b Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất.. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm.. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K
Trang 1Năm học 2014−2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút
-Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−3x2+1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm tọa độ hai điểm A , B thuộc đồ thị (C) sao cho I(0; 2− )là trung điểm AB
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình : 4sin 5 sinx x=2cos 4x+ 3
b) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm Tính xác
suất để phương trình 2
2 0
x + + =bx có hai nghiệm phân biệt
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2
0 (x cos )sinx xdx
π
+
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Tìm m để hàm số y e x m= x( + ) đạt cực tiểu tại x = 1.
b) Tìm các căn bậc hai của số phức w biết 11 13 22 17
5 2
i
i
+
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2;1;5) A và (3;4;1)B
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại B
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho M cách đều A và mặt phẳng (Oxy).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB=2 2a
Gọi I là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2
IA= − IH
uur uuur
Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 0
60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( ) ( )1;2 ;B 3;4 và đường thẳng :d y− =3 0.,Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua hai điểm , A B và cắt đường thẳng
d tại hai điểm phân biệt M N sao cho ·, MAN =600
Câu 8 (1,0 điểm) Giải bất phương trình
5x −5x+10 x+ +7 2x+6 x+ ≥2 x +13x −6x+32.
Câu 9 (1,0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ( 2 2)
y z+ = x y +z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (2 ) (2 ) (2 ) ( ) ( )
P
Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2Nội dung Điểm
Câu 1b Gọi A a a( ; 2 3−3a2+1), (b; 2B b3−3b2+1) Có I(0; 2− )là trung điểm của AB và
0
1
a
⇔ − + + − + = − ⇔ − + − − + = − ⇔− = − ⇔ = ± 0,75 Với a= ⇒1 A(1;0), ( 1; 4)B − − Với a= − ⇒ − −1 A( 1; 4), (1;0)B 0,25
Pt có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔0 b2 − > ⇔ ∈8 0 b {3;4;5;6} Xác suất cần tìm 2
3
2
π
Đặt
1 3
0
1
t
x t= ⇒ =I ∫ t −dt =∫ t dt = = Vậy 1 1 4
Câu 4a Có y'=e x m x( + )+ =e x e x m x( + + ⇒1) y''=e x m x( + + + =1) e x e x m x( + +2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒y'(1) 0= ⇔e(1+ + = ⇔ = −m 1) 0 m 2 0,25
Với m= − ⇒2 y''=e x x ⇒ y''(1)= > ⇒ =e 0 x 1 là điểm cực tiểu ( thỏa mãn ) Vậy m= −2 0,25 Câu 4b w= − +21 20i = +(2 5 )i 2 Các căn bậc hai của số w là 2 5i+ và 2 5i− − 0,5
Câu 5a (P) đi qua (3;4;1) B có véctơ pháp tuyến uuurAB(1;3; 4− ⇒) ( ) :P x+3y−4z− =11 0 0,5
Câu 5b M Oz∈ ⇒M(0;0; )t Ta cóAM =d M Oxy( ,( ))⇔ 5 (+ −t 5)2 = ⇔ = ⇔t t 3 M(0;0;3) 0,5
Câu 6 Ta cóHC= IC2+HI2 = 4a2+a2 =a 5
2
2
ABC
a
BI ⊥ SAH ⇒d B SAH =BI =a.Gọi M là trung điểm SI
2
a
Câu 7 Gọi ( ) 2 2
C x +y − ax− by c+ = (đk a2+ − >b2 c 0) ( ) ( )
( ) ( )
3; 4
0,25
Trang 3· 0
60
2
1
2
Khi a= 1 ta có đường tròn ( )C x: 2+y2−2x−8y+ =13 0 ( loại do ,I A khác phía đường thẳng d )
Câu 8 Điều kiện x≥ −2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x − +5x 10) x+ − +7 3 (2x+6) x+ − +2 2 3(5x − +5x 10) 2(2+ x+ ≥ +6) x 13x −6x+32
2
2 2
x
2
2 2
x x
5
7 3
x
x
2
5x −5x+10 0> ∀ ∈x ¡
5
Từ (1) và (2)
2
2
5 0
x
0,25
Câu 9 Ta có ( )2 ( 2 2) ( )2 ( 2 2)
2
x
x
1
x
+
2 2
1
x
2 2
x
Lại có theo BĐT Côsi
2
x
0,5
Từ (2) và (4)
P
3
1
P
x
⇔ ≥
Xét hàm số
3
( )
1
f x
x
=
5 1
x
x
−
+
P≥ f x ≥ f =
÷
0,25