Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 5

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. 2Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.. Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi: AB... aTính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.. b

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp

9 thcs

Trờng thpt trần phú Môn : Toán

Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời

gian giao

Bài 1: (6 điểm)

1- Giải phơng trình : x2 + y2 = 5

x4 + x2y2 + y4 = 13 2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 2 : (3 điểm)

Cho Phơng trình : x2 – 2 (m - 1) x + m – 3 = 0

1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.

2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.

Bài 3: (3 điểm)

Cho a + b + c + d = 2 Trong đó a, b, c, d Є R

Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1

Bài 4: (4 điểm)

Cho đờng tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:

AB AC = 2DB DC

Bài 5: ( 4 điểm)

2x- 1

x2+ 2

SB SC

Biết SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x

a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x

b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S ABC lớn nhất

Bảng hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi

Lớp 9 thcs

Thời gian : 150 phút Môn : toán

Bài 1: ( 6đ)

1)Hệ phơng trình tơng đơng với :

x2 + y2 = 5

(x2 + y2)2 - 3x2y2 = 13

(0,5 điểm)

x2 + y2 = 5

<=>

x2 y2 = 4

x2; y2, là 2 nghiệm không âm của phơng trình

(0,5 điểm)

t2 – tx + 4 = 0 <=> t1 = 1

t2 = 4 (1 điểm)

x2= 1 x= ± 1 => y2 = 4 <=> y = ± 2

x2 =4 x = ± 2

y2 = 1 y = ± 1 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 8 nghiÖm : ( x;y ) = (1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( 1 ; - 2 ) ,

( x;y ) = ( - 1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( -1 ; -2 ) , ( x;y ) = ( 2 ; 1 ) , (2 ®iÓm)

( x;y ) = ( 2 ; -1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; 1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; -1 )

Cã A = ≥ - ≥ - 1

(1 ®iÓm)

DÊu = x¶y ra <=> x + 1= 0 => x= - 1

=> A nhá nhÊt = -1 khi x = -1

(1 ®iÓm)

Bµi 2: ( 3 ® )

1)Ta cã : ∆/ = (m- 1)2 – (m - 3) = m2 - 3m + 4

(0,5 ®iÓm)

<=> ∆/ = (m - )2 + > 0 ∀m

(1 ®iÓm)

VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ∀m

X2+ 2x + 1 – x2 – 2 ( x + 1)2

x2+ 2 x2 + 2

3

A

B D

C

<=> m < 3

(1 điểm)

Vậy m < 3 thì phơng trình có 2nghiệm trái dấu

(0,5 điểm)

Bài 3: ( 3 đ )

Với ∀a, b, c, d luôn luôn có:

a2 + b2 ≥2abc; a2 + c2 ≥2ac; a2 + d2 ≥2ad; b2 + c2 ≥2bc; b2 + d2 ≥bd; c2

+ d2 ≥ 2cd

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đợc:

3 (a2 + b2+ c2 + d2 ) ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)

(0,5 điểm)

<=> 4 (a2 + b2+ c2 + d2 ) ≥ (a + b+ c + d )2

(0,5 điểm)

<=> 4(a2 + b2+ c2 + d2 ) ≥ 22= 4 <=> a2 + b2+ c2 + d2 ≥ 1

(1 điểm)

Dấu “=” xảy ra <=> a = b = c = d =

(0,5 điểm)

Bài 4( 4 đ )

Gọi E, F là tiếp điểm trên cạnh AB, AC

Đặt BC = a; AB = c; AC = b

=> chu vi ∆ 2p = a + b + c

Ta có: CD = CF; CD + CF = 2p – 2c

=> CD = p - c

(0,5 điểm)

Tơng tự có: BD = p - b

(0,5 điểm)

1 2

(0,5 điểm)

Ta có: AB AC = bc

(0,5 điểm)

CD BD = (p - c) (p - b) C

AB AC = 2CD BD

(0,5 điểm)

<=>2 bc = 2.(p- c) (p- b)

(0,5điểm)

<=> 2bc = (2p – 2 c) (2p – 2b) <=> 2bc = (a + b - c) (a + c - b)

<=> 2bc = a2 – (c – b2)

a2 = b2 + c2 hay ∆ABC vuông tại A

(1,5 điểm)

Bài 5:

Chọn ∆SBA làm đáy thì đờng cao hình chóp CS

Ta có thể tích hình chóp là:

V= CS SB SA

= a.x (k - x) A B

Với : 0 < x < k

(1,5 điểm)

Thể tích hình chóp lớn nhất khi : x (k - x) lớn nhất

(0,5 điểm)

Ta luôn có: ) 2

2

) ( (x+ k−x ≥ x (k - x)

(1điểm) <=> k2 ≥ x (k - x)

1

1

6

S

2

) 2

) (

( x + k − x

24

DÊu “=” x¶y ra khi: x = k – x => x =

(0,5 ®iÓm)

VËy khi SB = SC = th× thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt V = (0,5

®iÓm)

k 2

k 2