Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa 2007 - 2008

Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB.. Nối MA cắt BC tại N.

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN , THANH HÓA

MÔN THI : TOÁN ( thời gian 150 phút )

Năm học 2007 – 2008

Câu 1 : ( 2,5 đ)

1) Cho biểu thức P = 2x 1 x 1 x x x

x x 1 x x 1 1 x Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn biểu thức P

2) Giải phương trình x2 2x 7 3 (x 1)(x 3)

Câu 2 : ( 2đ)

1) Cho phương trình x2

– ( a + b ) x – ab = 0 ( x là ẩn ) có 2 nghiệm x1 , x2 Tìm x1 , x2 biết rằng x12 + x22 + 2 = 2 ( x1 + x2 – 2 x1x2 )

2) Giải hệ phương trình

2 2

(x x)(x y) 4 (x 1) y 1

Câu 3 ( 1,5 đ)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = mx – m + 1 Đường thẳng d cắt trục hoành tại A và trục tung tại B ( A, B không trùng với gốc tọa độ O ) Gọi H là chân đường cao hạ từ O của

tam giác OAB Tìm m biết OH = 3

5

Câu 4 ( 3 đ)

Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác đều ABC và điểm M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B và

C ) Nối MA cắt BC tại N Chứng minh rằng :

1) MB + MC = MA

3) 1 1

MB MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MB + MC đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 : ( 1 đ)

Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x3 + y3 = - 2

Chứng minh - 2 x y 0

Sơ lược bài giải

Câu 1 : 1) Điều kiện x 0 , x ≠ 1 P = x - 1

2) Đặt x 1 x 3 = t ( t 0 ) thì t2 – 3t – 4 = 0

Từ đó t = 1 hoặc t = - 4 ( loại )

Vậy x = 1 5

Câu 2 : 1) Điều kiện ( a +b )2 +4ab ≥ 0

Áp dụng Viét ta được ( a – 1 )2 + ( b – 1 )2 = 0 suy ra a = b = 1

Vậy x1,2 = 1 2

2) Đặt u = x2 + x , v = x + y ta được hệ phương trình uv 4 u v 2

Vậy ( x ; y ) = ( 1 ; -3 ); ( - 2 , 0)

Câu 3 : Ta có A ( m 1

m ;0) , B ( 0 ; 1 – m ) với m ≠ 0 suy ra OA =

m 1

m ; OB = 1 m Trong tam giác vuông OAB ta có 1 2 12 1 2

2

+5m+2 = 0

Vậy m = - 2 hoặc m = - 1

2

Câu 4 : 1) Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD = MC thì CMD đều

Suy ra CD = CM và ACD BCM Xét tam giác ACD và tg BCM có : 

AC = BC ; ACD BCM và CD = CM

Suy ra ACD BCM ( c – g – c ) Vậy AD = BM

Nên MB + MC = AD + DM = MA ( điều ta phải chứng minh )

O A

M D

N

2) Vì CD // BM nên CD ND MD MN MD 1

MB NM NM MN

Mà CD = MD = MC nên

1

MC MC

MB MN MB MC MN

MB MC MB MC MA R ( áp dụng tính chất ( x + y )

2 ≥ 4xy )

Vậy 1 1

MB MC Đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

MB +MC lớn nhất Khi đó MA = 2R

Câu 5 : Vì x3 + y3 = - 2 < 0 nên x3 < - y3 x + y < 0

Vì ( x – y ) 2 ≥ 0 nên ( x + y )2 ≥ 4 xy

Suy ra : ( x + y) 3 4xy ( x + y ) Do đó - 2 = x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy ( x + y ) 1

4( x + y )

3

( Thay xy 1

4( x + y )

2

Suy ra x + y ≥ - 2 điều ta phải chứng minh

GV : Huỳnh Ngọc Hiệp sưu tầm và lược giải