Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính theo a thể tích của khối chóp A'.. KIH và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HKBI.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HA NOI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 3 NĂM 2014
Môn thi: TOÁN – KHỐI A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số ( )
1
1
2
C x
x
y
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y 3 x m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB nằm trên đồ thị (C) (với O là gốc tọa độ)
Câu 2(1,0 điểm) Giải phương trình 4 cos3 x 2 sin x (cos x 1 ) 4 cos x 1 0
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 ) 3 ( 1 4
) 1 4 )(
1 2 ( 3 4 8
2 2
3
2 2
x x
y x
y x
x
y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân dx
x
x x
4
4 sin
2 2
cos sin
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C'có đáy ABC là tam giác cân tại B, BABCa,
0
120
ABC Đường thẳng BC' tạo với đáy ABC một góc 60 0 Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm của C
A
BC ' , vàAB Tính theo a thể tích của khối chóp A' KIH và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
HKBI
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x,y,zlà các số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 3
1 6
3
1 6
3
1
2 5 2
5 2
5
zx z z yz
y y xy
x x P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm của AC và BD
2
3
;
2
9
(
tan
3
ABD , đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M ( 1 ; 0 ), đường thẳng chứa cạnh AD
đi qua điểm N ( 1 ; 4 ) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh A có hoành độ dương
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
6 4
2 2
3 :x y z
0 3 2
:
)
( P x y z và điểm A ( 1 ; 0 ; 2 ) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt d tại M và cắt (P) tại N sao cho NM 3 AM
Câu 9.a (1,0 điểm ) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 Chọn ngẫu
nhiên một phần tử của X Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là một số chẵn
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x2 y2 2 x 2 y 7 0có tâm I
và điểm K ( 2 ; 2 ) Viết phương trình của đường tròn (C ' )tâm K sao cho (C ' )cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A và B thỏa mãn AIB 1200
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 ; y t ; z 3 2 t(t), điểm
)
0
;
1
;
1
(
A và mặt phẳng ( P ) : x 2 y 2 z 4 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d tại điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng MA
Câu 9.b(1,0 điểm) Cho hàm số
x
mx x
y
1
1
2
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 3(với O là gốc tọa độ)
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ LẦN 3
Môn: TOÁN – Khối A, A1
1 Cho hàm số… (2,0 điểm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (1,0 điểm)
TXĐ: D R \ 1
CBT: Giới hạn, tiệm cận: Tìm đúng TCN y 2, TCĐ x1
) 1 (
3
x
y , hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng XĐ BBT lập đúng
Vẽ đồ thị đúng
0,5
0,25
0,25
2 Tìm m (1,0 điểm)
Pt hoành độ giao điểm của (C) và d
x
x
3 1
1 2
0 1 )
1 ( 3 ) (
1
2
m x m x x g x
D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
1
11 0
) 1 (
0
m
m
G là trọng tâm tam giác OAB ta có OG OI
3
2
với I là trung điểm của AB
Áp dung định lý vi-et tìm được )
3
1
; 9
1 (m m
G
2
13 5 15 0
25 15 )
0,5
0,25 0,25
2 Giải pt 4 cos3 2 sin (cos 1 ) 4 cos 1 0
Biến đổi pt 4 cos x ( 1 sin2 x ) 2 sin x cos x 2 sin x 4 cos x 1 0
0 1 sin 2 cos sin 2 cos sin
x x x x x (sin 2 x 1 )( 2 sin x 1 ) 0
k x
4 1
2
2 6 7
2 6 2
1
k x
k x
0,5
0,5
Trang 3Kết luận…
3
Giải phương trình
8 4 3 (2 1)(4 1) (1)
4 1 ( 3) 3 (2)
(1,0 điểm)
ĐKXĐ x1 Pt (1) 2(4 y 2 1) 2(2 x 1) 3 (2 x 1)(4 y2 1)(1’)
Đặt a 4 y2 1 0 ; b 2 x 1 0 pt (1’) trở thành 2 a 2 2 b2 3 ab
0 2 0
) 2 )(
2
Với a 2 b ta có 4 y 2 1 2 2 x 1 4 y 2 8 x 3 (*)
thế (*) vào pt (2) ta được x3 x2 2 x 9 x 1 0 (3)
Xét hàm số f (x)x3 x2 2x9 x1liên tục trên miền J ; 1 và có
0 ) 2
(
f Mặt khác
1 0 1 2
1 2 )
1 (
2 1 2
1 2 2 3 ) (
x x
x x x
x x x f
Suy ra f (x ) luôn đồng biến trên J x2 là nghiệm duy nhất của pt (3)
Với x2 từ (*) ta có
2
19
y
Hệ pt có hai nghiệm 19 19
2; , 2;
0,5
0,5
4 Tính tích phân (1,0 điểm)
Ta có
2
2
) cos (sin
4 2 sin 3 2 2 cos 1 2 4 sin
2
x x
x x
4
0
2
) cos (sin
4
cos sin
Đặt t sin x cosx ta được
2 2
1 4
dt I
t
2
1
1 2 1 3 2 2
t
I
t
0,5
0,5
5 Cho lăng trụ (1,0 điểm)
Từ giả thiết C ' BC 600
16 2
3 8
3 3
1 )) ( , ( 3
.
'
a a
a ABC
H d S V
V
V A KIH C KHI H CIK CIK
Gọi E là trung điểm của AC Chứng minh được HE ( ABC ) và
HE EI
EB
EK là trục của tam giác KBI Gọi P là trung điểm của HK
0,5
Trang 4Trong mặt phẳng (HEK) đường trung trực của HK cắt HE tại O, suy ra O là tâm mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện HKBI Các tam giác HPO và HEK đồng dạng nên có
3 2
2 2
2 2 2
a HE
KE HE HE
HK HO HE
HK HE
HP HK
HO
Vậy
3
a OH
0,5
6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (1,0 điểm)
Ta có 5 2 6 ( 3 3 ) ( 1 )2( 3 2 2 3 3 ) 0 0
x
x
) 1 (
3
1 3
6
1
2
x xy xy
x x
Từ đó lập luận tương tự ta có
) 1 (
3
1 )
1 (
3
1 )
1 (
3
1
z zx y
yz x
xy
Dấu “ = ” trong (1) xảy ra khi x y z 1 Áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki
ta có
) ) 1 (
3
1 )
1 (
3
1 )
1 (
3
1 )(
1 1 1 (
2
z zx y
yz x
xy P
Hay
1
1 1
1 1
1
2
z zx y
yz x
xy
Do xyz 1nên
Vậy maxP = 1 khi x = y = z =1
0,5
0,5 7.a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD… (1,0 điểm)
Goi vtpt của AB là n ( b a; )(a2 b2 0) pt AB:ax by a 0
ADAB và AD qua N nên có pt bx ay 4 a b 0
Giả thiết
3
2 ) , (
) , ( 3
2
AD I d
AB I d AB
AD
b a b a b
a
b a a b b
a
a b a
11 5 2 3 7 3
4 2
3 2 9 3
2 2
3 2 9
2 2 2
* ab pt AB: x y 1 0 , pt AD: x y 3 0, tìm được A(2; 1)
Suy ra B(5; 4), C(7; 2), D(4; -1)
* 11 a 13b pt AB: 13 x 11 y 13 0, pt AD:11 x 13 y 63 0 tìm được
) 145
481
; 145
262 (
A trường hợp này không thỏa mãn
0,25
0,25
0,25
0,25
8.a Trong không gian tọa độ Oxyz… (1,0 điểm)
) 4
; 4 2
; 2 4 ( ,
) 6
; 4 2
; 2 3
M , giả sử N ( x ; y ; z ) ta có
) 6
; 4 2
; 2 3
NM , do NM 3 AM tìm được
) 2 6
; 8 4
; 4 9
N ,
0 3 2 6 8 4 ) 4 9 ( 2 )
N
) 11
; 24
; 19 ( 2
5
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AN có pt 1 2
:
18 24 13
0,5
0,5
Trang 59.a Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 6… (1,0 điểm)
Có 5 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn khác 0, số phần tử của tập hợp X là A96 60480
x là một phần tử của tập X, tổng các chữ số của xlà một số chẵn suy ra xcó chẵn
các chữ số lẻ, xảy ra các trường hợp sau
TH1: xcó 4 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn , có C54.C42.6!21600 số
TH1: xcó 2 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn , có 4.6! 7200
4 2
Có 21600 + 7200 = 28800 số thuộc tập hợp X có tổng các chữ số là số chẵn
Xác suất cần tìm
21
10 60480
28800
P
0,25
0,5 0,25 7.b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C)… (1,0 điểm)
(C) có tâm I(-1; 1) và R = 3, Đường tròn (C’) tâm K(2; -2) và R’ = a (a > 0)
(C) cắt (C’) khi và chỉ khi R R ' IK R R ' 3 a 18 3 a
3 18 3
Với điều kiện đó (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Tọa độ A và B
là nghiêm của hệ pt:
pt AB: 6 x 6 y 15 a2 0
2
2
2
6 2
a
kết hợp (*) ta có a 27 9 2 a 27 9 2
Pt của (C’): x2y24x4y19 9 2 0
0,25
0,25
0,25
0,25 8.b Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng… (1,0 điểm)
d t t
M ( 1 ; ; 3 2 ) , AM ( t 1 )2 ( 3 2 t )2 5 t2 10 t 10,
3 2 3
4 4 6 2 1 )) ( , ( M P t t t
gt d ( M , ( P )) AM 2 2 1 0 1 ( 1 ; 1 ; 5 )
) 5
; 0
; 0 (
AM , n P (1;2;2) ( )là mặt phẳng qua A, M và vuông góc với (P)
) ( nhận n AM n , P 5(2; 1; 0)
là vtpt
Pt mặt phẳng ( ): 2 x y 3 0
0,25 0,25 0,25 0,25 9.b
Tìm m để đồ thị hàm số có
x
mx x y
1
1
2
hai điểm cực trị (1,0 điểm)
TXĐ D R \ 1 ; 2
2
) 1 (
1 2
'
x
m x x
y hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ
x
Tính được AB 2 5 m, pt đt đi qua A và B: 2 x y m 0
5 5 ) ,
d
3 3
3 5 5 2 2
1 3 3 2
1 3
0,25 0,25
0,5