một số đề học sinh giỏi hay

1 Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn 4 3.. 2 Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể

Trang 1

NGUYỄN VĂN XÁ

MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI

BẮC NINH – 2013

Trang 2

Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên Con chăm, cha thực, thầy nghiêm

Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành

(Trích “Minh ñạo gia huấn”)

Trang 3

1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a2x + b2y + c2z) = abc

Chứng minh tồn tại các số α β , thỏa mãn 0 , 0

P = log sin sin log sin sin log sin sin

Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c

Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC)

a Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t)

b Gọi α β γ, , là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB,

AB và DC Giả sử c < b < a Hỏi ba ñoạn thẳng a cos ,α b cos ,β c cosγ có thể dựng ñược một tam giác hay không ?

Trang 4

THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)

Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình

1 (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2

Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng

có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3

Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích

bằng 1cm3 Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc

Trang 5

1 2 cos

x

x x

π

ln(cosx) lim

Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau:

a) Sn = sinx + sin2x + … + sinnx

b) Cn = cosx + 2cos2x + … + ncosnx

1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì

diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn

4

3 2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt quá 1

8 Hãy chỉ ra một tứ diện như thế

Trang 6

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH

DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002)

Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2)

Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình

+

= +

1

)

1 ( 5 )

1 ( 4 )

1 ( 3

zx yz xy

z

z y

y x

A

C B

A

cos cos

cos

sin sin

sin

+ +

Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai

trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau

Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*) Chứng minh rằng có thể cắt n

hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại

ñược một hình vuông mới

Trang 7

Nguyễn Văn Xá ðề 05

Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1)

Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng 3 3

Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn

(f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ ℝ, và f không phải là hằng số?

Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ Chứng minh rằng các mặt phẳng

(ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm

Trang 8

Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1

1 Gọi x x x1, 2, 3 là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành Tính giá trị của biểu thức

2 Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C

Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến

mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC

1 Gọi α β γ, , lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với

ñáy (ABC) Tính giá trị của biểu thức T =cos2 +cos2 +cos2α β γ

2 Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp

Trang 9

Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại

tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p

Trang 10

THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005)

Bài 1 (2,5 ñiểm) Tính giá trị của: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770

Bài 2 (2,0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa a1 = 1, an+1 =

là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1

Bài 3 (2,5 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, ñường vuông góc chung của AC và BD ñi

qua trung ñiểm BD và S ABD = S BCD =

2

1

S ABC Giả sử tồn tại ñiểm O trong tứ

diện sao cho tổng khoảng cách từ O ñến B và D bằng tổng khoảng cách từ O ñến bốn mặt tứ diện Chứng minh:

1) ðường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm AC

2) AC ⊥ BD

Bài 4 (2,0 ñiểm) Gọi r, R là bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

ABC, và r1 là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác có các ñỉnh là tiếp ñiểm của

ñường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng r ≤ Rr1

Bài 5 (1, 0 ñiểm) Giải phương trình x3 - 3x = x+2

Trang 11

ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004)

Bài 1 Giải hệ phương trình

Bài 2 Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm của cạnh AB và ñường phân giác

trong của ∠ACB Xét một ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các ñường thẳng BC, CA ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA tại M, N tương ứng

1/ Chứng minh rằng có một ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM tại M và tiếp xúc với DN tại N

2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA lần lượt tại P, Q Chứng minh rằng các

ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, khi ñường tròn (O) thay ñổi

Bài 3 Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có

tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của A ñều tồn tại hai số phân biệt a, b sao cho a2 +

hạn hữu hạn khi n → +∞ Tìm giới hạn của dãy (yn) trong các trường hợp ñó

Bài 5 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)3 = 32xyz Hãy tìm giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P =

4 4 4

4

x y(x y )

z z

+ +

Bài 6 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập

phân của n Xét các số nguyên dương m là bội của 2003 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m)

Trang 12

BAD = , SA ⊥ (ABCD) Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc

với SB, SD tại H, K Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD)

Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng x2 +

y 2 + z2 + 4xyz ≥ 13

27 Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ ℝ Chứng minh f là

hàm tuần hoàn

Trang 13

Ngày thi 20 -10 -2005

Câu 1 (4 ñiểm) Giải hệ phương trình

4 2 2

Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại

A và C cắt nhau ở Q, tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD

Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên dương

Trang 14

CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005

Bài 1

Tìm tất cả các hàm số f :ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương

(x, y) ñều tồn tại số nguyên dương z sao cho

( ( )) ( ) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( )

Cho dãy số dương không tăng {an} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất

kì các số hạng của dãy ñều nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng lim ( n) 0.

ñiểm thứ hai D khác B Gọi E là trung ñiểm của cung DA⌢ không chứa ñiểm B của 1

(ω ) và F là trung ñiểm của cung DC⌢ không chứa B của (ω )2 Chứng minh trung

ñiểm của ñoạn thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh

Bài 4

Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng Giả sử ta có trong tay một số lượng ñủ lớn các quả bóng Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trở ñi mỗi lần cho phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả bóng Hỏi có thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ thay ñổi thế nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái hộp? Giải thích

Trang 15

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007)

Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : ( 3)x−2x−1=1

=

+ x x ,(n 1,2, )x

2

1x

n 2 n 1 n

1 Hãy tìm

phần nguyên của A biết

1x

1

1x

11x

1A

100 2

2

1a

2 n 1

n

1

Chứng minh tổng tất cả

các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03

Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M

các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD)

và (ABC) tại A1,B1,C1 Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện MA1B1C1lớn nhất

Trang 16

KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH

DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2006 - 2007

Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006} Một tập con T của A ñược gọi là tập con

“ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T

1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A

2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005

Trang 17

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)

Chú ý : học sinhBổ túcTHPT không phải làm câu 5 , 6

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đề chính thức

Trang 18

CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH

DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008)

Bài 4

Cho △ABC có góc Aˆ tù Dựng △ABD vuông cân tại D và △ACE vuông cân tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC Gọi I, K lần lượt là các tâm ñường tròn nội tiếp △ABD và △ACE Tính tỉ số IK

BC và góc giữa hai ñường IK, BC

Bài 5

Tìm giới hạn của dãy (x n) cho bởi

1 2 1

1 2

n n

n

x x

Trang 19

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)

Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng 180

và các cạnh bên SA=SB=SC=1 Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3

Bài 4 (4 điểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình: 3 2

ax +bx +cx-a=0 (a≠ 0 ) Chứng minh rằng:

1 2 2 3 2 2 2

p n m p

Đề chính thức

Trang 20

Bài 1: (8 ñiểm)

a Giải phương trình x+ 4 x− 4 + x+ x− 4 = 6

b Tìm các giá trị của a ñể hệ sau có ñúng 2 nghiệm

2 2 2

Bài 2: (6 ñiểm) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1)

a Viết phương trình ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC

b Giả sử M là ñiểm chuyển ñộng trên (T) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một ñường tròn cố ñịnh Viết phương trình ñường tròn ñó

Bài 3: (2 ñiểm) Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc lần lượt là ñộ dài các ñường trung tuyến

Trang 21

2008 2008 2008 Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng

ñó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab) Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn

lại trên bảng là số nào ?

Bài 10

Cho hai ñường tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) cắt nhau Biết rằng O2 nằm trên (O1 ;

R1) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn (O1 ; R1) Tính gần ñúng tỉ số R1

R

Trang 22

THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008

Cho △ABC, trung tuyến AD Cho ñường thẳng d vuông góc với AD Xét

ñiểm M ∈ d Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của MB, MC ðường thẳng ñi qua

E và vuông góc với d, cắt AB ở P ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt

AC tại Q Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua một

ñiểm cố ñịnh khi M di ñộng trên d

Trang 23

1/ Giải phương trình: sin x sin 2x sin 3x 3

cos x cos 2x cos 3x

a) Giải bất phương trình đã cho, khi m = 2

b) Xác định m để bất phương trình đã cho có nghiệm x > 1

Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1:

Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2:

Đ ề chính thức

Trang 24

2/ Cho hàm số 2n 1

y=x + +2011x+2012 (1), chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm

2/ Cho tứ diện ABCD có 0 0

BAC=60 , CAD=120 Gọi E là chân ñường phân giác trong góc

A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề)

Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011

================

Trang 25

Trang 27

Trang 28

Câu 1 (5,0 ñiểm) Cho hàm số 3 2 ( )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

================

ðỀ CHÍNH THỨC

Trang 29

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 18 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

1 2

,

n n

Cho tam giác nhọnABC với các đường cao AH BK nội tiếp đường tròn (O) Gọi ,

M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường

thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Bài 5 (4 điểm)

Tìm tất cả các đa thức ( )P x hệ số thực thỏa mãn : P x P x( ) (  3) P x( 2),  x 

HẾT

Trang 30

3) Cho ABC∆ không cân Kí hiệu (I) là ñường tròn tâm I nội tiếp trong ABC∆ và D, E,

F là các tiếp ñiểm của (I) với BC, CA, AB ðường thẳng qua E vuông góc với BI cắt (I) tại

K khác E ðường thẳng qua F vuông góc với CI cắt (I) tại L khác F Gọi J là trung ñiểm của KL

a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng

b) Giả sử B, C cố ñịnh, A thay ñổi sao cho tỉ số AB

k

AC = là hằng số Gọi M, N tương ứng

là giao ñiểm ñiểm của IE, IF với (I) (M ≠E, N≠F) Giả sử MN cắt IB, IC tại P, Q tương

ứng Chứng minh ñường trung trực của PQ luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh

4) Cho trước một số số tự nhiên ñược viết trên một ñường thẳng Ta thực hiện các bước

ñiểm số lên ñường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác ñịnh tất cả các cặp số kề

nhau hiện có trên ñường thẳng theo thứ tự từ trái sang phải, sau ñó ñiền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp ñó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên ñường thẳng ñó, trong các trường hợp sau:

a) Xác ñịnh vị trí của ∆ ñể diện tích tam giác AMN lớn nhất

b) Kí hiệu d là ñường thẳng qua M và vuông góc với BD, 1 d là ñường thẳng qua N và 2vuông góc với DC Gọi P là giao của d và 1 d Chứng minh P luôn thuộc một ñường tròn 2

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	2,14 MB