Gọi 2 điểm cực trị đó là A, B và G là trọng tâm tam giác OAB với O là gốc tọa độ.. Tìm m để đoạn thẳng OG ngắn nhất.. a Giải phương trình sin 3xsin 2xsinx.. b Một đội văn nghệ của nhà
Trang 1TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán Ngày thi: 14/3/2015
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 mx (1), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị Gọi 2 điểm cực trị đó là A, B và G là trọng tâm tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) Tìm m để đoạn thẳng OG ngắn nhất
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình sin 3xsin 2xsinx
b) Một đội văn nghệ của nhà trường gồm có 5 học sinh nữ và 10 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh trong đội văn nghệ để lập một tốp ca Tính xác suất để tốp ca có ít nhất 3 học sinh nữ
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 3 3
3
1
3
x
log
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2
0 sin 2 cos )
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết góc BAC 1200, tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB tới mặt phẳng (SAC)
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;-1) và hai đường thẳng
d x y d x y Gọi A là giao điểm của d và 1 d Viết phương trình 2
đường thẳng đi qua điểm M cắt d và 1 d lần lượt tại điểm B và C sao cho ba điểm A, B, C 2
tạo thành tam giác có BC 3.AB
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 1 0 và hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M tới
(Q) bằng 17
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
x y
Câu 9 (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
16
P
-Hết -
Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 2TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
(Bao gồm 05 trang)
1
(2,0điểm)
a) 1,0 điểm
Khi m = 0 ta có: 3 2
3
y x x
TXĐ: D
Sự Biến thiên
+) y3x26 ;x y0;x0,x2
+) giới hạn: 3 2 3 2
lim ( 3 ) ; lim ( 3 )
0,25
+) Bảng biến thiên:
x 0 2
y + 0 - 0 +
y 0
-4
0,25
+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng (;0) và (2;)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
+) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -4
0,25
Đồ thị
-4 -3 -2 -1
1 2
x
y
O
0,25
b) (1,0 điểm)
2
y x xm
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì y 0 có 2 nghiệm phân biệt 0,25
Trang 3Khi đó đồ thị có hai điểm cực trị là A x y( ;1 1); ( ;B x y2 2) với x x1; 2là 2 nghiệm của
phương trình 2
3x 6x m 0 1 2 2; 1 2
3
m
x x x x
Từ đó tính được 2 2; 4
m
0,25
m
thỏa mãn điều
kiện m < 3 Vậy m = 2
0,25
2
(1,0điểm)
a) (0,5điểm) Giải phương trình sin 3xsin 2xsinx
Phương trình (sin 3xsinx) sin 2 x0
2cos2x.sinx + 2sinx.cosx = 0
2sinx(2cos2x +cosx-1) = 0
0,25
2 1
s inx=0
0,25
b) (0,5điểm)
Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh trong 15 học sinh thì có C158 6435 cách
Số cách chọn 8 học sinh mà có ít nhất 3 học sinh nữ là:
5 10 5 10 5 10 3690
0,25
Vậy xác suất cần tìm là 3690 82
0,573
3
(1,0điểm) ĐK: 1
4
PT log34x 1 log3x 3 log39 log x3( 1) 0,25
2 loai 3
2
x x
KL: 3
2
4
(1,0điểm)
Đặt t = cosx, dt = - sinxdx, đổi cận: x = 0 t = 1;
2
x t = 0
Vậy :
0,25
Đặt
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 4
2
0
1
t t
5
(1,0điểm)
Hình vẽ
SAB=SAC (c.c.c) AB = AC ABC cân tại A tính được 3
3
a
AB
3
a
0,25
120
BAC
) có diện tích là 2
0
.sin120
ABC
a
3
.
S ABC ABC
a
V S SA (đvtt) 0,25
Gọi I là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB
Do 2
3
SG
SI ( ,( )) 2 ( ,( ))
3
Trong mp(ABC) kẻ IH vuông góc với AC tại H (H nằm ngoài đoạn AC và góc
HAI = 600) IH (SAC)
IH = d(I,(SAC))
Trong tam giác vuông AIH có IH = AI.sin600= 1 3 3
2 3 2 4
( ,( )) 2 2
3 3 4 6
0,25
6
(1,0điểm)
Vì A d1 d2 A(2;1) Lấy điểm I(3;2)d1 (IA) ta tìm điểm Jd 2 (JA)
sao cho IJ = 3AI Do Jd 2 J(x; 5-2x)
0,25
Khi đó IJ = 3AI 2 2 2
(x3) (3 2 )x 185x 18x0 0,25
a S
A
B
C I
H G
Trang 5(0;5) 0
18 11 18
;
5 5 5
x
x
(thỏa mãn)
Vì 3
3
+ Với J(0; 5) IJ( 3;3) 1:x y 0
+ Với 18; 11
5 5
3 21
5 5
IJ x y
0,25
7
(1,0điểm)
Ta có AB(2;4; 4) và véctơ pháp tuyến của (P) là n P (2;1; 2) Gọi n Q là véc tơ pháp tuyến của (Q) ta có
, ( 4; 4; 6) 2(2; 2;3)
Q
0,25
(Q): ): 2(x-1) + 2(y+2) + 3(z-3) = 0 2x + 2y + 3z – 7 = 0 0,25
Vì M Ox M(m; 0; 0), do 2 7
17
m
12
2 7 17
5
m m
m
M(12; 0; 0) hoặc M(-5; 0; 0) 0,25
8
(1,0điểm) Giải hệ PT 2 2
2 2 1 1 1 (1)
( , )
x y
Ta có y2 1 y2 y y y y2 1 0, nhân hai vế phương trình (1)
với y y2 1 0
(x 1) (x1) 1 y ( y) 1 (3)
0,25
Xét hàm số 2
f t t t trên , có 2
1
f(t) đồng biến trên Vậy (3)
f x f y x y y x
0,25
Thay vào (2) ta có
(2)2x 9x 8 6 x 3x 1 2x 9x 8 3x 1 6 x 0
2
2x 9x 5 ( 3x 1 4) (1 6 x) 0
3 1 4 1 6
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 63 1 4 1 6
x
x
Từ điều kiện 1 6
3 x
(4) vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = (5; - 6)
0,25
9
(1,0điểm) Ta chứng minh được
3
(1) 4
Thật vậy,
3
4
4y 4z (yz) 4y 4z y z 3y z3yz
2 (y z) (y z) 0
luôn đúng Dấu “=” xảy ra khi y = z
0,25
Thay (1) vào P và đặt x + y +z = a, khi đó
64 ( ) 64 ( )
4P x y z x a x 64t (1 t)
a
) Xét hàm số 3 3
( ) 64 (1 ) , 0;1
0,25
'( ) 3 64 (1 ) , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t Lập bảng biến thiên
hàm số f(t), suy ra
0;1
min ( )
0,25
hay là giá trị nhỏ nhất của 4P là 64
81 giá trị nhỏ nhất của P là 16
81 khi
4 0 1
9
0,25
Ghi chú: Học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo biểu
điểm của câu (ý) đó
