Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm tam giác ABC.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: NGUYỄN T
Trang 1T H H Ử S S Ứ Ứ C T T R R Ư Ư Ớ Ớ C K K Ì T T H H I
Đã được đăng trong báo Toán Học và Tuổi trẻ số 450 đề số 3, năm 2014
Câu 1 (1 điểm) Cho hàm số y=x3-3x2 +( m-1 x) + 1 có đồ thị là ( ) C m .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= 1
2) Tìm m để đồ thị ( ) C m cắt đường thẳng y= + x 1 tại ba điểm A 0;1 , B, C ( ) sao cho BC= 10 .
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình :
2
3 4 2 sin 2x
2 3 2(cot x 1) sin 2x
cos x
+
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y x 3( tan x , x 2 )
4
p
Câu 4.
1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa z-2i+ =1 iz+ - i 1
2) Tìm số nguyên dương n thỏa C2n 1+ +2C2n 2+ +2C2n 3+ +C2 n 4 + = 149 .
Câu 5. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng
1
d :
- , 2
d :
- và 3
x 2t
d : y 1 4t
ì
ï = -
ï
ï = - -
í
ï = - +
ï
î
.
Viết phương trình mặt phẳng ( ) a đi qua d 2 và cắt d , d 1 3 lần lượt tại A,B sao cho AB= 13 .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD· = 60 0 . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa mặt phẳng ( ABCD ) và ( SAB ) bằng
0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) .
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) C có phương trình:
( ) ( 2 ) 2
x-2 + y-3 = 26 G 1; 8
3
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø là trọng tâm tam giác và M 7; 2 ( ) nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC; M¹ A Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết yB > y C .
Câu 8. Giải hệ phương trình :
2
ïç + + ÷ç - - ÷ =
ï
í
ï ç è ÷ ø
ï
.
Câu 9. Cho các số thực a, bÎ (0;1) thỏa a2+b2 =a 1-b2 +b 1- a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
NGUYỄN TẤT THU
( GV THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
Cảm ơn thầy Nguyễn Tất Thu đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl
Trang 2Hướng dẫn giải Câu 1.
1) Bạn đọc tự làm.
2) Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C m và đường thẳng d : y= + là: x 1
x -3x + m-1 x+ = + 1 x 1
( 2 )
2
x 0
x 3x m 2 0 (*)
é =
ê
Đường thẳng d cắt đồ thị ( ) C m tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x khác 0 , hay
4
ì
ïD = - - > ï <
ï
(1).
Khi đó B x ; x( 1 1+1 , C x ; x) ( 2 2 + 1 )
Do đó BC= 10 Û BC2 =10Û17-4m=5Û m= (thỏa (1)). 3
Vậy m= là giá trị cần tìm. 3
Câu 2.
sin 2x 0 x , k
2
p
Phương trình ( 2 ) 4
sin 2x
sin x cos x
+
3
1
tan x
é p
é = - ê = - + p
ê
ê
.
Câu 3.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x=x 3( +tan x2 ) Û x= 0
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S x x(3 tan x) dx x(2 tan x)dx
Đặt
2
v x tan x
dv (2 tan x)dx
î
Trang 3
4
4
0
0
S x(x tan x) (x tan x)dx
p
p
0
p
p pç ÷ ÷ ç ç ÷ p p
= ç ç ç + ÷ ÷ ç -ç - ÷ ÷ = + -
÷
Câu 4.
1) Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z , ta có z( ) = + x yi
Suy ra z-2i+ =1 ( x-2) ( + y+ 1 i )
iz+ - = - - +i 1 y 1 x+ 1 i
Nên z-2i+ =1 iz+ - i 1
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng 2x- = 1 0
2) Điều kiện: n³ 3
Ta có: C2n 1+ +2C2n 2+ +2C2n 3+ +C2 n 4 + = 149
n 1 ! 2 n 2 ! 2 n 3 ! n 4 !
149 2! n !
2 ! n 1 ! 2 ! n 1 ! 2! n 2 !
2
Vậy n= là giá trị cần tìm. 5
Câu 5.
Ta có AÎd1 ÞA(1+a; 1- +2a;1- , a) BÎd3 ÞB( 2b; 1- - -4b; 1- + 2b)
Suy ra ABuuur = - -( a 2b- -1; 2(a+2b); a+2b- 2) , đặt x= + a 2b
3
· Với x= Þ1 ABuuur =(0; 2; 3) - , ta có ur =(2; 3; 1) - là VTCP của d và 2 A( 1;1; 0)- Îd2 ÞAÎ a ( ) Suy ra n=éAB, uù =(7; 6; 4) - -
ê ú
ë û
ur uuur r
là VTPT của ( ) a Phương trình ( ) : 7xa -6y-4z+13= 0
· Với x 4 AB ( 7; 8; 2 )
= Þuuur = - - -
Suy ra n= -é 3AB, uù = - ( 14;11; 5)
ur uuur r
là VTPT của ( ) a Phương trình ( ) : 14xa -11y-5z-25= 0
Câu 6.
N
H
A
B
C
S
M
K
Trang 4Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra SH^ (ABCD) Kẻ MH vuông góc với AB, M thuộc AB.
Ta có SMH là góc giữa hai mặt phẳng · ( SAB và ) ( ABCD , do đó · ) SMH= 60 0 .
Vì HB 1
DB = 3 nên MH 1d D, AB ( ) 1 a 3 a 3
SH MH tan 60
2
Mặt khác tam giác ABD đều cạnh a nên
Thể tích khối chóp S.ABCD là
ABCD
Ta có d B, (SCD)( ) 3 d H, (SCD) ( )
2
Gọi N, K theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD và SN, khi đó d H, (SCD)( ) = HK
Vì HN 2d B, CD ( ) 2 a 3 a 3
HK
7
+
.
Vậy d B, (SCD) ( ) 3a 7
14
Câu 7.
B'
A'
H
G
E
F
M
I
A
Gọi I là tâm của đường tròn ( ) C , E là trung điểm BC và H là trực tâm tam giác ABC
Kẻ đường kính AA ' của đường tròn ( ) C
Ta có BA ' CH, CA ' BH P P nên BHCA ' là hình bình hành. Suy ra E là trung điểm của A ' H
Dấn tới IE là đường trung bình của tam giác IE 1 EG
HA ' A
Do đó, ta có DGIE Dä GHAÞAGH· =EGI· Þ G, H, I thẳng hàng và GHuuur= - 2GI uur .
Mà I 2; 3 nên tacos ( )
H
H
H
H
H 1; 2
ì - = - -
ï - = - ç - ÷ ï =
ï ç è ÷ ø
ï
.
Mặt khác MÎ ( ) C và A, H, M thẳng hàng.
Lại có BHM· · · · =AHB '=ACF=BMHÞ D MBH cân tại B nên BC là đường trung trực của đoạn HM
Ta có F 3; 2 và ( ) HMuuuur = ( ) 8; 0 nên phương trình BC : x- = 3 0
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ
( ) ( 2 ) 2
y 2, y 8
ì
ï
ï
. Phương trình HM : y- = nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ2 0
Trang 5( ) ( 2 ) 2 ( )
A 3; 2
y 2
ì
ï
ï
.
Vậy A( -3; 2 , B 3; 8 , C 3; 2 ) ( ) ( - )
Câu 8.
. Điều kiện y ³ 1
Ta có æç x2 1 x yöæ÷ç y2 1ö ÷ 1 x2 1 x y y2 1
( )( )
ì
ï
ï
(2).
Từ (1) ta có
y x
- +
y x
- . Từ đây ta có 0< - £ y x 1 Thay vào phương trình thứ hai ta được:
( ) 2
1
8 y x 3 17
y x
-
.
Đặt t= -y x, tÎ ( 0;1ù úû , ta có phương trình
2
1
8 t 3 17
t + + = (3).
Xét hàm số f (t) 1 2 8 t 3, t ( 0;1
t
ù
( 3 )
f '(t)
t 3
- +
Ta có f '(t)=0Û2t3- t+ =3 0Û 4t6 - - = t 3 0
( t 1 4t) ( 5 4t4 4t3 4t2 4t 3) 0 t 1
Suy ra f (t)£f (1)=17 t" Î ( 0;1ù úû . Do đó (3) có nghiệm duy nhất t 1 =
Vậy ta có
y 1
ï - = ï =
î
. Thử lại ta thấy cặp nghiệm này thỏa hệ đã cho.
Vậy nghiệm của hệ là x 0
y 1
ì
ï =
ï
ï =
ï .
Câu 9.
Do a, bÎ (0;1) nên tồn tại hai góc nhọn x, y sao cho a=cos x, b= cos y
Khi đó giả thiết bài toán Ûcos x2 +cos y2 =sin x cos y+sin y cos x=sin(x+ y) (1)
P 8 tan 9 tan
Trang 6x y cos x cos( y) sin y
x y
2
y x cos y cos( x) sin x
ï > - ï < - =
+ > Þíï Þ í ï
ï > - ï < - =
sin x sin y sin x cos y sin y cos x sin(x y) (1)
Nếu x y
2
p
+ < , chứng minh tương tự ta cũng có: sin x2 +sin y2 >sin(x+ y) nên (1) không đúng.
Do vậy (1) x y
2
p
x 9(1 tan )
x
1 tan
2
-
æp ö ÷
ç ÷
= + ç ç ç - ÷ ÷ = +
Đặt t tanx t ( ) 0;1
2
= Þ Î , ta có 2 9 1( t )
1 t
-
Xét hàm số f (t) với tÎ ( ) 0;1 ta có:
2 8t 16t 8t 9 2 2t 1 4t 10t 9
18
f '(t) 16t
.
f '(t) 0 t
2
= Û = Lập bảng biến thiên ta có f (t) f 1 5 P 5
2
æ ö ÷
ç ÷
³ ç ÷ ç ÷ ç è ø = Þ ³
Đẳng thức xảy ra khi
2
2
x
1 tan
x
1 tan
2
-
+
. Vậy min P= 5
Người gửi: Nguyễn Tất Thu – GV Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai
Email: nguyentatthudn@gmail.com
ĐT: 0942444556.