét

= f(x), chỉ tầng hoặc chỉ giảm, nổi liên hai điểm A(a, /(4)) và B(b,

/(b)) nằm ở hai phía khác nhau của trục Ox, cắt trục Ox tại một điểm

duy nhất x = Š (hình 1.1)

Từ định lý LÍ suy ra rằng (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của

phương trình (L1) nếu /(a), /() < 0, /Œ) tên tại và giữ dấu không đổi

trong (a, b} Để tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình

(1.1) có hai phương pháp: giải tích và hình học

Hình 1.1

1 Phương pháp giải tích

Xác định dấu của hầm sổ ƒ(Œ) tại các điểm mút của miễn xác định

của hầm số /(x) và tại các điểm trung gian x = 0i, X = 0a.)

x = a Nhitng điểm này thường được lựa chọn căn cứ vào đặc điểm

cha ham sé f(x) Mỗi khoảng, ở đó hai diễu kiện trên được thoả mãn

là một khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) Thông thường để

tiện, người ta thường dùng quá trình chia đôi, chia khoảng cách xác

Chú ý phương trình đại sổ bậc n (1 23) không nhiều hơn n nghiệm thực đo đó nếu ta đã tim được n + l điểm ở đó:

VI]

dgX” +ak”” + + a„Six +, lẩn lướt thay đổi đấu thì điểu đó có

nghĩa là phương trình (1.2) có n nghiệm thực và tứ n + l điểm trên, ta

để đăng xác định được n khoảng cách ly nghiệm Thi dee L1

Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình:

/(=x)~6x+2<0 » {to 23x" g

Gidi:

Thanh lap bang xét dau ciia ham sé f(x):

x -ø «3 |-210111213)+e

Dấu củaƒœ@)| - |- |+|+|-|-|+Ä +

Từ bảng trên ta tìm được bốn diém -3, -2 | va 3, ở đó f(x) lần lượt

thay đổi dấu Kết hợp với điểu kiện / (x) tổn tại và giữ đẩu không

đổi ta suy ra (-3, -2), (0, 1) va (2, 3) JA ba khoảng cách ly nghiệm của phương trình đã cho

Trong trường hợp fix) là một hàm số liên tục và phương trình f= 0 dé tìm nghiệm, để tim những khoảng cách ly nghiệm

của phương trình (1.1) ta chỉ cần xác định dấu của hàm sổ ƒ() tại hai

mút của khoảng xác định và tại các không điểm của đạo hầm f(x) hoặc tại các điểm gần các không điểm của đạo hầm / /(v)

Thí dụ L2 Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình:

ƒ(Œ)=2Ÿ~5x~3=0

Từ bảng trên ta suy ra phương trình đã cho hai nghiệm thực Để tìm

được hai khoảng hẹp hơn chứa hai nghiệm thực, ta xét bảng dấu sau:

Trong trường hợp dé thị của hàm số y = f(x) dé vé, để tìm những

khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1), ta vé dé thị của hầm số

y = f(x) trên giấy kể ô vuông Hoành độ các giao điểm của đề thị với

trục hoành Ox cho ta cdc giá trị thô của các nghiệm thực của phương

trình (1.1) Từ để thị, ta dễ dàng tìm được các khoảng cách ly nghiệm

của phương trình (1 1) Nếu để thị của hàm số y = f(x) khó vẽ, ta đưa

phương trình (1 1) về phương trình tương đương:

a(x) = h(x)

sao cho để thị của hai ham sé y = a(x) va y = h(x) dé vé Ta vé hai dé

thị đó trên giấy kể ô vuông và trên cùng một hệ trục tọa độ Hoành độ

các giao điểm của hai dé thị cho ta ác giá trị thô của các nghiệm thực

của phương trình (1.1) Từ dé thị, ta cũng để dàng ñm được các khoảng

cách ly nghiệm của phương trình (L 1)

Thi due L3

c phuat

xÌ=3x

Vẽ

và trên

nhau tại thi, tact |

(hình 1.2) Ta thẩy rằng đồ thị cất trục » hoành Ox tại ba điểm, do đó

phương trình đã cho có ba nghiệm thực

Vẽ đồ thị của hai hàm SỐ y =x VA ÿ = 3x +] trên giấy kể ô vuông

và trên cùng một hệ trục toa độ (hình 2.3) Ta thay rằng: bai đồ thị cắt nhau tại ba điểm do đó phương trình đã cho có ba nghiệm thực Từ đổ

thị, ta cũng tìm được ba khoảng cách ly nghiệm như ở cách ]

§3 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

1, Nội dụng phương pháp chia đôi

Giá sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (11) Ta

chia đôi khoảng (a, b) Néu (2=! tì gan “là nghiệm

“so #0, la chon m6t trong hai

đúng của phương trình (1 1) Neu |

3 a+b) fatb sist hat ma cổ 3 › x

khoảng | 4› 7 và | 7 ~¿ |mà tại hai mút của khoảng hàm số

f(x) c6 ddu khác nhau, lâm khoảng cách ly nghiệm mới Ta gọi khoảng

nầy là (au bị), với độ dài bằng nửa khoảng (A, bì: bp ay = ye)

“Ta lại chia đôi khoảng (a), by) và tiếp tục làm như trên

2 Sự hội tụ của phương pháp chia đôi

Nếu ta thực hiện vô hạn lần phương pháp chia đôi đối với khoảng :

(a, b) thì hoặc tại một lần nào đó, điểm giữa của khoảng là nghiệm |

đúng của phương trình (9) trường hợp này ít xây ra) hoặc ta nhận ˆ

được một dãy vô hạn các khoảng chẳng lên nhau và thu nhỏ dẫn (ai, |

bạ), (aạ, bạ), , (Am, bạ), sao cho:

ƒ(an) /(bà) <0 3)

1

và bạ dụ =n) (n=l,2 .) (14)

Vì các mút trấi ai, 83, , 8a, LẠO nên dãy đơn điệu không giảm và :

bị chặn trên bởi số b, còn các mút phải bị, bạ, ., bạ, tạo nên day đơn |

điệu không tăng và bị chặn bởi số a, nên khi n ~> +œ, từ đẳng thức ;

(1.4), ta nhận được: | lim #¿ = lim 2, =¢

han lin dé

thé dp du

đương, hí

Ủn — đụ = Vay cc’ a) aa b) b,

a

4Uur

Uu dié chay trén

phải tính r của phươn

Thị dụ Tim 1)

trình: ƒC

pháp chia

1a (1; 2)

Ta liên tiếp p

qua sau (x

3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Trong thực hành, ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi võ

bạn lân để nhận được nghiệm dúng của phương trình (1 1) mã chỉ có

thể áp dụng n lần phương pháp chía đôi với n là môi số nguyên,

dương, hữu hạn Ding lai ở lần thử n, la có: @„<S#Sb,và

1

by — ay = (b4)

Vậy có thể lấy nghiệm gần đúng là:

a) an, khi đó sai sổ của nghiệm gần đúng là:

1 la,, -#l Sửu — tuy = sy (b> ay

b) bạ, khí đó sai số của nghiệm gần đúng là:

|b, 7 # Sbụ tu = : mướn)

2"

a), + ae cet oat at va Ra dane đà

HL | khi dé sai số của nghiệm gần đúng là:

>— TẾ

4 Ưu nhược điểm của phương pháp chía đôi

Ưu điểm của phương pháp chia đôi là đơn giản, dễ lập chương tình chạy trên máy tính, vì mỗi lần áp dụng phương pháp chia đôi, ta chỉ phải tính một giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng Nhược điểm của phương pháp là tốc độ hội tụ chậm

Dừng lại ở lần thứ 6, ta có thể lấy nghiệm gần đúng là 1,32032 với

sai số:

[t,32032 ~ ø]< —0,01563 = 0,00782

Vay & = 1,320 + 0,008 Hai cận mới liên hệ qua hai cận cũ qua

thuật toán như sau (tích âm lấy như cũ dương thì thay mới);

x

Có nhiều hạn, đối với r

ayx= x Bay gid, Thay x =

nhất:

Thay Xo = thứ hai:

Lap lait đúng:

Nếu dãy

(17) hội tụ,r

thi chon a > (a, b), ta có:

hay š Điều đó

do đó cũng l¿

Phương pháp lặp là một trong những phường pháp quan trọng để

giải gần đúng phương trình (11) Giá sti (a, b) là khoảng cách ly

nghiệm của phương trình (1 1) Nội dụng của phương pháp lập như sau: đưa phương trình (1.1) về phương trình tướng dương:

Thay xạ = xị vào vế phải của (1.6), ta nhận được nghiệm gần đúng

thứ hai: Xa= 0(XI) Lap lại nhiều lấn quá tình trên, ta nhận được các nghiệm gần đúng:

X3 = (X2)

Xa = (0 (X3)

Xa = Xo) (17)

Nếu dãy các nghiệm gần đúng {xa}, n= 1, 2.3, nhận được từ

(17) hội tụ, nghĩa là: lim x„=#Z

HT>+O

thì chọn n — +œ trong (1.7), với giả thiết hàm số @(x) liên tục trong

(a, b), ta có: lim x, = lìm Ø(xz ;)=@( lim x, 7)

2 Sự hội tụ của phương pháp lặp

Định lý 1 2 sau đây cho ta cách chọn hàm số @(x) dé dy x1, Xz, .,

Xm hội tụ đến nghiệm Š

Định lý 2.2 Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm (chúa nghiệm x

= Šcủa phương trình 4A) = 0, Ø0) và @(^) là những hàm số liên tực

trong

{a, b}, với @(x) được xác định bài phương trình x = @(x), tưởng đương

phương trinh Ax) = 0; moi Wx) € {a b} với x © fa, b} Nếu

lo! (w|sa <1 déivdi We © fa, b} xo © {a, b) thì dãy các nghiệm gan trong d6: a

ding (x,},n = 1, 2, 3, nhan được từ (1.7), hội tụ đến nghiệm é

Chitng minh

Vì š là nghiệm nên: š=0() q18)

Đem (16) uừ (1 8), ta có: xi-Š= 0a) - 0)

Áp dụng công thức số ee hữu hạn (công thức Lagrange) vào về

phải, ta nhận được: 1G = @'(ei) (Xe -Š)

với e¡ gồm giữa xo và Š, và: i ~|=]o"Cex)|0 ~éls ax -‡]

Tương tự ta nhận được: l*a -£Ì< a -‡] ị

< ahs ~<l

|Xu -é| < a| Xppet ~ Ely

Các bất đẳng thức trên chứng tỏ ring moi Xn = 1, 2, 3 nhận

được từ (17), đều thuộc {a, b], nếu xo thuộc [a, b] và @`(x)> 0

Từ các bất đẳng thức trên, chúng ta cũng nhận được:

ị x và ø(x

Khi n — + œ, vi q< † nên vế phải tiển đến 0 Điều đó cũng chứng tổ 3, Đán

Hing diy các nghiệm gần đúng xị, xa, xạ, _ hôi tụ đến nghiệm Š | Để đái

| phương phá Xn-Ê 'Từ chứ: Minh họa phương pháp lặp theo năm hình vẽ sau để giải x= p(x Ji

3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần dúng x„ nhận được bằng phương pháp lặp và nghiệm đúng š của phương trình (1 L), ta xét hiệu

Xa -Š,

Từ chứng minh định lý ! 2, ta cổ:

lx, -#| < alspot ~#|= nhận được nẹh

= apt —ử Tin — #| s yt ~ xu|* ah, - él không lớn hơn

Vậy: (1- ax, ~ #| 5 đÌXn—| _ Xyf> hay

\ [Xn -é< mà - x, (1.9) nghia la: @|

Ta cũng có thể viết về phải của (1.9) dưới dang sau Theo (1.7), ta Trong trường hụ

CÓ: Xa = (0(Xal), Xe = 0(Xa2) VÀ ấp dụng công thức số gia hữu hạn

Xu Xu ~k = P(X p-1)- P(Xn-2) =” (€n)(%n-1 ~ Xy-2) Thi du 1.5

với eạ nằm giifa xy VA Xp2 Tim nghiém ga

Vi |p! x) Sq <1 d6i vdi Vx € fa, b] nên: mm fx):

nhiều cách, chả

x= x4(503 - x=(5x°+3)/

vé phai cia (1 10) gid là toyh —xzằl, còn về trái vẫn thể

Tir (1 10), dé thấy rằng sự hội tụ của phương pháp lặp càng nhanh / nếu q cảng bé Bất đẳng thức (1 10) cũng cho phép sau lần lặp thứ nhất - |»(-) (sau khi biết được xạ), xác định được số lận lặp cần tiến hành N) để

16

nhận được nghiệm gần đúng x„ đạt độ chính xác e That vay, dé fx, - Š/

phương trình tương đương: x = g(x) Có

nhiều cách, chẳng hạn:

x=x+sv” —20x+ 3), Dy (x)=s5xŸ —19x+3

x=Ÿ(20+~3)/5; ø› = Ÿ(20x~3)/5 x=(sx3 +3)/20, ø (+) =(s+°+3)/20

Chủ ý rằng, theo định lý 22, nếu (x) thod man diéu kiện

lo! (|4 <1 tên [0, l] thì quá trình lập hội tụ Ta có:

với mọi x {0, l]: lps'(x)f= Bx? afc trên [0, 1]

Như vậy, ta dùng s(x) = (Sx? + 3)/20, với

|ø›'(x )|=b~? I< 0,75 = 4 <1 wén [0, 1] và có công thức lập sau: :

Xy = (3x3, +3)/20 (113)

Dũng đánh giá (1.9), thấy rằng, để nghiệm gần đúng của phương

trình đã cho với độ chính xác 10”, Xn ~ Spt can thod min:

0,000 1.(1 ~ 0,75)

Xp —n~I | s 0,75

Vậy ta bắt đầu quá trình lập bằng cách chọn xo là một số bất ky:

thuộc (0, 1], chẳng hạn xọ = 0,75 Sau đó ta tính x¿ với n= 1,2,3

theo công thức (1.13), cho đến khi điều kiện (1.14) được thoả mãn Kết

Vậy ta có thể đừng lại ở lần lập thứ năm và nghiệm gần đúng của:

phương trình đã cho với độ chính xác I0 ' là 0,15086

Chủ ý Nếu lấy X= Qy( (x)= H( (20x-3 )/5 và xg =O, thi ta ii

tiệm cận một nghiệm khác: Z = 1.92029, lọt ra ngoai doan [0,1]

Ta có thể lấy xụ = 6,3, 1, 0 =l, bất kỳ (không được 5)

Chú ý; Trong phương pháp lập, vẫn có ngoại lệ với lo’ (s)>1 ở

những điểm đầu hay cuối của khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là điều kiện: |øf (x< đúng cho một khoảng ]

ân cận chứa nghiệm chính xác

, con điểm xuất phát +xụ chưa chắc thỏa;

ø (x ) <1 phương pháp lap:

1.615661 1.61563!

§5 PHƯƠNG pHAP DAY CUNG

1, Nội dụng phương pháp dây cung

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình

(1.1) Nội

ung của phương pháp dây cung là trên [a, bị], thay

cung cong của

wang cong y = fx bằng dây cung trương cung cong

ẩy và xem hoành

lộ xị của giao điểm của đây cung với trục hoành

‡

./Œ&) <0, Ƒ'(4) <0 (hình 14)

Trường hợp 2: ƒ'(x)<0, ƒ'@4) <0 Để xác dinh, xem f(a) > 0, /(b)

<0, f(x) < 0, f(x) > 0 Yx © (a, b) (hinh | 3) Dây cùng AB là đường

thẳng đi qua hai điểm Ala, f(a)) và B(b, /(b)) nên phương trình của đây

: _cũng AB là: 7@®)-ƒ(a)— Ba yo fb) _x-b

Để lầm hoành độ xị của giao điểm của dây cung AB với trục

:hoành, ta đặt trong phương trình trên x = Xi và y=0

Nghiệm Š bay giờ nằm trong khoảng (a, XÙ Nếu x¡ chưa dat d

chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (a, x1) va lai dp dung phươi

pháp dây cung đổi với (a, x1), ta nhdn dude x2 xấp xỉ nghiệm & tốt hi

Công thức (1.16) vẫn đúng trong trường hợp fla) < 0, feb) >

f(xy > Ova f(x) < 0 (hinh 1,5)

'Tữừ những kết quả trên ta thấy rằng trong quá trình áp dụng tí

tiếp phương pháp dây cung đối với khoảng cách ly nghiệm (a, b),(

một trong hai mút của khoảng (a, b) cố định, đó là mút ở đó dấu cỉ

hàm f(x) tring vdi dấu của đạo hàm cấp hai f’(x) va hai công th

Q

Trong thực không thành c

1

1 tăng |1

1

(117)

vớin=0,l,2 ; và:

« d=bnếu /(b) cũng đấu với ƒX); Xu = tị

+ d=a nếu ƒ(n) cùng dấu với /”(X); Xo = Dị

Chú ý: Trong cả 4 hình vẽ ta thấy dãy (x„) luôn ở một bên với nghiệm ¿, cất tuyến đầu tiên cắt trục hoành luôn là x), vay" chọn xạ phải là cũng phía với ế và +xị, có xụ => d là điểm

thé chon ban dau: xg = > cũng luôn luôn hội tụ

B Ta xét một ví dụ so sánh sau: cho hai phương trình với xạ:

‘giam | 1.114155 | -2.4E-06 6 tăng | -0.65945 ' 10.15B471 tang | 1.114457 | 3.03E-07 7 giam} -0.48554 7H.328488

=_ }1,114187 | -3.9E-08 8 giảm | -0.34627 : |0.646211

* (1) c6 diy nghiém tang, gidm, dit cudi cùng vẫn hội tụ về 1.114157 |

# (2) có dãy nghiệm tăng, giẩm ngẫu nhiên, và không hội tụ

Sau đây ta đổi cận: (Ủ, xạ =2 VÀ — (2g =1

® (H) có dãy nghiệm giảm 2 —+ !.16224 > 1107774 — 1.114969 ,

® (2) có dãy nghiệm giảm I —+ 0.328397 > -0 21498 — -0.55397

nhưng lại hội tụ về một nghiệm nằm ngoài [0,1]

s _ Hai mô hình sau này mới đúng là đáp án theo lý thuyết

2 Sự hội tụ của phương pháp đây cung

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) và :

f°) giữ dấu không đổi trong (a, b) nghia la; f(a), f(b) < 0, f(x) va |

f*{x) giữ đấu không đổi trong (a, b) Khi đó từ mục 5.1 thay ring néu |

ip dung lién tiép phương pháp dây cung đổi với khoảng cách ly

ighiém (a, b) nghĩa là áp dụng công thức (l 17) với n=0,1,2, „CÁC ¡

tần đúng liên tiếp xo, x1, X2, , hodc tạo nên một dãy đơn điệu tăng và

chan trên:

DENS NLS XD <a Xa SESH

trường hợp 1), hoặc tạo nên một đây đơn điệu giảm và bị chặn dưới:

a<§< (trường hợp 2), nê

định lý sau:

Định lý 2.3 Gia si trình (11) dé

Vi f(g) =

J/G„)=

[Xn -é|<

Tử đó suy ra es) =0 Vì (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương

trình (1.1) nên trong (a, b) chỉ chứa một nghiệm duy nhất & cla phương trình (1.1, vậy £ =Š

3 Đánh giá sai số của nghiệm pần đúng

Để đánh giá độ lệch của nghiệm gần đúng xu nhận được bằng phương pháp đây cung và nghiệm đúng š của phương trình (1.1), ta có định lý sau:

Định lý 2.3 Giả sử nghiệm đúng š và nghiệm gần đúng xạ của phương

mình (1l) déu nằm trên cùng một đoạn [a, ] và

0<m < Iz'(z)|:»x e [z./Ø] Khi đó, ta có đánh giá sau:

Như vậy để đánh giá mức độ chính xác của nghiệm gần đúng x

tân được bằng phương phấp đây cung, ta có thể dùng (1 18)

"

Ngoài ra,da có thể đánh giá sai số của nghiệm gần đúng Xu, nếu

iết hai gẦn đúng liên tiếp xa VÀ Xạ, nhận được từ (1 17) như sau:

ữ dấu không đổi và thoả mãn:

Giá sử trên {a, bỊ f(x) Hien tục: gi

là một trong những phương pháp dude sit

gø nghiệm thực của phương trình đại số về

à biết Xm, để tính Xu¿u, Ÿ (trừ trường hợp n = 0,

` 4 Ưu, nhược điể

Phương pháp dây cun§

dụng rộng rãi để tính gần đún

siêu việt, Ưu điểm của phương pháp dây cung Ì

chỉ phải tính một giá trị của hàm / tại điểm Xa

Ƒ'Œ)> 0 với

Vậy có :

phương pháp

nhận được tỉ khoảng (1,1;

phải tính hai giá trị của hàm /) Nhược điểm của phương pháp dây

cung là tốc độ hội tụ chậm (chỉ hội tụ tuyến tính) Thí dụ 1.6 Tìm nghiệm gần đúng của phương tình:

/(x)= x ~ 0,27 —0,2x-1,2=0, bing phuong pháp đây cung với

độ chính xác 0,003, biết khoảng cách ly nghiệm IA (1,1; 14)

Guii

Ta có: /(1, 1) =0,331 <0 và /Ú, 4) = 0.872 >0

Ngoàira: ƒ'(x)= 3x? ~9,4x— 0,2; /"{x)= 6x 0,4; (4) >0 và P(x) > O vedi moix (1,1; 1,4)

Vậy có thể xuất phát từ khoắng (1,1; 1, 4) để áp dụng liên tiếp phương pháp đây cung và dãy các gần đúng liên LIẾP Xụ, Xị, Xa cua ở

nhận được từ công thức (1.17) sẽ hội tụ đến nghiệm dũng nằm trong

khoảng (1,1; 1,4) của phương trình đã cho

Vì /(1, 4) cùng đấu với ƒ"{(x) nên ta áp dụng công thức (1.17) với đ

= 1,1825

Dừng lại tại xạ, ta có thể đánh giá độ lệch giữa x: và nghiệm đúng

š của phương trình đã cho bằng (1.18) Vì x; < Ê < 1,4 nên [x;; 14] là đoạn chứa nghiệm gần đúng x và nghiệm đúng Š Ta có:

F(x) =f’ (x2) = ƒ'(1,19709) = 3,52618 = my, với Vx & [x2, 1,4)

: dat trong phu

Vay x là nghiệm gần đúng phải tìm

Nếu đánh giá đệ chính xác của X2 bằng (1.21),

¬" vee [hh 14]

fh) < fla) = 5.12 = Mi vai VE Uhl)

. Nghiệm Mom

'Từ đó suy ra, đánh giá (1.18) cho la kết

quả tốt hơn, Cho ý rằng

ng của phương trình đã cho là Š = L2,

nghiệm đú

PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYỂN

- Tiếp tục

§6 PHƯƠNG

1 Nội dụng phương pháp Newton

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của

phương tảnh (1.1) Trên i

;

{a, b] thay cung cong AB của đường cong

ÿ Z f(x) tai điểm A hoặc tại i

Qua tin}

diém B va xem hoành độ x; cla giao điểm

của tiếp tuyển với trục ' xác yêu cầu ¡

/ø) > 0 và ƒ'@) > 0 với Vx e (a, b) (hình 1.6) hoặc

xem fla) >0, | trình tiép tur

Phương trình tiếp tuyển với đường c0n§ ý “

foo tại điểm ị ‘

Bb, f(b) co dang: y-/()=/ƒG) (x-b)

i

foo tai diém

Để 0m hoành độ xị của giao điểm của tiếp tuyển với trục hoành, la

đặt trong phufong trinh trén x = x) va y = 0:

~/)= / "(ân = b)

Lib)

f(b)

Nghiém & biy gid nim uong khodng Gi xị? Nếu x, chua dat d6

chính xác yêu cdu, ta thay (a, b) bang (a x)) và lại áp dụng phương pháp tiếp tuyến đối với (a, xạ), ta nhận được x; xấp xỉ nghiệm š tốt

y- fla) = f(a) (x-a)

Để tìm hoành độ xị của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành, ta

dat trong phương trình trên x = xị và y = 0:

~/(®)= ƒ"(@)(xị —ø)

Le)

#4) Nghiệm š bây giờ nằm trong khoảng (xị, b) Nếu xị chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a b) bằng (xị, b) và lại ấp dụng phương pháp tiếp tuyến đối với (xị, b) ta nhận được x; xấp xÏ nghiệm E tốt hơn xu:

Xạ mài _ Ly)

f(xy) Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:

xy =a

On Quá trình đừng lại khi ta nhận được nghiệm ø

Xn * Xn 7

ân đúng đạt độ chính xác

Chú ý rằng trong trường hợp ! (hoặc trường hợp 2), nếu ta áp dụng

phương pháp tiếp tuyển xuất phát từ xạ = a (hOẶC Xu = b) thì ta sẽ nhận

26 và 27), nghĩa là với sự lựa được xị nằm ngoài (a, b) (xem các hình

chọn xo mà ƒ( xo) không cùng dấu với /'(x), phương pháp tiếp tuyến có

thể không dùng được

'Từ những kết quả trên, thấy rằng trong quá trình áp dụng liên tiếp

phương pháp tiếp tuyến đối với khoảng cách ly nghiệm (a, b), ta sẽ có

# xạ =b nếu /(b) cùng dấu với /”@); (9

ø Xa=a nếu /(a) cùng đấu với f°):

Áp dụn

3 Sự hội tụ của phương pháp Newton

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1 1) và ƒ'@) giữ dấu không đổi trong (a, b), nghĩa là /(a) /(b) < 0, ƒ'44) v / 44) giữ dấu không đổi trong (a, b) Khi đó, từ mục 6 1 thấy rằng nếu

áp dụng liên tiếp phương pháp tiếp tuyến đối với khoảng cách ly nghiệm (a, b), nghĩa là ấp dụng công thức (1 23) với n=0, 1,2, , các gần đúng liên tiếp xu, XỊ, Xã,

bị chặn dưới:

BSE Ke SX y yy < My Soe SQ SAY SKY =H

hoặc tạo nên một đãy đơn điệu giảm và

(trường hợp 1), hoặc tạo nên một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên:

XQ SX S Xã: << Xu S Xuâp << Z <b

lim x, =¢

Noho (trường hợp 2), nên tổn tại giới han:

Dễ thấy rằng £ là nghiệm của phương trình (1.1) trong (a, b),

nghĩa là:

£ =E

Từ đó suy ra: fe) = Q Vi (a, b) lA khoảng cách ly nghiệm của phudng trinh (1.1) nén trong (a, b) chỉ chứa một nghiệm duy nhất š của phương trình (I.1), vậy £ = &

3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá mức độ chính xác của nghiệm gần đúng xạ, nhận được bằng phương pháp tiếp tuyến, ta có thể dùng (1.18) Ngoài ra, ta có thể đánh giá sai số của nghiệm gần đúng xạ, nếu biết hai gần đúng liên

tiẾp Xa và xạ nhận được từ (1.22) như sau:

Giả sử trên {a, b}, /'4) và /') thoả mãn:

0< <|/ (0B [FCs My

Ấp dụng đánh gid (1 18), ta cé:

(1.23)

3Í

f(Xn)

my

|x„=#|S 39

Dùng công thức khai triển Taylor của /(xạ) tại xua, nhận được:

A(X) = F(X + SAX a 7 Set yf aX, 7 xy) (1 25)

trong đồ e€ nằm giữa Xu VÀ X, nghĩa là c e (A, b)

fn)

Từ (1.22), ta cố: Xg = Xu~1 —

ƒ'Xu~l)

VÀ: ƒ@„~t)+ ƒ '(Xu~L)U Xu Xy-1) = 9

Thay vio (1 25), nhận được: If (xq)|= 2U "(ø)(X„ — xy?

‘Tie di@u kiện (1 23) và đánh giá (1:24), suy 1a:

\x, "` 24s, xa (1.26)

1

So với đánh giá (121) của phương pháp dây cung, thấy rằng

phương pháp tiếp tuyến hội tụ nhanh hơn phương pháp đây cũng

4 Ưu, nhược điểm của phương pháp tiếp tuyển

Ưu điểm của phương pháp là tốc độ hội tụ nhanh Nhược điểm của

phương pháp tiếp tuyến là biết Xa, để tính xạ„t, ta phải tính một giá trị

của hàm ƒ và một giá trị của đạo hàm /' tại điểm Xa i

Thi du 17 Tim nghiém g gần đúng của phương trình:

gid si

cung

đa de dung

Ta cũng có thể đánh giá độ chính sắc của Xz bang (1.18) Đề thấy

rang [1,1 ; 1,20079] chứa nghiệm đúng š và nghiệm sắn đúng x; Ta

Ì Những đánh giá (1.21) và (I 26) của phương pháp đầy cũng và tiếp

tuyến thường quá trội so với thực tế Do đó trong tính toán, để đính giá sai sổ của nghiệm gần dúng, nhận được bằng phương pháp đây

cung hoặc tiếp tuyến, người ta thường lìm cách thu hẹp đến mức tối

đa đoạn [œ, B] chứa nghiệm gan dung va nghiệm dúng, sau đó ấp

dụng đánh giá (1 18) Làm như Vậy ta sẽ nhận dược đánh giá tốt hơn, đồng thời khối lượng tính luán nhỏ hơn

+ Các phương pháp dây cũng và tiếp tuyến có thể vem là hai trường hợp đặc biệt của phương pháp lặp xét ở §4 Căn cứ vào các đánh giá (1 21) và (1.26) người ta thường nói phương pháp day cung là phương pháp lặp có cấp hội tụ môi còn phương pháp tiếp tuyển là phương pháp lặp có cấp hội tụ hai

a chon Xp = b hay Xo =a iä tùy thuộc dau I,

3 Trong lý thuyết trên L

bai mút đều cho ta hội tụ

nhưng miệt số bài toán tì có thể chọn cả

5, Phương pháp gia lặp Newton (Newton Quasi)

ất khó khăn), bù lại biểu thức lặp phức tập

ở một số phần mềm đổi khi r và xựs¡ Vì đây là

hơn, nghiã là muốn tính x„¿¡ Tả cần có cả hai X„

tụ không bằng Newion, nhưng tất gid lập theo Newton nên tốc độ hội

ây cung Ta có thí dụ dưới đây:

nhiên phải nhanh hơn phương pháp d

371813

7 vt An đây là - Phương pháp giả Newlton cần năm bước và lấy @ = Tận = = =005

›wton, nhưng tất | Phương pháp đây cung cần 16 bước

dụ dưới đây: §7 GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH PHI

rong doan [1,2] TUYEN BANG PHUONG PHAP NEWTON

— ị Như đã biết ở §6, nội dung hình học của phương pháp Newton là

m ¡ xuất phát từ nghiệm gần đúng thứ n; xạ; ta thay gần dúng phần đường

— | cong có phương trình y = /(x) giữa điểm (xa, /(„)) và trục hoành bằng

¿ đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm (Xạ, /(x;)) có phương trình y 00) ị = f(Xn) + /? (Xa) -Xo) và xem hoành độ xui của giao diểm của tiếp

" ¡ tuyển ay với trục hoành là nghiệm gần đúng thứ atl, tốt hơn xạ

— ; Thực chất của việc làm trên là xuất phát từ nghiệm gần đũng thứ n: xạ,

HH 1a xem x = xạ + hạ là nghiệm đúng của phương trình /UJ = 0, nghĩa là

Do đó nghiệm gần dúng tốt hơn xạ là:

/(X„)

Xug= Vu TC TỦ Ti He, 2e

f'n)

Cách làm trên đối với phương pháp Newton cé thé md rong dé gidi |

gần đúng hệ thống phương trình phi tuyển Để đơn giản, ta chỉ xét!

trường hợp hai phương trình phí tuyển hai Ẩn sổ:

Khai triển Taylor cdc ham sé hai bién sé F(x, y) va G(x, y) tại

| F(x, 2) = FOX y Sa) thy Fe li) + Fy dy) to =O

G(x ¥) = GX y Py) up} ky G(X) te F 0 |

Bỏ qua những số hạng từ bậc hai trổ đi đối với hạ và ky i

i

F(x, 9) % F(X rPy) +g Fel Spain) + nF OY)

G49) & G(X Pu) + by Ge( Xan) + uy Lm, In)

a MEN (Su tg)® Ey Sn) F a Pn)

Iy Gy Xys Pn) + key G (Xp Ma) Gly iy) :

Nấu định thức lacobi 7(Xu;#„)= Fen ta) Pulm Yn) #0

GS 0n) pCa Kn) thi tir (1.29), ta nhận được:

Paty = 3

trong đó xo, yo

Sau: vẽ các đưi

độ Oxy và xem Người ta cl

ĐƠ HA age lại

Jx„su) G0, 9) COS tạ)

= 0,1,2, trong d6 Xo, vo là nghiệm gần đúng ban đâu, thường được xác định như sau: vé cdc dutng cong F(x, y)=0 va G(x, y) = 0 trén cling hé truc toa

độ Oxy và xem toa độ giao điểm của chúng là xo và yo Người ta chứng mình được rằng nếu nghiệm gần đúng ban đầu xạ

và yo “đủ gần” nghiệm đúng phải tìm của (1.28) thì xa„i, Yast Xde dinh bởi (1.30) sẽ hội tụ đến nghiệm đúng phải tìm khi n ~> + œ

Trong tính todn cụ thể, quá trình lặp (1.30) sẽ được dừng lại khi ta

nhận được nghiệm gần đúng đại độ chính xác yêu cầu Phương pháp Newton (1.30) hồn tồn cĩ thể mở rộng cho hệ

thống n phương trình phi tuyển nẩn số

Thi du 1.8 Tim nghiệm dương của hệ thống phương trình phi tuyến:

37

[fons 4 ytd = Fux)

= 2x; Fy, yy=2y Ớ(x, #)= xÌ~ } G(x, y= 3x7; G(x, „)=-l

x ¥ 0,3 0.6 (0.83167 810.58297872

G(x, y= Vet

Giải tương tụ

x y F 0.5 8 1¿ (0.8978) -0,590| -0.04! 0.9688] -0.490 {0.0141 (0.9940) -0,497 | 0.0031 0.9996/.0.4995I 0.000

§8 PHƯƠNG P Bây giờ chún;

dụng cho việc tìm

ZÁ*)=sw

với