Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) C©u 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: b) T×m x; y biÕt: x2 y2 + 2x 4y10 =0 víi x,y nguyªn d¬ng. C©u 3: Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

Trang 1

PHềNG GD&ĐT HẠ HềA

Đề số 1

đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013

Môn Toán lớp 8

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn):

x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10

b) A= +(a 1) (a+ 3) (a+ 5) (a+ + 7) 15

Câu 2

a) Giải phơng trình sau:

6 x 1

−

− = − b) Tìm x; y biết:

x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dơng

Câu 3: Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức:

2 2

2 1

2 + + + + + + +

+

=

c ac

c b

bc

b a

ab

a A

Câu 4: a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

M =x2 + y2 −xy−x+ y+ 1

b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010 Hóy tớnh x2 + y2

Câu 5:

Cho tam giỏc ABC cõn tại A Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F

a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn

c) Tớnh : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trớ nào để tứ giỏc AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của ∆ ABC

để cho AEMF là hỡnh vuụng

Đề số 2

đề chính thức

Trang 2

Câu 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x5 + x +1

c) x4 + 4 d) x x- 3x + 4 x-2 với x > 0

Câu 2 Giải phơng trình sau:

1004

1 x 1986

21 x 1990

17

x

=

+ +

− +

−

b) 4x – 12.2x + 32 = 0

c) 1

a b x+ − =

1

a +

1

b+1

x (x l à ẩn số)

Câu 3:

a) Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+ 2) (x+ 4) (x+ 6) (x+ + 8) 2008

cho đa thức x2 + 10x+ 21.

b) Tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4 − 3x3 +ax b+ chia heỏt cho ủa thức B x( ) =x2 − + 3x 4

Câu 4:

a)Cho x y z 1

a b c+ + = v à a b c 0

x+ + =y z Chứng minh rằng : x22 y22 z22 1

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5:

Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối tia CB lấy F sao cho

AE = CF

a) Chứng minh∆EDF vuụng cõn

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Đề số 3

Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức









+

−













− +

=

3

1 3

27

: 3

3 3

1

2

x x

x A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A < -1

đề chính thức

Trang 3

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phơng trình:

y y

2 1 9

6 3

10

3

1

2

2 − + = − + −

b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A=

x

x 16 )( 9 )

Bài 3: (3 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy

Bài 4: (4 điểm)

a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: ab(a−b) −ac(a+c) +bc( 2a−b+c)

b) tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4 − 3x3 +ax b+ chia heỏt cho ủa thửực B x( ) =x2 − + 3x 4

B i 5 à : (6điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB Gọi K là giao điểm của CP và NB

CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K thẳng hàng

c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H CMR:

'

' '

'

CC

HC BB

HB AA

HA + + bằng một hằng số

Đề số 4

Bài 1: (4đ)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

2 2

2 2 3( ) 5

y + x − y+ x + (với x, y khác 0)

b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A M B biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3

c) Cho x + y = 1 và x y ≠0 Chứng minh rằng

( )

2

0

x y

−

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x2 22x 1

x

Bài 2: (2đ) Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

đề chính thức

Trang 4

b) 2 2 2 2 2 2

Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối

tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh∆EDF vuụng cõn

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2)Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A Cỏc điểm D, E theo thứ tự di

chuyển trờn AB, AC sao cho BD = AE Xỏc địnhvị trớ điểm D, E sao cho:

a/ DE cú độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất

Đề số 5

B i 1 à Cho biểu thức:

2

2a b 2a b 2a a b a b ab a

a Rút gọn A

b Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0

B i 2 à

a) Cho a + b = 1 Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)

b) Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

c) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

A = ≥ 3

− +

+

− +

+

−

c b

c a

b a

c b a

Bài 3

Cho tam giỏc ABC, ba đường phõn giỏc AN, BM, CP cắt nhau tại O Ba cạnh AB,

BC, CA tỉ lệ với 4,7,5

đề chính thức

Trang 5

a) Tớnh NC biết BC = 18 cm

b) Tớnh AC biết MC - MA = 3cm

c) Chứng minh = 1

MA

CM NC

BN PB AP

Cõu 4 ( 3,5 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD Qua A kẻ hai đường thẳng

vuụng gúc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S

1, Chứng minh ∆AQR và ∆APS là cỏc tam giỏc cõn

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giỏc AMHN là hỡnh chữ nhật

3, Chứng minh P là trực tõm ∆SQR

4, MN là trung trực của AC

5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Đề số 6

đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8

Bài 1: ( 6 điểm )

a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y ( với mọi x ;y)

b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau: A =

2

2 2

3 − − −

−

x x x x

Bài 2 (8đ) Cho hỡnh vuụng ABCD Gọi E là 1 điểm trờn cạnh BC Qua E

kẻ tia Ax vuụng gúc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giỏc AEF cắt CD ở K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh :

a) AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi

b) ∆AEF ~ ∆ CAF và AF2 = FK.FC

c) Khi E thay đổi trờn BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giỏc EKC khụng đổi

Bài 3 (3điểm): Tỡm dư của phộp chia đa thức

x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

đề chính thức

Trang 6

Bài 4( 3điểm)

Trong hai số sau đõy số nào lớn hơn:

a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970

Đề số 7

Bài 1: ( 6 điểm )

a, Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 =(x+ y)3 − 3xy.(x+y)+z3

b, Cho 1+ 1+1 = 0

z y

x Tớnh 2 2 z2

xy y

xz x

yz

A= + +

Bài 2 : (8đ) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình

chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD

a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC Chứng minh:

1

2

= b) Tính số đo góc BMK?

c) Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC Hãy xác định vị trí của

P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?

Bài 3 (3điểm):

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biẻu thức: 2

2 1 2

x M x

+

= +

đề chính thức

Trang 7

Bài 4( 3điểm)

Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh sau: yx2 +yx +y =1

Đề số 8

Bài 1: ( 6 điểm )

a)Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

9

12 27

2 +

−

x x

b) Cho B = 2 12 2 2 12 2 2 12 2

b c - a +c a - b +a b - c

Rỳt gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0

Bài 2 : (6 điểm) Cho Tam giỏc ABC vuụng cõn ở A Điểm M trờn cạnh

BC Từ M kẻ ME vuụng gúc với AB, kẻ MF vuụng gúc với AC ( E ∈ AB ; F ∈

AC )

a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB2 và chu vi tứ giỏc MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của M

b Tỡm vị trớ của M để diện tớch tứ giỏc MEAF lớn nhất

c Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuụng gúc với EF luụn đi qua một điểm

cố định

Bài 3 (5 điểm):

a) Cho a ≥ 4; ab ≥ 12 Chứng minh rằng C = a + b ≥ 7

b) Chứng minh rằng số:

1.2 2.3 3.4 + + + + n.(n+1) ∈ khụng phải là một số nguyờn

B i 4( à 3điểm) Cho hai bất phương trỡnh:

đề chính thức

Trang 8

3mx-2m > x+1 (1)

m-2x < 0 (2)

Tỡm m để hai bất phương trỡnh trờn cú cựng một tập nghiệm

Đề số 9

Bài 1: ( 5 điểm )

a) Cho a, b > 0 và a+b = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

M = (1+ 1

a )2 + (1+1

b )2

b) Cho cỏc số a; b; c thoả món : a + b + c = 3

2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 3

4

Bài 2 : (8đ)

Cho hỡnh chữ nhật ABCD Trờn đường chộo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P Gọi O là giao điểm của AC và BD

a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gi?

b) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AD, AB

Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P

d) Giả sử CP ⊥ BD và CP = 2,4 cm, 9

16

PD

PB = Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Bài 3 (4điểm): Giải phương trỡnh:

1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16

1006 1004 1002 1000

Bài 4( 3 điểm)

đề chính thức

Trang 9

a Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120

b Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24

Đề số 10

Bài 1: ( 4 điểm ) Chứng minh rằng:

a) 85 + 211 chia hết cho 17

b) 1919 + 6919 chia hết cho 44

Bài 2 : (6 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là

trung điểm của cỏc cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF

1.Chứng minh CE vuụng gúc với DF

2.Chứng minh ∆ MAD cõn

3.Tớnh diện tớch ∆ MDC theo a

Bài 3 (5 điểm):

a) Rỳt gọn biểu thức: 3 2 2 6

4 18 9

+ −

b) Cho 1 1 1 0( , ,x y z 0)

Bài 4 (5 điểm)

a) Cho hai số x, y thoó món điều kiện 3x + y = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2

b) Cho cỏc số dương a, b, c cú tớch bằng 1

Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8

đề chính thức

Trang 10

Một số đáp án

4

1 4

12 3 2 4

1 4

3 2 4

1 ) 4

3

=

⋅ +

⋅

≥ +

Ta có: 19702 – 1 < 19702

⇔ 1969.1971 < 19702

⇔ 2 1969.1971<2.1970 (*) (0.25đ)

Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)

ta có:

1970 4 1971 1969 2

1970

.

⇔ ( 1969 + 1971 ) 2 < ( 2 1970 ) 2 (0.25đ)

Vậy: 1969 + 1971 < 2 1970

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( )

2

27 12

9

27 12

1 1

x A

x

x A

−

=

+

−

A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 ( )2

x

⇔ − = hay x = A = ( 2 ) ( 2 ) ( )2

27 12

x

2

Do a, b, c là các số dương nên ta có;

0 a 0 a 1 2a a 2a 1 a 1 4a

Tương tự (b + 1)2 ≥4b (2)………0,25đ

(c + 1)2 ≥4c (3) …………0,25đ

Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có:

(b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 ≥64abc (vì abc = 1)

((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 ≥64

(b + 1)(a + 1)(c + 1) ≥8… 0,25đ

Trang 11

Bài IV: y x2 + y x + y = 1 (1)

Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0

(1) y(x2 + x +1) = 1

⇒ y= 1 ⇒ y = 1 ,x= 0

x2 + x +1 =1

Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1) (1đ)

Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = 0 ⇔b + c = - a

Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2

⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca

a2 + b2 - c2 = -2ab

⇒ A = - 1 - 1 - 1 =-(a+b+c)=0

2bc 2ca 2ab 2abc (vì a + b + c = 0) Vậy A= 0

1) Đặt y = x + 2 ta được phương trình:

(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16

⇔y4 + 6y2 -7 = 0

Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là

z1 = 1 và z2 = -7

• y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3

• y2 = -7 không có nghiệm

1006 1004 1002 1000

2007 2007 2007 2007

0

1006 1004 1002 1000

Bài 3:(1,5 điểm) Ta có:

 −  + −  + − + + − 

Trang 12

= 1 1 = n 1 n+1 n+1

Mặt khác a > 0 Do đó a không nguyên

Bài 1: a A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120

Kết quả phân tích A = ( x –3) (x-5) (x-2) (x-4)

b A = (x-3) (x-5) (x-2) (x-4)

=> A= (x-5) (x-4) (x-3) (x-2)

L à tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A  24

Bài 4: Giải a chứng minh được

F C BA + CA BE = AB2 (0,5 điểm )

+ Chứng minh được chu vi tứ giác

MEAF = 2 AB

( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm )

b Chứng tỏ được M là trung điểm BC

Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm )

c Chứng tỏ được đường thẳng

MH ⊥ EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm )

a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17

b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:

an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ

Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)

= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44

3

0

3 3

Do đó : xyz( 13

1

y + 13

z )= 3 xyz3 xyz3 xyz3 3 yz2 zx2 xy2 3

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	358,5 KB