a Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ/ chồng mình trong một buổi gặp mặt biết rằng có tất cả 40 cái bắt tay.. Trong khôn
Trang 1
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 ( )
1
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng x và cắt ( )y 2 0 C tại 2
điểm A B phân biệt sao cho tam giác , IAB có diện tích 2 3 với I là giao điểm 2 tiệm cận
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình cos 2 1 tan tan tan 2 sin 1
2
x
x x x x
Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn
3
0
1 3 1 1
x
x x
Câu 4 (1 điểm)
a) Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ/ chồng mình) trong một buổi gặp mặt biết rằng có tất cả 40 cái bắt tay b) Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển nhị thức Niutơn (theo thứ tự số mũ giảm dần của x ) của biểu thức ( ) 23 5
n
x
với x 0 biết trong khai triển này, tổng các hệ số của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3 bằng hệ số của số hạng cuối cùng
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp tam giác đều ,
S ABC với A(3; 0;0); (0;3; 0)B và C thuộc tia Oz Tìm tọa độ điểm S biết thể tích của khối chóp S ABC bằng 9
Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O hình chiếu của ;
S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng AO Biết rằng SOa và SAB là tam giác vuông Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC đến mặt phẳng SCO
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn , 2 2
( ) :C x y 2 x
Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của ( )C trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A là H(2;0) Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác ABCbiết B có tung độ dương và 2
3
ABC
S
Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình
1 ( 1) 1
Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực dương a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện , , a2b2c2 14 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
( )
T
T H H Ử S S Ứ Ứ C T T R R Ư Ư Ớ Ớ C K K Ỳ T T H H I I
(Đã được đăng báo Toán Học và Tuổi trẻ số 448, đề Số 1, năm 2014)
TRẦN QUỐC LUẬT
(GV THPT chuyên Hà Tỉnh)
www.laisac.page.tl
Trang 2
Câu 2 Điều kiện cos cos 0
2
x
x Khi đó phương trình đã cho tương đương với cos 2 sin
2 sin 1 cos 2 sin 2 cos sin cos cos
2
x k
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm 2 ; 2 ; 5 2 ,
Câu 3 Ta có
3
0
2
1 3 (1 ) (1 1 ) lim
2 ( 1)(1 1 ) ( 1)( 1 3 (1 ) 1 3 (1 ) )
x
x
x x
x
Câu 4 a) Gọi số cặp vợ chồng là n n ( 2) Ta có số lượng cái bắt tay là C22n n 2 (n n1)
(do mỗi cách chọn 2 người trong 2n người thì ta có 1 cặp bắt tay và mỗi người không bắt tay vợ/ chồng mình) Ta có 2 (n n1)40n5
b) Ta có
5 11 2 0
n k n
k n k k n
k
Theo bài ra 2C n1( 1) n14C n2( 1) n2 2 n Do 2n 0
và 2 1
4C n 2C n nên n chẵn Khi đó *
2 ( )
n k k Thay vào được ( 1) 2 4
2
k
Suy ra
k n Hệ số của số hạng thứ 4 cần tìm là 32
Câu 5 Ta có C(0;0; )c với c 0 Do BCCA AB nên c2 9 18c (do 3 c 0) Gọi
G là tâm của tam giác đều ABC ta có G(1;1;1) Phương trình đường thẳng đi qua G và vuông góc với mặt phẳng ABC là 1 1 1
Do S ABC ta hình chóp đều nên
điểm S suy ra ( ; ; )., S s s s Ta có 1 ( ) 9 2 3 3 1
có 2 điểm S thỏa mãn là S(3;3;3); ( 1; 1; 1).S
Câu 6 Ta có 0SB2SA2 HB2HA2 AB2 nên tam giác SAB vuông tại S Đặt
HAHOx ta có OB2 x Theo Định lý cos ta có BH x 7;BC2x 3 Áp dụng Định
lý Pitago cho tam giác SAB ta có 2 2 2 2 2 2 7 2 12 2
3
a
SA SB AB a a x x x x
Khi đó . 1 2 3.4 2 2 3
S ABC
V a a a Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC
thì I là trung điểm của AC (do tam giác SAC vuông tại S) Do HI OC (tính chất đường trung bình) nên d( ;(I SCO)) d( ;(I SCO)) HL trong đó K L lần lượt là hình chiếu của , H trên các
đường thẳng CO và SK Ta có ( ;( ))
Câu 1 a) Bạn đọc tự giải
b) Ta có d y: x m với m 2 và I ( 1;1) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )H và
1
x
x
Ta có m2 8 0; nên m ( )H và d luôn cắt nhau tại 2 điểm A B với , A x( ;1 x1m);
B x x m trong đó x x là 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn 1, 2 x1x2 m2;
x x m Điều kiện để tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 là
| |
2
m
d I d AB x x m m m (do m 2.)
Trang 3
Câu 7 Do tam giác ABC vuông tại A có H thuộc ( )C và CA là tiếp tuyến của ( )C nên
( )
B C Ta có 2 2
3
ABC S AC
AB
2
BA BH
AB AC
Giả sử B a b với ( ; ) b 0
Khi đó
Vậy 1; 3
2 2
B
Câu 8 Điều kiện y1;x3x2 1 0 Ta có phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3 3
3
1 0
x
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành
3
1
1
(do 0)
0
1 1
x x x
x x
Đáp số: ( ; )x y (0;1); ( ; )x y (1; 2)
Câu 9 Ta có
a bc a a b c a a b c a b c a b c
Do vậy
2
2 2
5
a
a b c
a
Khi a3;b2;c thì 1 8
15
Vậy giá trị lớn nhất của là 8
15
www.laisac.page.tl