Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a.. Vì CA là phân giác của góc · MCN nên CA giao với đường tròn tại điểm E là đi
Trang 1ĐỂ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN LẦN INĂM HỌC 20142015
Đề thi gồm 8 câu (Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề)
==================================
Câu 1(4,0 điểm) : Cho hàm số : y = x 3 - 3 x 2 + 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng d có phương trình 3
9
1 +
-
= x
Câu 2 (2,0 điểm) :
1 . Giải bất phương trình : log ( 2 ) log 1
3
1
3 x + - x £
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) xe x x 2 2 x
+ +
= trên đoạn [ - 2 ; 0 ] . Câu 3(2,0 điểm) : Giải phương trình: 4 sin 2 x + sin x + 3 cos x = 2
Câu 4(2,0 điểm) : Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen.
Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 6 quả cầu được chọn có 3 quả cầu
trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen.
Câu 5 (4,0 điểm) : Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
a
AB = ,SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Góc giữa mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng
)
( ABC bằng 0
60 .Gọi M là trung điểm của AB.
1. Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABC
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a .
Câu 6(2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(2;2). Biết điểm M(6;3) thuộc cạnh BC, điểm N(4;6) thuộc cạnh CD. Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu 7 (2,0 điểm) : Giải hệ phương trình:
( , )
x y
ï
Î
í
ï
¡
Câu 8 (2,0 điểm) : Cho ba số thực dương x y z , , thoả mãn : x+ y+ ³ z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỂ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN LẦN INĂM HỌC 20142015
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 3 3 2 4
+
-
= x x
Gọi điểm M( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm . Ta có : y'=3x2 - 6 x
Đường thẳng d có hệ số góc
9
1
1 = -
k nên tiếp tuyến có hệ số góc k 2 = 9
0,5
0
3
1
x
x
=
é
ë
0,5
Với x 0 = - 1 Þ y 0 = 0 Þ M ( - 1 ; 0 ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = x 9 + 9 Với x 0 = 3 Þ y 0 = 4 Þ M ( 3 ; 4 ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y = x 9 - 23
0,5
1
(4,0đ) 2.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn y = x 9 + 9 và y = x 9 - 23 0,5
đk x > 0 BPT Ûlog (3 [ x+2)x ] £ 1
1
3
0
3
2
3 )
2 ( + £ Û 2 + - £ Û - £ £
0,5
1.
Kết hợp với điều kiện ta được : 0 < x £ 1 .Vậy BPT có tập nghiệm: T=( 0 ; 1 ] 0,5
Xét hàm số : f ( x ) xe x x 2 2 x
+ +
= trên đoạn [ - 2 ; 0 ]
Ta có : f '( )x =(x+1)(e x +2)Þ f x'( )=0Û x = - Î - 1 [ 2;0 ]
0,5
2
(2,0đ)
2.
Tính : f ( 2) 2 2
e
- = - ; f ( 1) 1 1
e
- = - - ; (0)f = 0
Từ đó suy ra :
x m f x f
[ 2;0 ]
1
x f x f
e
Î - = - = - -
0,5
Phương đã cho tương đương với: sin x + 3 cos x = 2 cos 2 x 0,5
<=>
6 cos( ) cos 2
6
6
p
p
p
p p
é
= - +
ê
ê = - + +
ê
0,5
k
p
-
3
(2,0đ)
Vậy phương trình có nghiệm : 2
6
x p k
p
-
18 3
k
Phép thử T: “Chọn 6 quả cầu từ 12 quả cầu”
Số phần tử của không gian mẫu W là W = C 12 6 = 924
0,5
Gọi A là biến cố: “6 quả cầu được chọn có 3 quả trắng, 2 quả đỏ, 1 quả đen”.
Chọn 3 quả trắng từ 6 quả cầu trắng: có C 3 6 cách Chọn 2 quả đỏ từ 4 quả cầu đỏ: có C 2 4 cách Chọn 1 quả đen từ 2 quả cầu đen: có C 1 2 cách
0,5
Suy ra, số phần tử của W A là: W A = C 3 6 . C 2 4 . C 1 2 = 240 0,5
4
(2,0đ)
Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = W A =
W
240 20
294= 77
0,5
5
(4,0đ)
1. Vì BC^SA BC , ^ABÞBC^ ( SAB )
Þ Góc giữa mặt phẳng ( SBC và mặt phẳng ) ( ABC là góc ) SBA ·
0,5
Trang 3M
N
E
D
C
A
B
A
60
SBA
0,5
0,5
Suy ra (d AC SM, )=d AC SMN( , ( ))= d A SMN ( , ( ))
Kẻ AK ^MN ÞMN ^ (SAK ) Þ(SAK)^ (SMN ) theo giao tuyến SK
Kẻ AH ^SKÞ AH ^ (SMN ) . Do đó ( , (d A SMN )) = AH
0,5
Do DABC vuông cân tại B suy ra DAKM vuông cân tại K .
0,5
Trong tam giác vuông SAK,ta có :
2
3
4
a
AH
0,5
2.
Vậy
5
3 )
,
( SM AC a
Gọi (5; )9
2
I là trung điểm của MN. Do · 0
90
kính MN. Vì CA là phân giác của góc · MCN nên CA giao với đường tròn tại điểm E là
điểm chính giữa MN không chứa C(A và E nằm cùng phía so với MN). Suy ra E là giao ¼
điểm của đường tròn (I) và trung trực của MN.
0,5
Phương trình đường tròn ( )
2
2 9 13 ( ) : 5
I x- +æçy - ö ÷ =
Phương trình đường trung trực của MN : 2 3 7 0
2
x- y + =
0,5
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ
( )
2
2 9 13
5
7
2
í
ï
- + =
ï
î
Ta có : 1(13 11; ); 2 ( ; ) 7 7
E E Vì A, E cùng phía so với MN nên chọn ( ; ) 7 7
2 2
0,5
6
(2,0đ)
Phương trình AE: x-y = Do C là giao điểm thứ hai của (I) và AE nên tọa độ C (6;6) 0 0,5
H
C
B
A
S
3
.
a
Trang 4Gọi véc tơ pháp tuyến của BC là ( ) ( 2 2 )
Þ pt BC: ax by+ -6a-3b = 0
CD đi qua N (4; 6) và vuông góc với BC suy ra pt CD: bx ay- +6a-4b = 0
Ta có :
2 2 2 2
0
b
a b
=
- =
*TH1) Nếu b = 0 chọn a = 1 khi đó pt BC : x - = 6 0 và pt CD : y - = 6 0
(6; 6)
C=BCÇCDÞ C Phương trình MN : 3x+2y -24= Kiểm tra A và C khác 0 phía đối với đường thẳng MN nên (6; 6) C thỏa mãn bài toán.
*TH2) Nếu 8a b - = 0 chọn a=1,b = khi đó pt BC : 8 x+8y -30= 0 và pt CD :
8x- -y 26= Suy ra 0 (238 214 ; )
65 65
C loại do A và C cùng phía đối với đường thẳng
MN.Vậy điểm C cần tìm là : (6; 6) C
ï
í
ï
( ) ( )
1
2
4 2
1
y
x y
= -
é
ë
0,5
4 x + =1 x +4Ûx=0;x = ± 2 2 0,5
4 2
x
y
- £ £
ì
ï
- £ £
ï
( )
(2)Û8y -6y- +2 4 x + -1 x = 0 3
[ ]
2 2
1;1
x
Î -
Xét hàm số 3
1 1
;
2 2
é ù
Î -ê ú
ë û
Do đó : ( )f x +g y ( )³ 0 [ 1;1 ,] 1 1 ;
2 2
" Î - " Î -ê ú
ë û . Dấu ‘=” khi
1 ( ; ) (0; )
2
x y =
0,5
7
(2,0đ)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho ( ; ) x y là: (0; ); (0; 1); (2 2; 1); ( 2 2; 1) 1
0,5
8
(2,0đ) Áp dụng bổ đề: Với a b c > thì 2, 2, 2 0 2 2 2 ( ) 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
+ +
+ +
P
+ +
³
Chú ý: CM bổ đề: Với a b c > thì 2, 2, 2 0 2 2 2 ( ) 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
+ +
+ +
Áp dụng BĐT Bunhiacopski với 2 dãy 1 1 1
2 2 2
, ,
2 2 2
2
1 1 1
2 2 2 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
.
Do a2+b2+c 2 > nên có: 0 2 2 2 ( ) 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + suy ra đpcm.
0,5
Trang 52 2 2
Lại có
2
2
2
x
x
=
é
ê
=
ë
2
2
2
y
y
=
é
ê
=
ë
2
2
2
z
z
=
é
ê
=
ë
0,5
2
2 2 2
P
Đặt t= x+y+ z điều kiện t ³ 3 . Ta có
2
2
2
18
t
P
³
- + với t ³ 3
0,5
Xét hàm số ( )
2
2
2
18
t
f t
=
- + trên [ 3; +¥ )
Ta có : ( )
2
2
2
36 ' 2.
18
- +
=
- +
0 '( ) 0
36
t
f t
t
=
é
= Û ê
=
ë
, lim ( ) 2
x f t
®+¥ =
BBT của ( ) f t trên nửa khoảng [ 3; +¥ )
Ta có
[ 3; )
3 min ( ) (3)
4
t f t f
Î +¥ = =
Vậy Min P = 3
4 khi x= y=z = 1
'( )
( )
f t
144
71
3
0,5
Chú ý:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.
www.laisac.page.tl