Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC.. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ABC.. Lập phương trình mặt phẳng P đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới P là lớn nhất...
Trang 1KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 19)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 2mx2 (m3)x4 có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1
2) Cho (d ) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2
Câu II (1 điểm)
Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 - cos )(sin - cos ) x x x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
6
1 sin sin
2
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
Câu V (1 điểm) ) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
9 x ( m 2)3 x 2 m 1 0
Câu VI (1 điểm) Cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ABC có diện tích bằng 3
2; trọng tâm G của
ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ABC
Câu VII (1 điểm) Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
3
1 1
2
x
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Câu VIII (1 điểm) Giải bất phương trình : 2
x x
Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
1 3 1 3
a
x a y a z a
a a
a x a y a z
a
(x, y R)
Trang 2Hướng dẫn
CâuI.1.(Học sinh tự giải)
2)Phương trình hoành độ điểm chung của (Cm) và d là:
2
0
x
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác
0
/ 2
( ) 2
a m
Mặt khác: 1 3 4
2
2
KBC
(x B x C) (y B y C) 256
với x x B, Clà hai nghiệm của phương trình (2)
(x B x C)2 ((x B 4) ( x C 4))2 256 2(x B x C)2 256 (x B x C)2 4x x B C 128
2
2
CâuII:1 Phương trình (cosx–sinx)2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0
2 2
Câu III:
CâuIII:1 Ta có: I =
6
1 sin sin
2
6
3
2
2
Đổi cận: Khi x cos 2
Do vậy:
2 2 4
3 sin 2
16
Câu IV
CâuIV:Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM
Suy ra: SM =AM = 3
2
60
AMS và SO mp(ABC)
d(S; BAC) = SO =3
4
a
Gọi VSABC- là thể tích của khối chóp S.ABC
VS.ABC =1 . 3 3
3 ABC 16
a
S SO (đvtt) Mặt khác, VS.ABC =1 ( ; )
3SSAC d B SAC
C
S
A
B
Trang 3SAC cân tại C có CS =CA =a; SA = 3
2
a
2 13 3
16
SAC
a
S
Vậy: d(B; SAC) = 3 3
13
S ABC SAC
S (đvđd)
Câu V
Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
91 1x2 (m 2)31 1x2 2m 1 0(1)
* Đk x [-1;1], đặt t = 1 1 2
3 x
; x [-1;1]t [3;9]
Ta có: (1) viết lại
2
2
t
Xét hàm số f(t) =
2
2
t
, với t [3;9] Ta có:
2
3 ( 2)
t
t t
Lập bảng biến thiên
48 7
4
Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệmx [-1;1] (2) có nghiệm t [3;9] 4 48
7
m
Câu VI
Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = 5 2
2
ABC
AB
2(2)
a b
a b
a b
; Trọng tâm G 5; 5
a b (d) 3a –b =4 (3)
Từ (1), (3) C(–2; 10) r = 3
S
Từ (2), (3) C(1; –1) 3
2 2 5
S r p
Câu VII
Trang 4Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi A I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véctơ pháp tuyến
Mặt khác, Hd H( 1 2t;t; 1 3t)vì H là hình chiếu của A trên d nên
0 ( (2;1;3)
AH d AH u u
là véc tơ chỉ phương của d) H( 3 ; 1 ; 4 ) AH( 7 ; 1 ; 5 )
Vậy: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y – 5z –77 = 0
Câu VIII
(1)
2
2 2
1 0
x x
2
1
x
1 1
x x x
x x
Vậy nghiệm của bất phương trình : x 1 1 x 3
Câu IX
Xét các véc tơ : ; ; , 1 ; 1 ; 1
2 2 2
2
Tương tự ax ay az2 3 3 a x yz (2)
xa ya za 2 ax ay az2 18a
Mà cộng hai phương trình của hệ ta có :
xa ya za 2 ax ay az2 18a
Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2) , hay :
2
2
1
1 1
a
a
a a
a
Vậy hệ phương trình có nghiệm là : 1
a