Tiểu Luận Lý Thuyết Tạo Hình Bề Mặt

Câu 1: Đường bao của họ đường cong; Độ dài của đường cong, cung cong nhưlà tham số của đường cong; tính độ cong; Xác định prôfin lưỡi cắt nằm trên mặt khởi thuỷ K của dụng cụ như là xác

Câu 1: Đường bao của họ đường cong; Độ dài của đường cong, cung cong như

là tham số của đường cong; tính độ cong; Xác định prôfin lưỡi cắt (nằm trên mặt khởi thuỷ K) của dụng cụ như là xác định đường bao của họ đường cong phẳng; các ví dụ ứng dụng; Phương pháp động học để xác định đường bao của

họ đường cong Ten xơ quay và các tính chất Một số ví dụ ứng dụng cho phương trình bề mặt cầu, gia công bề mặt khi phay.

1.1.Đường bao của họ đường cong:

Cho trước hàm số: x1  x1(t) ; x2  x2(t) ; x3  x3(t)

Thỏa mãn các giả thiết sau : (l) là các hàm số thực của biến số thực xác định trên miền mở chung J

Tại tất cả các điểm của miền J thì tất cả các hàm số (l) liên tục

Tại tất cả các điểm của miền J đảm bảo

2 1













dt

dx

+

2 2













dt

dx

+

2 3













dt

dx  0

Trong không gian ơcờlít hàm số có hai điểm khác nhau : [x1(t1), x2(t1), x3(t

1) ], [x1(t2), x2 (t2 ), x3(t2 ) ] thay thế cho hai điểm khác nhau t1 và t2 của miền chung

Nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện đó thì quỹ tích của tất cả các điểm P(t), E3

mà tọa độ của chúng x1(t), x2 (t), x3(t)

1.2 Độ dài của đường cong, cung cong như là tham số của đường cong.

Giả sử phương trình véctơ P = P(t), t  J là đường cong hợp thức cho trước Nếu t0 là số chọn cố định bất kỳ trong miền J Ta xác định:

dt

dx dt

dx dt

dx







































0

2 3

2 2

2

S(t) được xác định trong tòan bộ miền J gọi chung là cung của đường cong k Ta

ký hiệu P(t0) và P(t) là các điểm trên đường cong k của hai thông số t0, t Nếu ta ký hiệu:

dt

dx

1 

dt

dx

x' 2

2 

dt

dx

x' 3

3  hay

dt

P d P







Thì ta có thể viết: S(t) = x x x dt

t

t

0

2 3

2 2

2

1 (a) hay S(t) = t  

t P P

0

dt (b)

Đạo hàm (a), (b) ta có : S(t) =   

t

t

x x x

0

2 3

2 2

2

1 ' '

'

'.P

P

Từ s s(t) ta có thể tính t t(s) và có thể viết P P(t) P[t(s)] P(s) (*) Phương trình (*) là phương trình đường cong có tham số là cung cong

1.3 Tính độ cong.

Độ cong thứ nhất: ' " "

1k  P  P. P

3 ' 2 ' 2 1

) ( ) ( )

"











P P P P k

2 2

2

2 1

) ' '

' (

'

' '

' '

' '

' '

' '

'

z y

x

y

y x

x z

z x

x z

z y

y k











Nếu đường cong nằm trong mặt phẳng thì z0 do đó:  1k 2  2 2 3

2

) ' ' (

) '

".

"

'.

(

y x

y x y x





Độ cong thứ hai:  

2 1 2

) (

, , '' '' '

k

P P P

















;  

 k n

b' 2

Tam giác frenet:  

k n

t' 1

 

t k

n' 1 2kb

 

 k n

b' 2

1.4 Xác định prôfin lưỡi cắt (nằm trên mặt khởi thuỷ K) của dụng cụ như là xác định đường bao của họ đường cong phẳng:

Họ đường cong có dạng: F (x,y,C)= 0

C- tham số của họ Phương trình của đường bao của họ được xác định bởi các phương trình sau:

F(x, y, C)= 0

0 ) , , (



F x y C

Ví dụ1: Tìm đường cong của họ đường cong phẳng cho bởi phương trình:

y2- (x + c)3 = 0 Giải: Phương trình đường bao của họ được xác định khi giải đồng thời hai phương trình:

y2- (x + c)3 = 0

2 ) (

3 x c C

F











Được giá trị x = -c

Thay giá trị x = -c vào phương trình họ ta được phương trình đường bao: y2 = 0 hay y = 0

Vậy trục Ox là đường bao của họ đường cong cho trên ( hình 2.6)

Ví dụ 2:

Tìm đường bao của họ đường cong cho bởi phương trình: y3 - (x – c )2 =0 Giải: Phương trình của đường bao của họ được xác định khi giải đồng thời hai phương trình:

y2- (x + c)3 = 0

  2 (  )  0





c x C

F

Được giá trị x = c

Thay giá trị x = c vào phương trình họ sẽ được phương trình đường bao: y2 = 0 hay y = 0

Hình 2.6 Đường bao của hệ phương trình ở ví dụ 1.

Đường bao là trục Ox ( hình 2.7).

Ví dụ 3: Cho phương trình họ đường cong prôfin chi tiết ( cạnh bên trục then hoa) khi thiết kế dao phay lăn trục then hoa như phương trình (2.4):

Y= x.cotg(φ+γ) + r [1- cosφ + sinφ Cotg (φ+γ) – φ Cotg(φ+γ)]) + r [1- cosφ + sinφ Cotg (φ+γ) + r [1- cosφ + sinφ Cotg (φ+γ) – φ Cotg(φ+γ)]) – φ Cotg(φ+γ) + r [1- cosφ + sinφ Cotg (φ+γ) – φ Cotg(φ+γ)])]

Hãy xác định đường bao

Giải:

Để xác định đường bao của họ phương trình (2.4) cần xác định đạo hàm của họ với tham số φ:

) ( sin )

( sin

) cos(

sin )

( sin

) , ,

(

2 2























































C

C y x

F

Sau khi biến đổi và rút gọn nhận được:

x= r{  sin(    )  sin  cos(    ) (2.8)

Giải cùng với phương trình họ nhận được tọa độ y:

y= r sin(    )sin(    )  sin  (2.9) Phương trình (2.8) và (2.9) là phương trình thông số của đường bao của họ phương trình(2.4)

Phương trình prôfin lưỡi cắt nằm trên mặt khởi thủy K của dụng cụ

• Họ đường cong cho ở dạng phương trình thông số:

x= f1(t.c) (2.10)

y= f1(t.c) Trong đó: t- thông số đường cong

Hình 2.7 Đường bao của hệ phương trình ở ví dụ 2.

c- tham số của họ.

Phương trình đường bao được xác định theo các phương trình sau:

x= f1(t.c) (2.11) y= f1(t.c)

c

f c f

t

f t

f

















2 1

2 1

.

.

= 0

Ví dụ 4: Xác định đường bao của họ đường cong cho bởi hệ phương trình sau:

X= cosα + t Y= sinα Trong đó: α – thông số của đường cong

t - tham số của họ

Giải: Để xác định phương trình đường bao của họ, cần xác định các đạo hàm riêng theo α và t:





x

= -sin ;





x

= 1;





y

= -cos ;





y

= 0

c

f c f

t

f t

f

















2 1

2 1

.

.

= cos sin

0

1

= 0

Cos  0 ;  0;   / 2 thay vào phương trình họ tìm được phương trình bao: x = t và y = +/- 1

Vậy đường bao của họ là hai đường thẳng y = +/- 1 song song với trục Ox ( hình 2.8)

Ví dụ 5: Xác định đường bao của họ đường cong phẳng cho hệ bởi phương trình sau:















sin

cos 2

R y

R R x

Trong đó: α – thông số của đường cong

R- tham số của họ

Giải: Để xác định đường bao, cần tính đạo hàm riêng của x và y theo α và R









x

-R.sin 







y

R.cos







R

x

2 + cos 





R

y

sin

Giải định thức: 2 R.cossin





sin

cos

R

= 0 R.sin2  -2R.cos - R cos2  = 0

R(1+2.cos ) = 0; cos 

2

t

; sin 

2

3

 thay vào phương trình của họ ta xác định được phương trình đường bao: y 

2

3

Đó là 2 đường thẳng có hệ số góc là

3

3

 ( hình 2.9)

Hình 2.9 Đường bao của hệ phương trình ở ví dụ 5.

Hình 2.8 Đường bao của hệ phương trình ở ví dụ 4.

1.5 Phương pháp động học để xác định đường bao của họ đường cong

+ Phương pháp động học xác định đường bao dựa vào nguyên lý cơ bản động học tiếp xúc của hai bề mặt đối tiếp

Tại điểm tiếp xúc của cặp prôfin đối tiếp ( hai đường cong phẳng đối tiếp) có tiếp tuyến chung và pháp tuyến chung Chuyển động tương đối tức thời của điểm tiếp xúc được coi như là chuyển động quay tức thời quanh tâm quay tức thời nằm trên pháp tuyến chung Véctơ chuyển động tương đối tức thời hướng theo phương tiếp tuyến chung Vì thế tại điểm tiếp xúc của cặp prôfin đối tiếp (điểm nằm trên đường bao) thì véctơ tốc độ chuyển động tương đối  

V phải vuông góc với véctơ pháp tuyến  

N của đường cong Do đó phương trình động học để xác định đường bao là:  

N  

V = 0 (2.12) Khảo sát khi gia công mặt trụ bằng dụng cụ có chuyển động quay tròn quanh trục song song với mặt trụ Hãy tìm bề mặt khởi thủy (đường bao của họ) prôfin chi tiết (hình2.10)

Theo sơ đồ trên hình 2.10, chi tiết quay quanh trục của nó với tốc độ 1





,

1

V (bán kính r1) Dụng cụ quay quanh trục của nó với tốc đôh

2







,

2

V

Hình 2.10 Phương pháp động học xác

định đường bao.

(bán kính r2 ) Cố định dụng cụ, chi tiết phải chuyển động tương đối quay quanh trục của nó với

1

V và quay quanh trục của dụng cụ với

2

V Xét tại các điểm bất kỳ trên bề mặt C:

Tại điểm 1 (hình 2.10) có tốc độ chuyển động tương đối 





V V1 +V2

không vuông góc với véctơ pháp tuyến  

N Tại điểm 2, véctơ tốc độ 





V V1 +V2 chuyển động tưong đối không vuông góc với véctơ pháp tuyến  

N Các điểm 1, 2 không thể nằm trên mặt thủy khởi K( mặt bao)

Tại điểm 3 và điểm 4, véctơ tốc độ chuyển động tương đối 





V V1 +V2

vuông góc với véctơ pháp tuyến với mặt C tại điểm 

N Vậy các điểm 3 và 4 trên hình (2.10) nằm trên mặt thủy khởi thủy K- đường bao của họ đường cong

C trong quá trình chuyển động

Nối các điểm 3-4 ta được đường bao của họ đường tròn khi quay quanh tâm O2

là đường tròn bán kính r2 = O1.O2 - r1

Phương trình động học đường bao N V = 0 có thể được phân tích như sau: Véctơ pháp tuyến của đường cong F(x,y) = 0 có thể được viết dưới dạng:



















x

F x

F

; = F x i+F y j (2.13) Véctơ tốc độ chuyển động tương đối V có thể được viết dưới dạng:



















t

y t

x

t

x



 i+

t

y





j (2.14)

Do đó N V = i

x

F

















j y

F

t

x

















 j t

y

= 0

N V = F x











t

x

y

F





t

t y x F t

y









(2.15) Phương trình (2.15) là phương trình điều kiện của đường bao, giải cùng với F(x, y, t) = 0 sẽ nhận được phương trình đường bao

Ví dụ: Bằng phương pháp động học hãy tìm đường bao của họ đường tròn khi chuyển động tịnh tiến dọc trục x

Giải: Giả sử đường tròn có bán kính bằng đơn vị (r=1) chuyển động với vận tốc

V song song với trục Ox Phương pháp của pháp tuyến N tại một điểm bất kỳ trên vòng tròn trùng với bán kính vòng tròn tại điểm đó Để tìm đường bao cần tìm điểm trên vòng tròn thỏa mãn điều kiện véctơ pháp tuyến N vuông góc với véctơ vận tốc V Điểm đó là điểm mà bán kính của nó vuông góc với phương của véctơ V , tức là vuông góc với trục Õ, tại đó giá trị y   1

Như vậy đường bao là hai đường thẳng song song với trục Ox và có tung độ là

1





y ( hình 2.11)

Câu 2.Bằng phương pháp giải tích, Anh/Chị hãy xây dựng phương pháp tạo

hình cặp động học trục then hoa- dao phay lăn trục then hoa và viết phương trình profin dao phay lăn trục then hoa Lập chương trình tính toán (bằng ngôn ngữ tùy chọn) và vẽ profin dao phay lăn trục then hoa.Dụng cụ và đường dụng

cụ trong gia công bề mặt 3D.

1.Xây dựng phương pháp tạo hình cặp động học trục then hoa- dao phay lăn trục then hoa bằng phương pháp giải tích và viết phương trình profin dao phay lăn trục then hoa

- Giả sử bề mặt chi tiết C trong hệ toạ độ 0oxoyozo gắn với chi tiết có phương trình:

F(xo , yo , zo ) = 0 (1)

- Hệ trục cố định Oxyz gắn với dụng cụ cắt hình 5

Có thể viết phương trình mặt bao họ đường cong chi tiết dưới dạng động học [3]:

F( , , , ) 0

0

x y z t

N V











 

Hình 2.11 Xác định đường bao của hệ đường tròn.

Hình 4 Điều kiện động học của Hình 5 Hệ tọa độ biểu thị mối quan

sự tiếp xúc cặp bề mặt đối tiếp hệ động học giữa dụng cụ và chi tiết Điều kiện N V . = 0 có nghĩa là tại điểm tiếp xúc của mặt bao và chi tiết, véc

tơ tốc độ Vcủa chuyển động tương đối khi có chuyển động tạo hình vuông góc với véc tơ pháp tuyến N với bề mặt tại điểm đó (hình 4) đấy là điểm của mặt bao

N V. f x y z t( , , , )

t







 

(3) t: Là tham số của phương trình

Phương trình của họ đường cong profin then hoa trong hệ toạ độ cố định là [4]:

1

y x cotg     r  cos  sin cotg     cotg     (4)

Để xác định đường bao của họ đường cong ấy, cần tìm đạo hàm riêng của phương trình họ đường cong profin then hoa theo thông số φ và cho bằng 0

ta có:

( , , )x y  0







 (5)

( , , ) sin cos( )

sin ( ) sin ( ) sin ( )

 

(6)

Sau khi biến đổi ta có:

— —

xr  sin    sin cos   

Giải phương trình này với phương trình họ đường cong ở trên ta có tung độ y

y r sin    sin    sin 

Như vậy, ta có hệ phương trình để xác định tọa độ x, y của profin dao phay như

— —

x r sin sin cos

y r sin sin sin







Đây là phương trình profin dao phay lăn trục then hoa

2 Lập chương trình tính toán (bằng ngôn ngữ tùy chọn) và vẽ profin dao phay lăn trục then hoa

a.Thiết kế sơ đồ thuật toán

Để thiết kế dao phay lăn trục then hoa, hiện nay người thiết kế phải chia biên dạng của then hoa ra làm nhiều phần, sau đó phải dùng cung tròn thay thế để xác định biên dạng gần đúng của profin lưỡi cắt của dao phay Điều này dẫn đến sai số biên dạng dao phay và then hoa gia công cho độ

chính xác không cao Việc tính toán, thiết kế profin dao phay bằng chương trình tính giúp việc thiết kế nhanh và chính xác, mặt khác profin được thiết

kế được dùng để sửa chính xác biên dạng đá mài, từ đó nâng cao được độ chính xác của dao phay lăn trục then hoa

Để thiết kế dao phay lăn trục then hoa, sử dụng ngôn ngữ lập trình Autolisp

Sơ đồ thuật toán tự động hóa thiết kế dao phay lăn trục then hoa được thiết kế ở hình 2

Z: Số rãnh then; Dc: Đường kính ngoài của trục then hoa; d: Đường kính trong trục then hoa; rt: Chiều rộng then; De: Đường kính ngoài dao phay; de: Đường kính trong dao phay; L: Chiều dài dao phay; Zd: Số răng dao phay

Hình 2 Sơ đồ thuật toán tự động thiết kế dao phay lăn trục then hoa

b.Thiết kế giao diện nhập dữ liệu

Chương trình tự động hóa thiết kế dao phay lăn trục then hoa phải đảm bảo dữ liệu đầu vào là các thông số kĩ thuật của chi tiết gia công Đối với trục tren hoa dữ liệu đó là: Đường kính ngoài của trục Dc, đường kính vòng

tròn chân then d, số then trên trục Z, bề rộng then rt Giao diện của chương trình được trình bày như ở hình 3

Hình 3 Giao diện của chương trình tự động hóa thiết kế dao phay lăn trục then hoa

c.Bản vẽ profin dao phay lăn trục then hoa

Sau khi sử dụng phần mềm autolisp ta có bản vẽ profin dao phay lăn trục then hoa được tự động hóa thiết kế trình bày ở hình 6

3 Dụng cụ và đường dụng cụ trong gia công bề mặt 3D.

Hình 6 Bản vẽ profin dao phay lăn trục then hoa

a.Dụng cụ

Phương pháp phay các bề mặt khuôn mẫu trên máy phay CNC là phương pháp phay bao hình, dụng cụ cắt là các dao phay ngón Do các bề mặt khuôn mẫu có hình dáng hình học rất đa dạng nên hình dáng hình học của các dao phay ngón được sử dụng cũng có các loại khác nhau để phù hợp với bề mặt cần gia công, đảm bảo lấy đi được nhiều lượng dư nhất, chất lượng bề mặt tốt nhất, năng suất cao nhất Hiện nay dụng cụ cắt được sử dụng trên máy phay CNC để gia công

bề mặt 3D thường sử dụng các dao : dao phay ngón đầu phẳng, dao phay ngón đầu phẳng có góc lượn, dao phay ngón đầu cầu, dao phay ngón đầu ¾ cầu, dao phay ngón đầu côn cầu…

Hình 4.11 Một số loại dụng cụ cắt thường sử dụng trong gia công bề mặt 3D

a Dao phay ngón đầu phẳng ; b Dao đầu phẳng có góc lượn;

c Dao phay ngón đầu cầu ; d Dao phay ngón đầu cầu, ¾ đầu cầu ;

e Dao phay ngón đầu côn cầu

-Dao phay đầu cầu : có khả năng lấy đi lượng dư lớn nhất khi gia công các bề mặt cong, về ý thuyết nếu bán kính cong của mọi điểm trên bề mặt mà lớn hơn bán kính cong của đầu dao thì sẽ lấy đi được hết lượng dư Khi gia công mặt phẳng thì dao phay đầu cầu để lại phần lượng dư giữa các đường chạy dao Về mặt chế độ cắt thì dao đầu cầu không tốt, vận tốc cắt biến thiên từ vận tốc cắt cực đại ( xác định theo công thức 1 ) về 0 tại mũi dao, do đó tại vùng lân cận mũi dao vật liệu phôi không phải bị cắt gọt mà bị phá hủy do biến dạng, chính

vì vậy chất lượng bề mặt không cao Do những đặc điểm trên, dao phay đầu cầu chỉ được dùng trong bước gia công tinh bề mặt