Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi PM = PN, với P là trung điểm của cạnh BC... Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn n
Trang 1SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA
QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012
MÔN TOÁN ( Vòng I)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 ( 4,0 điểm )
Giải phương trình x3 - 3 6 + 3x + 6 = 6
Câu 2 (4,0 điểm)
Dãy số thực ( )u n được cho bởi u1=1,
2 1
2
n n n
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là số nguyên dương
Câu 3 ( 4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn điều kiện :
2
xf y yf x
f xy + f z = + + z với mọi x y z, , thuộc¡
Câu 4 (4,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một phân biệt lấy từ tập
{1;2;3;4;5;6;7;8 sao cho tích hai chữ số kề nhau của số đó là một số chẵn? }
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N
Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi PM = PN, với P là trung điểm của cạnh BC
-HẾT -
Trang 2SỞGIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012
MÔN TOÁN ( Vòng II)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1.( 4,0 điểm )
Giải hệ phương trình:
2
ï í
ï î
Câu 2.( 4,0 điểm )
Cho tam giác ABC có 0
120
BAC = Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng AB + AC
Câu 3.( 4,0 điểm )
Cho các số dương x1, x2, , xn, nằm trên một đoạn D có độ dài bằng 2, với n³2 Chứng minh rằng:
x +x + +x £ x x + + x x + + + x x + £ +x1 x2 + + x n +n
Câu 4.( 4,0 điểm )
Cho các dãy số (an) và (bn) thoả mãn các điều kiện: a1 = 1, b1 = 2 và với n³ 1 thì
1
1 n n n
n
n
a
b
+
n
n
b a b b
a
+
+ +
= Tính lim n
n
a n
®¥
Câu 5.( 4,0 điểm )
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2013 chữ số mà số các chữ số 0 xuất hiện là chẵn?
-HẾT -