1 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2.. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng ABC là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = 2 MA.. Tính khoảng cách giữa
Trang 1Câu 1 (2.0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2
2
x
y
x
+
=
- 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng 1
5
4
Câu 2 (1.0 điểm) 1) Giải phương trình sau: 6 6 1
sin cos sin 2
4
2) Cho số phức z= - 3 2 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = iz - z . Câu 3(1,0 điểm).
1) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n³ 2 ). Biết rằng có 1725 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
2) Giải phương trình 2 x 2 x 5 0,
Câu 4: (1.0 điểm) Tính tích phân: I =
e
1
ln x 2
dx
x ln x x
- +
Câu 5 (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA = a và SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30 0 . Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = 2 MA Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BC, SA và thể tích tứ diện SMHC theo a.
Câu 6 (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O,
vuông góc với mặt phẳng (Q): 5x-2y 5z+ = 0 và tạo với mặt phẳng (R): x-4y 8z- +6= 0 góc
o
45 .
Câu 7 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I ( ) 3;3 và
2
AC = BD . Điểm 4
2;
3
M æç ö ÷
è ø thuộc đường thẳng AB , điểm
13 3;
3
N æç ö ÷
è ø thuộc đường thẳng CD. Viết
phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
Câu 8 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( 2) ( 2 )
ï
í
î
Câu 9 (1.0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
2
2
2
2
2
+ +
+ + +
+ + +
=
a
c
c
b
b
a
P
Hết
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 2Lĩnh vực kiến thức Nhận biết
(B)
Thông hiểu (H)
Vận dụng (V)
Tổng
Khảo sát hàm số
Hình giải tích trong mặt
phẳng
Hệ phương trình
20%
3.0
30 %
50 50%
10.0 100%
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
MA TRẬN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN Năm học 20142015
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN Câu 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1 điểm
*
2
2 lim
2
x
x
x
+
®
+
= +¥
- ; 2
2 lim
2
x
x
x
-
®
+
= -¥
- Þ Đồ thị có tiệm cận đứng là x=2.
2
2
x
x
x
®±¥
+
=
- Þ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1
0,25đ
* y'= 4 2
( x 2) x
-
< " ¹
-
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên (¥;2) và (2;+¥)
0,25đ
* Đồ thị:
Lấy thêm điểm phụ (3;5), (4;3)
Giao với các trục tọa độ (2;0), (0;1)
Vẽ chính xác đồ thị.
Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận I(2;1) làm tâm đối xứng.
0,25đ
2)
1 điểm
Gọi tiếp tuyến là d vuông góc với đường thẳng y= 1
5
4 x + Þ d có hệ số góc k =4
0,25đ
*Giả sử M0( x0 ; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến d:
Xét phương trình 2
0
4
4 (x 2)
-
= -
- => x0= 1 hoặc x0 = 3
0,25đ
* Với x0= 1 thì tiếp điểm M1(1;3)
Với x0= 3 thì tiếp điểm là M2(3;5)
0,25đ 0.25đ
Trang 41)
0.5 điểm
sin cos sin 2
4
(sin cos ) (cos sin ) 3sin cos sin 2
4
2 3sin 2 sin 2 4 0 sin 2 1
4
3
x
=
ộ
ờ
ở
0,25đ
* Với sin 2 1
4
p
2)
0.5 điểm
3 2
z = + i
( 3 2 ) ( 3 2 )
1
i
= - + Phần thực là ư1
Phần ảo là 1.
0,5đ
Cõu 3:
1)
0.5đ
Theo đề ra ta có : C3n 10+ - C103 - C3 n = 1725 ( n³ 2 )
+
n 10 ! 10! n!
1725 3! n 7 ! 3!7! 3! n 3 !
Û n 10 n + + 9 n 8 + - 10.9.8 n n 1 n - - - 2 = 1725.6
Û n 2 + 8n – 345 = 0 Û ộ =
ờ = - <
ở
n 15
n 23 2
Vậy n = 15
0,25đ
0.25đ
2)
0.5đ
-
2 x 2 x 5 0 2 x 5 x 2 0
Đặt t = e ,x t > 0 . Phương trỡnh trở thành
ộ =
ờ
ờ =
ờ
ở
2
2
2
t
t
0.25đ
Trang 5é = é =
ê = ê =
ê
ë
x
x
ln 2
e 2
1
1
ln
e
2
2
x
Câu 4:
1.0đ
I =
e
1
ln x 2
dx
x ln x x
- +
e
1
ln x 2
dx (ln x 1)x
- +
ò
Đặt t = lnx + 1 Þ dt = 1
dx
x ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
Suy ra: I =
= ç - ÷
è ø
1
t - ln | t | = 1 – ln2
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 5:
1.0đ
SHA(vuông tại H), có AH = SA cos 0 = a 3
30
2 . Mà DABC đều cạnh a suy ra H là trung
điểm cạnh BC, vậy AH ^ BC.
Ta có SH ^ BC suy ra BC^(SAH). Hạ HK vuông góc với SA suy ra HK là khoảng cách
giữa BC và SA. Ta có HK = AH sin 0 = AH = a 3
30
2 4 , vậy d(BC,SA)=
a 3
4
Ta thấy
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 6 :
1,0 Mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) nên có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với
A +B +C > 0
2
0,25
(P) tạo với (R) góc 45 o nên
Trang 6cos45
2
(2)
4
21A 18AC 3C 0
0,25
Chọn
A 1
A
7
= -
é
ê
= Þ
ê =
ë
*) A= -1, C= Þ1 B=0 ÞPhương trình mặt phẳng (P) là x
z=0
A , C 1 B
= = Þ = ÞPhương trình mặt phẳng (P) là
x+20z+7z=0
0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là xz=0 hoặc x+20z+7z=0 0,25đ
Câu 7 :
Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là 5
' 3;
3
N æç ö ÷
è ø Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình: x-3y +2= 0
Suy ra: ( , ) 3 9 2 4
IH = d I AB = - + =
0.25đ
Do AC = 2 BD nên IA= 2 IB . Đặt IB = x > 0 , ta có phương trình
2
0.25đ
Đặt B x y ( , ) . Do IB = 2 và BÎ AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
14
4 3
5 18 16 0
3 2
3 2 0
5
x
x
y
ì
=
ï
=
= -
ï
î
0.25đ
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn 14 8
;
5 5
B æç ö ÷
Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x-y -18= 0 .
0.25đ
Trang 7Câu 8 :
1 Û x + x + = - + 1 y - y + 1 (3)
+ Xét ( ) 2
1 ,
f t = + t t + t Î R
Khi đó : ( )
2
1
t t
+ + +
. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
Suy ra : ( ) 3 Û x = - y
0.25đ
0.25đ
Thế x = y vào (2)
2
2
25
ê
Với 2 x2 + 6 x + = 1 3 x Û x = 1; y = - 1
x + x+ = - x Û x= - y = - +
0.25đ
Câu 9
.
Ta có a 2 +b 2 ³ 2ab, b 2 + 1 ³ 2b Þ
1
b
ab
1
2
1
2
1
b
b
a
1
3
b
2
a
1
2
2
2
2
2
+ +
£ + + + +
= + +
Tương tự
1
a
ca
1
2
1
3
a
2
c
1 ,
1
c
bc
1
2
1
3
c
2
b
1
2
2
2
2
+ +
£ + + + +
£ + +
2
1
b
ab
1
b
ab
1
b
ab
1
b
ab
1
2
1
1
a
ca
1
1
c
bc
1
1
b
ab
1
2
1
+ +
+ + +
+ + +
= + +
+ + +
+ + +
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
P = khi a = b = c = 1. Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng
2
1 khi a = b = c = 1.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
