Cho hình chóp S ABCD.. GọiI, lần lượt là trung điểm các cạnh SB và J.. SDTính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm 2;
Trang 1Đăng trên Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 449.11/2014
Đề số 2
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 3 2
y=x − x + x+m (m là tham số) có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )C khi m =0
b) Tìm m để tồn tại tiếp tuyến với đồ thị (Cm)đi qua điểm (3;0)A và cắt đường tròn ( )S có phương trình
(x+1) +(y−2) =25theo một dây cung MN có độ dài nhỏ nhất
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình cos 4 3 sin 2 2 3
sin 4 3 cos 2
−
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân
2 2
+
=
∫
Câu 4 (1 điểm)
1
4
b) Cho số phức zthỏa mãn z+(1 2 )− i z =2(1 2 ).− i Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2 3
Câu 5 (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho , mặt phẳng ( ) : 2P x+y−z= và 0 hai đường
:
∆ = = ⋅ Tìm điểm M trên mặt phẳng ( ),P điểm N trên đường thẳng∆ sao cho M và N đối xứng với nhau qua đường thẳng1 .
2
∆ Viết phương đường thẳng∆đi qua M vuông , góc với∆ và tạo với mặt phẳng ( )1 P một góc o
.
30
Câu 6(1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD), SA=a.Diện tích tam giác SBCbằng 2 2
2
a
⋅ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a GọiI, lần lượt là trung điểm các cạnh SB và J
SDTính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm (2; 1)I vàAC=2BD
Điểm 0;1
3
M
thuộc đường thẳngAB, N(0; 7) thuộc đường thẳngCD.Tìm tọa độ điểm P biếtBP=5BI
với điểm
B có tung độ dương
Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình 4 4
⋅
x
Câu 9(1 điểm) Cho a b c, là các số thực dương thỏa mãn, 1
6 abc = ⋅ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
PHẠM TRỌNG THƯ
(GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)
http://laisac.page.tl/
Trang 2BÀI GIẢI CHI TIẾT
y=x − x + x+m( m là tham số) có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )C khi m =0
b) Tìm m để tồn tại tiếp tuyến với đồ thị (Cm)đi qua điểm (3;0)A và cắt đường tròn ( )S có phương trình
(x+1) +(y−2) =25theo một dây cung MN có độ dài nhỏ nhất
Bài giải
a) Bạn đọc tự giải
b) Giả sử ∆ là tiếp tuyến với đồ thị (Cm)đi qua A và cắt đường tròn ( )S tại hai điểm phân biệtM, N
Đường tròn ( )S có tâm ( 1;2),I − bán kính R = và điểm 5 A nằm trong đường tròn ( ).S
Vẽ IH ⊥ ∆ tạiH
Ta cóMN 2MH 2 R2 IH2.
Mà IH IA≤ nênMN≥2 R2−IA2 (hằng số)
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi H trùng vớiA
Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận vectơIA =(4; 2)−
làm vectơ pháp tuyến, có phương trình 2x−y−6=0
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị (Cm)nếu và chỉ nếu hệ sau có nghiệm
2
Đến đây, ta tìm được 36 10 15
9
Câu 2 Giải phương trình cos 4 3 sin 2 2 3
sin 4 3 cos 2
−
Bài giải
cos 2 0
6 sin2
2
3 cos 2
m x
x
x
x
π π
π π
≠
≠
Với điều kiện trên thì PT đã cho tương đương(cos 4x− 3 sin 4x)+ 3( 3 cos 2x−sin 2x)+2=0
2
2
k x
x
π
π π
π
π π
ℤ
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy 2 , ( )
x= π +kπ x= −π +kπ k∈ ℤ là nghiệm của PT đã cho
Câu 3 Tính tích phân
2 2
+
=
∫
Bài giải
Ta có
2( 1)
−
2
1
2
1
x d
−
−
2
1 2
2 1
1 2
+
+
Trang 3i Tính
1 2
2
1 2
1
x d I
+
−
∫
x
t t
Đổi cận: khix =2thì
6 t π
= ;x= +1 2thì
4 t π
= ⋅
2
6
tan
12
I
π
π
π
π
tan
tan 12
π
π
Câu 4
1
4
b) Cho số phức zthỏa mãn z+(1 2 )− i z =2(1 2 ).− i Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2 3
Bài giải
a) Điều kiện x∈ −∞ −( ; 2)∪(2;3)∪(3;+∞)
Với điều kiện đó, phương trình viết lại là
2 ( 2) 3 (*)
i Với x∈ −∞ −( ; 2)∪(2;3) (a),ta có:
(*)⇔x−2=(x+2)(3−x)⇔x = ⇔x= ± (thỏa mãn (a))
i Với x∈(3; + ∞) (b),ta có:
(*)⇔x−2=(x+2)(x−3)⇔x − x− = ⇔x= ±
Đối chiếu với (b) ta đượcx= +1 5
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là x= ±2 2vàx= +1 5
b) Giả sử z=x+yi x y ( , ∈ ℝ) Ta có
z+ − i z= − i ⇔x+yi+ − i x−yi = − i ⇔2x−2y−2xi=2−4 i
2
Do đó ω=z2−3z=(2+i)2−3(2+i)= − +3 i
Vậy phần thực của số phức cần tìm là −3,phần ảo là 1
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2, P x+y−z= và hai đường 0
:
∆ = = ⋅ Tìm điểm M trên mặt phẳng ( ),P điểm N trên đường thẳng∆ sao cho M và N đối xứng với nhau qua đường thẳng1 .
2
∆ Viết phương đường thẳng∆đi qua M,vuông góc với∆ và tạo với mặt phẳng ( )1 P một góc o
.
30
Bài giải
GọiM m n( ; ; 2m+n), (4N +k k; ; −3 ).k
Ta có VTCP của đường thẳng∆ là2
2 (1; 2; 2) u
∆ =
vàMN =(4+k−m k; −n; −3k−2m−n),
trung điểm của
⋅
Trang 4z
B
C
D
J
y
I
A
x
S
Vì M và N đối xứng với nhau qua đường thẳng∆ nên2
2
2
I
MN u
∆
∈ ∆
Giải hệ trên ta đượcm=1, n= −1, k=1
Suy ra M(1; 1; 1), (5; 1; 3).N
Gọi VTCP của đường thẳng ∆ ∆ lần lượt là , 1 u ( ; ; )a b c
∆=
(a2 b2 c2 0)
1 (1; 1; 3) u
; VTPT của mặt phẳng ( )P làn =(2; 1; 1).−
Vì ∆ ⊥ ∆ nên1
Vì góc giữa ∆ và mặt phẳng ( )P là300nên 0 ( )
sin 30 cos ,
2
u n
∆
∆
∆
+ −
Thế (1) vào (2) khai triển và rút gọn lại ta được11c2−13ac+2a2=0⇔c=ahoặc 2
11
c= a⋅
Chọn (a=1, b=2và c = ) hoặc(1 a=11,b= − và 5 c =2) ta được PT đường thẳng : 1 1 1
− Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD),SA=a.Diện tích tam giác
SBCbằng 2 2
2
a
⋅ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a GọiI, lần lượt là trung điểm các cạnh SB và J
SDTính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ
Bài giải
i Tính thể tích khối chóp S ABCDtheo a
Ta có{BC AB BC (SAB) BC SB
⊥
Gọi x là độ dài cạnh hình vuông ABCD.Tam giác SBC có diện tích là
2
SBC
a
Thể tích khối chóp S ABCD là
3
1
a
V = S SA= (đvtt)
i Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ
Dựng hệ trục Axyz như hình vẽ ta có : (0; 0; 0);A C a a( ; ; 0); ; 0; ;
⋅
Ta có , 2; 3 2; 2 ( ; ; 0)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ là
3
2
2
11 11
,
4
a
AI CJ AC
a
d AI CJ
a
AI CJ
Câu 7.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm (2; 1)I vàAC=2BD Điểm 0;1
3
M
thuộc đường thẳngAB, N(0; 7) thuộc đường thẳngCD.Tìm tọa độ điểm P biếtBP=5BI
với điểm B có tung độ dương
Bài giải
PT đường thẳng AB qua M có dạng 1 0 ( 2 2 0 ,)
3
ax+b y − = a +b >
song với AB là Do đường thẳng AB và CD đối xứng nhau qua tâm
Trang 5( , ) ( , )
d I AB d I CD
=
2 2
3
2
3 2
3
+
Chọn a =4và b = ta được PT3 AB: 4x+3y− =1 0
Do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD,do đó tan 2 cos( , ) 1
5
PT đường thẳng BD qua I có dạng m x( −2)+n y( −1)=0 (m2+n2>0 )
5 5
+
+
11m 24mn 4n 0
11
m= − n⋅ Chọn (m =2và n = − ) hoặc(1 m =2và n = −11) ta được PTBD: 2x−y− =3 0hoặcPTBD: 2x−11y+7=0
Do B có tung độ dương và B cũng là giao điểm của AB và BD nên 1; 3
B− ⋅
Theo giả thiết
5
54 13
5
⋅
x
Bài giải
Điều kiện để HPT đã cho có nghĩa là x≥2(*)
PT thứ hai của hệ có thể viết lại dưới dạng 4y=(x+ y−2)2⇒ y≥0 (**)
Đặt t=4x−2 (t≥0)⇒ x+3= t4+5
Do đó PT thứ nhất của hệ trở thành t t4 5 y y4 5
Xét hàm số f u( )= +u u4+5,u≥0, ta có
3
4
2
5
u
u
+
nên hàm số đồng biến trên [0;+∞ )
Từ (1) có ( )f t = f y( ),suy ra t =y⇔x=y4+2 (2)
Thế (2) vào 4y=(x+y−2)2được 4 2 ( 7 4 )
4y=(y +y) ⇔y y +2y +y−4 =0(3)
g′ y = y + y + > ∀ ≥y nên hàm số đồng biến trên [0;+∞ )
Do đó PT(3) có nghiệm y =0hoặcy =1
Đối chiếu với điều kiện (*) và (**), suy ra HPT đã cho có hai nghiệm ( ; )x y là (2; 0), (3; 1)
Câu 9.Cho a b c, là các số thực dương thỏa mãn, 1
6 abc = ⋅ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
,
P
Bài giải
6 abc = nênxyz=1 Thay vào biểu thức P ta được
P
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương
3
ta có
Trang 63
Tương tự
,
Cộng theo vế ba BĐT trên rồi rút gọn ta được 3
Lại vì xyz =1,ta cóx+ y+ ≥z 33xyz = (2) 3
Từ (1) và (2) suy ra 3
4
P ≥ ⋅ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=z=1.Lúc đó 1, 1, 1
a= b= c= ⋅
Vậy GTNN của P là 3,
4 đạt được khi ( ; ; ) 1; 1; 1