Tớnh độ dài đoạn thẳng MN.. Xếp ngẫu nhiờn 7 học sinh đú thành một hàng ngang.. Tỡm xỏc suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.. Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy của lăng trụ bằng 0 60.. Hỡnh
Trang 1Tr-ờng thpt l-ơng thế vinh
Hà nội
Năm học 2014 - 2015
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán - Lần thứ 2 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Ngày 29.3.2015 -
Cõu 1 (2,0 điểm) Cho cỏc hàm số yx3 3mx2 2 (C m), y x 2 ( )d , với m là tham số thực
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (C m) khi m 1
b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để ( C m) cú hai điểm cực trị và khoảng cỏch từ điểm cực tiểu của (C m) đến đường
thẳng ( )d bằng 2
Cõu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trỡnh sinx2sinx 1 cosx2 cosx 3
b) Giải phương trỡnh log 3 3 x 6 3 x
Cõu 3 (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
2
2 0
sin 2
.
x
x
Cõu 4 (1,0 điểm)
a) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trỡnh z2 4z 9 0 ; M N, lần lượt là cỏc điểm biểu diễn
1 , 2
z z trờn mặt phẳng phức Tớnh độ dài đoạn thẳng MN.
b) Một tổ cú 7 học sinh (trong đú cú 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam) Xếp ngẫu nhiờn 7 học sinh đú
thành một hàng ngang Tỡm xỏc suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau
Cõu 5 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I(3;6;7) và mặt phẳng
( ) :P x 2y 2z 11 0 Lập phương trỡnh mặt cầu ( )S tõm I và tiếp xỳc với ( ).P Tỡm tọa độ tiếp
điểm của ( )P và ( ) S
Cõu 6 (1,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC A B C ' ' ' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B;
0
ABa ACB ; M là trung điểm cạnh AC Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy của lăng trụ bằng 0
60 Hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A' lờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM Tớnh theo a thể tớch
khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cỏch từ điểm C' đến mặt phẳng (BMB').
Cõu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hỡnh thang ABCD vuụng tại , A và D; diện tớch
hỡnh thang bằng 6; CD 2AB, B(0; 4) Biết điểm I(3; 1), (2; 2) K lần lượt nằm trờn đường thẳng AD và
DC Viết phương trỡnh đường thẳng AD biết AD khụng song song với cỏc trục tọa độ
Cõu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh
( , ).
x y
Cõu 9 (1,0 điểm) Cho cỏc số thực , x y dương và thỏa món x y 1 0
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
2
2 4
T
- Hết -
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2Tr-ờng thpt l-ơng thế vinh
Hà nội
Nă m họ c 2014 – 2015
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán – Lần thứ 2
- Đ ỏp ỏn cú 04 trang -
m
1
(2,0đ
)
a) (1,0 điểm) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
yx x
Tập xỏc định: D lim ; lim
y x x; y' 0 x 0 hoặc x 2 0,25 Khoảng đồng biến: ;0 ; 2; Khoảng nghịch biến: 0;2
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x 2, y CT 2;
đạt cực đại tại x 0, yCĐ = 2
0,25
Bảng biến thiờn:
x 0 2
y' + 0 - 0
+
y 2
-2
0,25
Đồ thị: (Hs cú thể lấy thờm điểm ( 1; 2); (1; 0); (3; 2) ) 0,25
b) (1,0 điểm) Tỡm cỏc giỏ trị của m để (C m ) cú k/c điểm cực tiểu của ( C m ) đến ( )d bằng
2
2
y x mx x x m y' 0 x 0;x 2m
Tọa độ hai điểm cực trị: A(0; 2) và 3
(2 ; 2 4 )
m 0 : A là điểm cực tiểu Khi đú d A d( , ) 0 2 (loại) 0,25
m 0 : B là điểm cực tiểu Khi đú:
3 3
3
1( )
d B d m m
m ktm
m m
Đỏp số: m 1
0,25
2
(1,0đ
)
a) (0,5 điểm) Giải phương trỡnh sinx2sinx 1 cosx2 cosx 3
Phương trỡnh đó cho tương đương với
0,25
Trang 3 5 2
x xk x k k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 5 2 , 5 2 ,
x k x k k
0,25
b) (0,5 điểm) Giải phương trình log 3 3 x 6 3 x
Điều kiện: x log 63 Phương trình đã cho tương đương với
3
x
t
9 3( )
t
x
t x (tmđk)
Đáp số: x 2
0,25
3
(1,0đ
2
2 0
sin 2
.
x
x
.
Đặt t sinx dt cosxdx x 0 t 0; 1.
2
x t
0,25
1
2 0
2
2
tdt I
t
2 2
2
dt
t
t
2(ln 3 ln 2) 4
I
3 2
2 ln
4
(1,0đ
)
a) (0,5 điểm) Cho 2
z z M, N biểu diễn z z1, 2 Tính độ dài đoạn MN
' 4 9 5 5i
nên có hai nghiệm z1,2 2 i 5 0,25
Từ đó M(2; 5), (2;N 5) MN 2 5
b) (0,5 điểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có
5! cách sắp xếp Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ Vậy
có 5!.3! cách sắp xếp
0,25
+ Xác suất của biến cố A là: 5!.3!
7!
7 ( ( )p A 0.14)
(Cách 2: - - - 7 vị trí Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567) Mỗi cách
xếp lại có 3! cách hoán vị 3 nữ Có 4! cách hoán vị 4 nam Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! =
1/7)
0,25
5
(1,0đ
)
Cho ( ) :P x 2y 2z 11 0, I(3;6;7)
Mặt cầu ( )S tâm I có bán kính ( , ( )) | 3 12 14 11| 6
3
Rd I P
( ) : (S x 3) (y 6) (z 7) 36 0,25
Trang 4Đường thẳng ( )d qua I và vuông góc với ( )P có phương trình
3
7 2
0,25
Giả sử M ( )d ( )P (3 t) (12 4 )t (14 4 ) 11t 0 9t 18 0 t 2
(1; 2;3)
6
(1,0đ
)
Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ; 0
ABa ACB ;
A H ABC A H là đường cao của hình lăng trụ
AH là hình chiếu vuông góc của AA' lên (ABC) A AH' 600
' ' '
ABC A BC ABC
V A H S
0,25
AC a MAMB AB a AH A H
2
ABC
a
2 ' '
.
ABC A BC
a a V
4
a
0,25
'
3
BMB
V
S
3
A BMB B ABM ABC A BC
a
0,25
Do BM (AHA') nên BM AA' BMBB' BMB' vuông tại B
2 '
BMB
a
4
a
0,25
7
(1,0đ
)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại , A và D ; diện tích hình
thang bằng 6; CD 2AB , B(0; 4) I(3; 1), (2; 2) K Viết phương trình đường thẳng AD.
Vì AD không song song các trục tọa độ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là
n b b suy ra: Phương trình AD:1(x 3) b y( 1) 0
Phương trình AB bx: (y 4) 0
0,25
ABCD
AB CD AB
S AD AD d B AD d K AB
b b
0,25
2
1
3
1 2 2 7
ABCD
b
b b
b
Đáp số:
8
(1,0đ
)
Giải hệ phương trình
( , ).
x y
B
B'
M H
A'
C'
B
B'
M H
Q P
E
I
K
Trang 5Điều kiện: 1 x 3 3;x 3 3;y 3
f t t t t Ta có
2 3
3
t
t
, suy ra f t( ) đồng
biến t 1, suy ra x 1 3 y 2
0,25
Thay vào (2) ta có
3 x 1 x 6x 6 (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1) 4(x 1) 1 3 x 1
Do x 1 không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho x 1 0 ta được:
1 1
x x
3
2
6 (3 ) 1
t
x
0,25
Với
2
x
Đáp số ( ; ) (5; 62), ( ;5 127)
4 64
x y
0,25
9
(1,0đ
)
Cho x y, 0 :x y 1 0 Tìm max:
2
2 4
T
Ta có
2
x
x y
4
x
y
Ta có
2 2
1
x
y y
với 0 1
4
t
2
1
t
f t
t t
3 3
2
3 2
17 16
t
t
Và 1. 1 2 1
5 (t 1) 5
5 17 17 16
f t
0,25
Từ đó f t( ) đồng biến (0; ]1 ( ) 1 13 6
Đáp số:
1 (0; ] 4
17
t
- Hế t -