TUYỂN CHỌN CÁC BÀI HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số đã cho... a Khảo sát sự bi

Câu 1 [Trích đề thi thử chuyên - ĐHSP 2014 – Lần VII]:

Cho hàm số: 2 1

1

x y x

+

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam

giác cân

Đ/s: M1(1+ 3; 2+ 3 ,) (M2 1− 3, 2− 3)

Lời giải:

b) Gọi 2 1 ( )

1

+

≠

−

a

a Ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: ( )2 ( ) ( )

1 1

−

−

a

a a

Khi đó: 1 1;2 4

1

a

a

+

= ∩ = ⇒  

−

  Toạ độ điểm B= ∩ =d y 2⇒B(2a−1; 2)

Ta có: I( )1; 2 là tâm đối xứng Giả thiết 6 2 1 1 3

1

a

⇔ = ⇔ = − ⇔ = ±

Đ/s: M1(1+ 3; 2+ 3 ,) (M2 1− 3, 2− 3)là các điểm cần tìm

Câu 2 [Trích đề thi thử THPT Lương Thế Vinh 2015]:

Cho hàm số 4 ( ) 2

y=x + m− x + −m (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Đ/s: 2− < <m 2,m≠1

Lời giải:

b) Phương trình hoành độ giao điểm là: 4 ( ) 2 ( 2 )( 2 ) ( )

x + m− x + − = ⇔m x − x + − =m

( )

2

2

1

2 2

x

⇔

= −

 Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔( )2 có 4 nghiệm phân

biệt 2 0 1 2

m

m m

− >



⇔ ⇔ ≠ <

− ≠

 Khi đó PT ( )1 có 4 nghiệm 1

2

x

= ±





= ± −

Ta có: ± 2− < ⇔m 2 2− < ⇔ > −m 2 m 2

Kết hợp ĐK ta có: 2− < <m 2,m≠1 là giá trị cần tìm

Câu 3 [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN 2014]:

Cho hàm số 3 2 ( )

y= −x mx − m+ x+ (1), với m là tham số thực

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

b) Cho M(2014; 2011 − ) Tìm m để đường thẳng y= − +x 2 cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A( )0; 2 , , CB sao cho diện tích tam giác MBC bằng 2 5

Đ/s: m= −6,m=3

Lời giải:

b) Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 ( )

x − mx − m+ x+ = − +x

2

0 0; 2

2 3 2 0

= ⇒



⇔ − − + = ⇔

= − − − =



Để đồ thị của hàm số (1) cắt d tại 3 điểm phân ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2

*

0 2 3 0

∆ = + + >



⇔

= + ≠

Khi đó gọi B x( 1;− +x1 2 ;) (C x2;− +x2 2) ta có: 1 2

2 2

2

2 3

+ =





= +

MBC

1 2 1 2

6

4 80 4 4 2 3 80

3

m

m

= −



=



Đ/s: m= −6,m=3

Câu 4 [Trích đề thi thử chuyên ĐH Vinh 2014 – Lần I]:

Cho hàm số 2 3

1

x y

x

−

=

− ( )H

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )H của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng d x: +3y+ =m 0 cắt H tại hai điểm M N, sao cho tam giác AMN vuông tại

( )1; 0

Đ/s: m= −6

Lời giải:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )C là : 2 3

x

− = − −

−

1

x

≠



⇔

= + + − − =



+) Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N ⇔PT g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 1

( )

2

4 61 0

1 3 0

m R g



= − ≠



+) Khi đó gọi 1; 1 , 2; 2

A x − −  B x − − 

    là các giao điểm

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

1 2

5 9

x x m

+ = − −





= − −

Ta có tam giác AMNvuông tại A ⇔






AM AN =0

⇔ x − x − + x m x m = ⇔ x x − − + +x x x x m x x m =

⇔ + − + + + = ⇔ − + − − + + + = ⇔ = −

Đáp số: Vậy m= −6 là giá trị cần tìm

Câu 5 [Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2014 – Lần II]:

Cho hàm số 2 1

1

x y

x

+

=

− có đồ thị (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (1)

Đ/s: ( )0; 2 , (0; 1).−

Lời giải:

b) Gọi E( )0;b là điểm thuộc trục tung, phương trình đường thẳng qua E là: y= +kx b d( )

Để d tiếp xúc với (1)

2 2

2 1

1

x

kx b

b

k x

+



= +



−

2 2

2 2 1 1

b

x

+ −

⇔ =

−

1

*

x

≠



⇔

= − + + − − =



Để kẻ được đúng 1 tiếp tuyến thì (*) có đúng 1 nghiệm

TH1: 1 ( ) ( )

2

b= ⇒x= tm ⇒E

b≠ ∆ = +b + +b − = ⇔b + = ⇔ = −b b ⇒E −

2; ' 3 1 0 2; 1

3 0

1 0

loai g

≠ ∆ = + >



⇔

=



Vậy E( ) (0; 2 ;E 0; 1− ) là các điểm cần tìm

Câu 6 [Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2014 – Lần II]:

Cho hàm số y=x4−2mx2 +2m+m4 , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

Đ/s: m=1

Lời giải:

Tập xác định D=R

Ta có y'=4x3−4mx y; '= ⇔ =0 x 0; x2 =m

Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ =y' 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ >m 0

Khi m>0 đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại ( 4 )

0; 2

A m + m và 2 điểm cực tiểu

B − m m −m + m C m m −m + m

ABC

∆ là tam giác cân tại A; A∈Ox , B,C đối xứng nhau qua Ox Gọi H là trung điểm của BC

2

ABC

ABC

= ⇒ = ⇔ =

Vậy m=1

Câu 7 [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN 2014 – Khối B]:

Cho hàm số 4 2

8 7

y=x − x +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để phương trình x4+4x3−2x2−12x m− + =1 0 có 4 nghiệm phân biệt

Đ/s: 8− < <m 8

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với ( )4 ( )2

x+ − x+ + = −m

Từ đồ thị của hàm số câu a, suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ − < − < ⇔ − < <9 m 1 7 8 m 8

Câu 8 [Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐH Vinh 2014 – Lần III]:

Cho hàm số 1 4 ( ) 2

4

y= x − m+ x + m+ có đồ thị ( )C m , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Cho 0;5

2

I 

  Tìm m để ( )C m có điểm cực đại là A , hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác

ABIC là hình thoi

2

m=

Lời giải:

Ta có 3 ( )

'= −2 +1 ,∀ ∈

( )C m có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu ⇔ y'=0 có 3 nghiệm phân biệt⇔2(m+ > ⇔ > −1) 0 m 1

Khi đó 3 nghiệm phân biệt của 'y =0 là x=0;x= − 2(m+1 ;) x= 2(m+1)

Điểm cực đại của ( )C m là A(0; 2m+1) và 2 điểm cực tiểu là ( ( ) 2) ( ( ) 2)

Nhận thấy AI ⊥BC tại ( 2)

0;

H −m và H là TĐ của BC Do đó, tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi

H là trung điểm của AI Hay là 2 2 2 2 1 5 1; 3

= +



⇔ − = + − ⇔ = = −



= +



Đối chiếu với điều kiện ta thấy 1

2

m= là thỏa mãn

Câu 9 [Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐHSP 2014 – Lần V]:

Cho hàm số 2 1

1

x y

x

+

= + ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b) Tìm hệ số góc k của đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 2) sao cho d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,

A B Gọi k k là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị A, B ( )C tại A và B Tìm các giá trị của k để

1

A

B

k

k

+ đạt giá trị nhỏ nhất

Đ/s: k = −1

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d là y=k x( + +1) 2

Để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt thì PT hoành độ giao điểm 2 1 2

1

+ = + + +

x

kx k

x có 2 nghiệm phân biệt

2

kx kx k

⇔ + + + = có 2 nghiệm khác -1

' 2

0, 2 1 0

0

1 0

k

k k k

≠ − + + ≠



∆ = − + >



Ta có :

'

2

1 1

y

x

=

+ ( )2 ( )2

;

+ + (x x là nghiệm của PT A; B kx2 +2kx+ + =k 1 0)

2 2

1 1

+ và x x thỏa mãn A; B ( )2

k x+ = −

( )

⇒ + = − − = − + − ≥ − − =

Đẳng thức xảy ra khi k= −1

Câu 10 [Trích đề thi thử THPT CAN LỘC 2014]:

Cho hàm số y= −x3 3x2+2 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại M cắt đồ thị ( )C tại điểm thứ

hai N ( khác M ) thỏa mãn P=5x M2 +x2N đạt giá trị nhỏ nhất

Đ/s: 2 26;

3 27

Lời giải:

Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số có tọa độ ( 3 2 )

M a a − a +

Khi đó phương trình tiếp tuyển tại M có dạng ( 2 ) ( ) 3 2

y= a − a x a− + −a a +

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến là:

x − x + = a − a x− + −a a a + ( ) (2 )

2 3 0

2 3

x a

=



⇔ − + − = ⇔

= − +



Để ( )C cắt tiếp tuyến tại N khác M thì a≠ − + ⇔ ≠2a 3 a 1

Khi đó: x M =a x; N = − +2a 3

P= a + − +a = a − a+ = a− + ≥5

Dấu bằng xảy ra khi 2

3

a= Đối chiếu ĐK, ta được 2

3

a= 2 26;

3 27

Câu 11 [Trích đề thi thử THPT LƯƠNG THẾ VINH 2014]:

Cho hàm số 3 2 ( 2 ) 3

y= −x mx + m − x−m + m (1), với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị ,A B đồng thời trung điểm I của AB luôn chạy trên một đường thẳng cố định

Lời giải:

b) TXĐ: ℝ Có 2 ( 2 )

' 3 6 3 1

y = x − mx+ m −

1

x m

x m

= +



= ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

= −



Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B ⇔ y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ + ≠ − ⇔ ∈m 1 m 1 m ℝ

⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B với m∈ℝ

Do vai trò của A và B là như nhau nên ta có thể giả sử 1

1

A B

= +





= −



3 3

3

3 5

1; 2 2

A B

− +



= − − − − + = +



Bài ra I là trung điểm của AB 1 1 2 2 2 2 ( )

I + + − − + +  I m m y x

I

⇒ luôn chạy trên một đường thẳng cố định đó là y=2 x

Đ/s: I luôn chạy trên đường thẳng y=2x

Câu 12 [Trích đề thi thử THPT Chuyên HẠ LONG 2014]:

Cho hàm số ( ) 3

y= f x = − +x mx− với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1

b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình ( ) 3

1

≤ −

f x

x đúng với mọi x≥1.

Lời giải:

b) Với x≥1 bất phương trình đã cho

6 3

3

+ −

⇔ − + − ≤ − ⇔ − + ≥ ⇔ ≥

Xét hàm số ( ) 6 43

3 1 3

g x

x

+ −

= với x∈ +∞[1; ) có

6 3

− + +

− +

Kết hợp với g x( ) liên tục trên [1;+∞)⇒g x( ) đồng biến trên [1;+∞)

[ 1; )

+∞

⇒ ≥ = ⇒ = Dấu " "= xảy ra ⇔ =x 1

Khi đó yêu cầu bài toán ( )

[ 1; )

2

3

+∞

3

m≤

Câu 13 [Trích đề thi thử THPT Chuyên NGUYỄN HUỆ 2014 – Lần III]:

Cho hàm số 2 1

1

x y

x

+

= + ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b) Tìm trên đồ thị ( )C hai điểm A B sao cho đường thẳng AB đi qua , I( )1;1 và trọng tâm tam giác

ABO thuộc đường thẳng d: 2x+9y− =12 0

Lời giải:

b) TXĐ: ℝ\{ }−1 Gọi m là hệ số góc của đường thẳng AB Kết hợp với AB qua I( )1;1

⇒ phương trình AB y: =m x( − + ⇔ =1) 1 y mx− +m 1

Hoành độ giao điểm của AB và ( )C là nghiệm của phương trình

( )

2 2

1 1

2 1 1

0 1

x x

x

mx m

mx x m

≠ −



− − =

Ta có AB và ( )C cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B cùng với O lập thành OAB∆

⇔(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác 1−

2

2

0

1 4 0

0 0 0 0

m

m

m

≠





∆ = + >



− − ≠



 + − ≠



(*)

Gọi A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) (x x1; 2 ≠ −1)⇒x x1; 2 là hai nghiệm của (1) Theo Viet có 1 2

1 2

1 1

x x

m

x x



+ =







(2)

1 1

1 1

1

A x mx m

y mx m

A AB

− +



= − +

Gọi G là trọng tâm của 1 2 ( 1 2) 2 2

x x

  Kết hợp với (2)

1 1 2 2 1 3 2

1 3 2 : 2 9 12 0 2 9 12 0

m

m

−

2 9 3 2 36 0 18 9 2 0

6

⇔ + − − = ⇔ + − = ⇔ = hoặc 2

3

m= − Đều thỏa mãn (*)

8 10

3 10

0

3 10

6





= ⇒ − − = ⇔





3 10; , 3 10;

3 10; , 3 10;

⇒ 





2

1 4 2;3 , ;

2 3

2;3 , ;

2 3

−

= − ⇒ =

−



Đ/s:

1 4 2;3 , ;

2 3

1 4 2;3 , ;

2 3





−



hoặc

3 10; , 3 10;

3 10; , 3 10;







Câu 14 [Trích đề thi thử THPT Chuyên QUỐC HỌC HUẾ 2014 – Lần I]:

Cho hàm số y= − +x3 3x 2 ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b) Gọi d là đường thẳng qua A( )2; 4 và có hệ số góc là k Tìm k để d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt , ,

A B C sao cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ)

Đ/s: k =1 hoặc 1

3

k =

Lời giải:

Cách 1 Bài ra d qua A( )2; 4 và có hệ số góc k ⇒d y: =k x( − + ⇔ = −2) 4 y kx 2k+4.

Hoành độ giao điểm của d và ( )C là nghiệm của phương trình x3−3x+ = −2 kx 2k+4

2

2

1 1

x

=



⇔ − − − − = ⇔ − + + − = ⇔

+ =



Với x=2⇒ y=4⇒A( )2; 4 ứng với đề bài đã cho Khi đó d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt A, B, C

( )1

⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 2

9

2 1

k k

>



≠ + ≠ 

 (*) Khi đó ( )1 1

1

 = − +

⇔

= − −



Hoành độ của B, C chính là nghiệm của (1)

Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử 1

1

B C

 = − +





= − −



,

3 4

C C

B C d

 = − + − +  = − +  − + − +

= − − +



= − − − − +



Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC⇔ ∉ ⇔ ≠O d 0 k.0 2− k+ ⇔ ≠4 k 2 (**)

Khi đó ∆OBC cân tại O ⇔OB=OC Kết hợp với (2) ta được

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

1 k k k 3k 4 1 k k k 3k 4

− + + − + = − − + − − +

2 k 2k k 4 3k 2 k 2k k 4 3k 12k k 16k k 4 k 0

0 1

3 1

k

k

=









 =



Kết hợp với (*) và (**) ta được k =1 hoặc 1

3

k= thỏa mãn

Đ/s: k =1 hoặc 1

3

k =

Cách 2 Bài ra d qua A( )2; 4 và có hệ số góc k ⇒d y: =k x( − + ⇔ = −2) 4 y kx 2k+4

Hoành độ giao điểm của d và ( )C là nghiệm của phương trình x3−3x+ = −2 kx 2k+4

2

2

1 1

x

=



⇔ − − − − = ⇔ − + + − = ⇔

+ =



Với x=2⇒ y=4⇒A( )2; 4 ứng với đề bài đã cho Khi đó d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt A, B, C

( )1

⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 2

9

2 1

k k

>



≠ + ≠ 

 (*) Khi đó ( )1 1

1

 = − +

⇔

= − −



Hoành độ của B, C chính là nghiệm của (1)

Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử 1

1

B C

 = − +





= − −



,

3 4

C C

B C d

 = − + − +  = − +  − + − +

= − − +

(2 ; 2 )

⇒


= Gọi M là trung điểm của BC ⇒M(−1; 4 3− k)⇒OM



= −( 1; 4 3− k)

Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC⇔ ∉ ⇔ ≠O d 0 k.0 2− k+ ⇔ ≠4 k 2 (**)

Khi đó ∆OBC cân tại O ⇔OM ⊥BC⇔OM CB






 = ⇔ −0 2 k +2k k(4 3− k)=0

0 1

3 1

k

k

=







⇔ − + − = ⇔ =



 =



Kết hợp với (*) và (**) ta được k=1 hoặc 1

3

k= thỏa mãn

Đ/s: k =1 hoặc 1

3

k =

Cách 3 Tổng quát – dùng hệ thức Viet để giải

Bài ra d là đường thẳng qua A( )2; 4 và có hệ số góc k ⇒d y: =k x( − + ⇔ = −2) 4 y kx 2k+4

Hoành độ giao điểm của d và ( )C là nghiệm của phương trình x3−3x+ = −2 kx 2k+4

2

2

2 1 0 1

x

=



⇔ − − − − = ⇔ − + + − = ⇔

+ + − =



Với x=2⇒ y=4⇒A( )2; 4 ứng với đề bài đã cho Khi đó d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt A, B, C

( )1

⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 1 1 0 0

9

k k

∑= + − > >

≠ + + − ≠ 

Gọi B x y( 1; 1) (, C x y2; 2) (x x1; 2 ≠2)⇒x x1; 2 là hai nghiệm của (1) TheoVi-et có 1 2

1 2

2 1

x x

+ = −





= −

 (2)

1 1

2 1 2 1

2 4

B x kx k

y kx k

− +



= − +



Gọi M là trung điểm của BC 1 2 ( 1 2) 4 8

x x

2

k k



Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC⇔ ∉ ⇔ ≠O d 0 k.0 2− k+ ⇔ ≠4 k 2 (**)

Khi đó OBC∆ cân tại O ⇔OM ⊥BC⇔OM CB






 = ⇔ −0 (x2−x1) (+k x2−x1)(4 3− k)=0 (3)

Do B, C phân biệt ⇒x1 ≠x2 nên ( )3 1 (4 3 ) 0 11

3

k

k

=





⇔ − + − = ⇔ 

=



đều thỏa mãn (*) và (**)

Đ/s: k =1 hoặc 1

3

k =

Câu 15 [Trích đề thi thử THPT TĨNH GIA 2014 – Lần II]:

Cho hàm số 2 1

1

x y

x

+

=

− (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng ( )d m :y=mx m− +1 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Đ/s: m>0

Lời giải:

b) TXĐ: ℝ\ 1 { } Hoành độ giao điểm của ( )d m và ( )C là nghiệm của phương trình

2 2

1 1

2 1 1

2 1 2 0 1

x x

x

mx m

≠



− + + − =

Ta có ( )d m và ( )C cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

2 2

2

0

m

m

≠

⇔ ∆ = + + − > ⇔ ⇔ ⇔ ≠

− + >

− + >





Khi đó theo Viet có

1 2

1 2

2

1

m

x x

m

x x

+



+ = = +





−



Yêu cầu bài toán ⇔(1) có hai nghiệm phân biệt x x khác 1 thỏa mãn 1; 2 (x1−1)(x2− <1) 0

1 2 1 2

0

m

≠

− + + < − − − + < − < >

Đ/s: m>0