ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 10

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng - Để xác định một vectơ ta cần biết một trong hai điều kiện sau: + Điểm đầu và điểm cuối của vectơ + Độ dài và hướng Định nghĩa 1.2.. Hai vectơ ~a và ~b

1 VECTƠ 1

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1

1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 2

1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng 2

1.2.2 Định nghĩa vectơ đối 2

1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu 2

1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ 3

1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 3

1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục 4

1.4.2 Hệ trục tọa độ 5

2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 6 2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Các hệ thức lượng giác 6

2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 7

2.1.4 Góc giữa hai vectơ 7

2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 7

2.2.1 Định nghĩa 7

2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng 8

2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 8

2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 9

2.3.1 Định lí côsin 10

2.3.2 Định lí sin 10

2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác 10

2.3.4 Diện tích tam giác 11

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 11 3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 11

3.1.1 Phương trình tham số 11

3.1.2 Phương trình tổng quát 12

3.1.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 13

3.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 13

3.2.1 Phương trình đường tròn 13

3.2.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 14

3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 14

TRẦN UY ĐÔNG ∗ TTGDTX Bảo Yên Lào Cai

atesqrm@gmail.com

05/2008

Tóm tắt nội dung

Đề cương bao gồm toàn bộ lí thuyết hình học lớp 10 Gồm ba phần:

- Phần 1: Vectơ

- Phần 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng

- Phần 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1.1 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

- Để xác định một vectơ ta cần biết một trong hai điều kiện sau:

+ Điểm đầu và điểm cuối của vectơ

+ Độ dài và hướng

Định nghĩa 1.2 Hai vectơ ~a và ~b gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

- Nếu hai vectơ ~a và ~b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Định nghĩa 1.3 Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Định nghĩa 1.4 ~a = ~b khi và chỉ khi |~a| = |~b| và ~a,~b cùng hướng

∗ actemits

Định nghĩa 1.5 Với mỗi điểm A ta gọiAA là vectơ - không Vectơ không kí hiệu là ~0 và qui ước |~0| = 0

- Vectơ ~0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ

1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng

Định nghĩa 1.6 Cho hai vectơ tùy ý ~a và ~b Lấy điểm A tùy ý, dựng−→

AB = ~a,

−→

BC = ~b Khi đó −→a + ~b =−→AC

Qui tắc ba điểm

- Với ba điểm bất kì M , N , P ta có:

N P =−−→

M P

Qui tắc hình bình hành

- Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì

AB +−→

AC

BGhi nhớ

- Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

M A +−−→

M B = ~0

- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

GA +−→

GC = ~0 1.2.2 Định nghĩa vectơ đối

Định nghĩa 1.7 Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ~a được gọi là vectơ

đố của ~a, kí hiệu là −~a

Mỗi vectơ đều có vectơ đối Vectơ đối của −→

AB là −→

BA Vectơ đối của ~0 là ~0 1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu

Định nghĩa 1.8 Hiệu của hai vectơ ~a và ~b, kí hiệu ~a − ~b, là tổng của ~a và vectơ đối của ~b, tức là

Qui tắc về hiệu vectơ

- Nếu −−→

M N là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có

OM

1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì ta có

• ~a + ~b = ~b + ~a (tính chất giao hoán)

• (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) (tính chất kết hợp)

• ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a (tính chất của vectơ - không)

• ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0

1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Định nghĩa 1.9 Tích của vectơ ~a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k~a, được xác định như sau

a) Nếu k ≥ 0 thì vectơ k~a cùng hướng với vectơ ~a

Nếu k < 0 thì vectơ k~a ngược hướng với vectơ ~a

b) Độ dài của vectơ k~a bằng |k||~a|

Tính chất

- Với hai vectơ bất kì ~a, ~b và mọi số thực k, l, ta có

1 k(l~a) = (kl)~a

2 (k + l)~a = k~a + l~a

3 k(~a + ~b) = k~a + k~b; k(~a − ~b) = k~a − k~b

4 k~a = ~0 ⇔

"

k = 0

~a = ~0

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

- Hai vectơ ~a và ~b (~b 6= ~0) cùng phương ⇔ ∃ k ∈ R để ~a = k~b

Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ k ∈ R để−→AB = k−→

AC

Tính chất của trung điểm

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

IA +−→

IB = ~0

- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có

OA +−→ OB

Tính chất của trọng tâm tam giác

- Điểm G là trọng tâm 4ABC khi và chỉ khi

GA +−→

GC = ~0

- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì với mọi điểm O ta có

OA +−→

OC

Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

- Cho hai vectơ không cùng phương ~a và ~b Khi đó với vectơ ~x bất kì, luôn có cặp số duy nhất m và n sao cho

1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục

Định nghĩa 1.10 Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác định được một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn

vị ~e

Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục

- Cho vectơ ~u nằm trên trục (O; ~e) Khi đó có số a xác định để ~u = a~e Số a như thế gọi là tọa độ của vectơ ~u đối với trục (O; ~e)

- Cho điểm M nằm trên trục (O; ~e) Khi đó có số m xác định để −−→

OM = m~e

Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O; ~e) (cũng là tọa độ của

−−→

OM )

Độ dài đại số của vectơ trên trục

- Cho hai điểm A, B trên trục (O; ~e) Khi đó có duy nhất số a sao cho−→

AB = a~e

Ta gọi số a đó là độ dài đại số của−→

AB đối với trục đã cho và kí hiệu là a = AB

1.4.2 Hệ trục tọa độ

Định nghĩa 1.11 Hệ trục tọa độ (O;~i;~j) gồm hai trục (O;~i) và (O;~j) vuông góc với nhau Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục (O;~i) gọi

là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O;~j) gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ ~i và ~j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và |~i| = |~j| = 1 Hệ trục tọa độ (O;~i;~j) còn được kí hiệu là Oxy

Định nghĩa 1.12 Đối với hệ trục tọa độ (O;~i,~j), nếu ~a = x~i + y~j thì cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ ~a, kí hiệu là ~a = (x; y) hay ~a(x; y) Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ~a

Nhận xét: Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ, nghĩa là

~a(x; y) = ~b(x0; y0) ⇔

(

x = x0

y = y0

Định nghĩa 1.13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ −−→

OM được gọi là tọa độ của điểm M

OM (x; y)

x = OM1, y = OM2, với M1, M2 lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống Ox và Oy

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

- Cho hai điểm M (xM; yM) và N (xN; yN) thì

M N = (xN − xM; yN − yM)

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

- Cho ~a = (x; y) và ~b = (x0; y0) Khi đó

• ~a + ~b = (x + x0; y + y0); ~a − ~b = (x − x0; y − y0)

• k~a = (kx; ky) với k ∈ R

• Vectơ ~b cùng phương với vectơ ~a 6= ~0 khi và chỉ khi có số k sao cho

x0 = kx, y0 = ky

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

yA+ yB

2

- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì:

yA+ yB+ yC 3

ỨNG DỤNG

2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ

TỪ 00 ĐẾN 1800

Định nghĩa 2.1 Trên hệ trục Oxy, cho nửa đường tròn tâm O bán kính

R = 1, nằm phía trên trục Ox Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị

Định nghĩa 2.2 Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \M Ox = α Giả sử điểm M có tọa độ (x; y) Khi đó

Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α;

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệ là cos α;

Tỉ số y

x (với x 6= 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α;

Tỉ số x

y (với y 6= 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

- Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi là các giá trị lượng giác của góc α

2.1.2 Các hệ thức lượng giác

1 Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

sin α = sin(1800− α) (2.1a)

cos α = − cos(1800− α) (2.1b)

tan α = − tan(1800− α) (α 6= 900) (2.1c)

cot α = − cot(1800− α) (00 < α < 1800) (2.1d)

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản

Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức:

sin2α + cos2α = 1 (2.2a)

sin α cos α= tan α (2.2b)

cos α sin α = cot α (2.2c)

tan α (2.2d)

1 + tan2α = 1

cos2α (2.2e)

1 + cot2α = 1

sin2α (2.2f)

2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

2

√ 2 2

√ 3

√ 3 2

√ 2 2

1

√

3 2

√ 2 2

1

√ 2

√ 3

√

3

√

√ 3

√ 3

√ 3

2.1.4 Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa 2.3 Cho hai vectơ ~a và ~b đều khác ~0 Từ một điểm O bất kì ta

OA = ~a và −→

OB = ~b Góc [AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ ~a và ~b Kí hiệu là (~a,~b) Nếu (~a,~b) = 900 thì ta nói rằng ~a và ~b vuông góc với nhau, kí hiệu là ~a ⊥ ~b hoặc ~b ⊥ ~a

2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Định nghĩa 2.4 Cho hai vectơ ~a và ~b khác ~0 Tích vô hướng của chúng là một số, được xác định bởi công thức:

Chú ý

• Với ~a,~b 6= ~0, ta có

~ãb = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b

• ~a2 = |~a||~a| cos 00 = |~a|2

2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì và mọi số k ta có:

1 ~ạ~b = ~b.~a (tính chất giao hoán)

2 ~ẵb + ~c) = ~ạ~b + ~ạ~c (tính chất phân phối)

3 (k~a).~b = k(~ạ~b) = ~ạ(k~b)

4 ~a2 ≥ 0

5 ~a2 = 0 ⇔ ~a = ~0

6 (~a + ~b)2 = ~a2+ 2~ạ~b + ~b2

7 (~a − ~b)2 = ~a2− 2~ạ~b + ~b2

8 (~a + ~b)(~a − ~b) = (~a2 − ~b2

2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ ~a = (x; y) và ~b = (x0; y0) Khi đó

(2.6) cos (~a,~b) = ~ạ~b

|~a|.|~b| =

xx0+ yy0

px2+ y2px02+ y02 (~a 6= ~0,~b 6= ~0) Đặc biệt: ~a ⊥ ~b ⇔ xx0+ yy0 = 0

fHệ Quả

- Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M (xM; yM) và N (xN; yN) là

M N | =p(xN − xM)2+ (yN − yM)2

2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ

GIẢI TAM GIÁC

Một số hệ thức trong tam giác vuông

A

b c

h

Hình 1:

1 a2 = b2+ c2 (định lí Pitago)

2 b2 = ab0 (b0 là hình chiếu của cạnh b trên cạnh a)

3 c2 = ac0 (c0 là hình chiếu của cạnh c trên cạnh a)

4 h2 = b0c0 (h là chiều cao tam giác ứng với cạnh huyền )

5 ah = bc = 2SABC (SABC là diện tích tam giác ABC)

6 1

h2 = 1

b2 + 1

c2

7 b = a sin B = a cos C = c tan B = c cot C

8 c = a sin C = a cos B = b tan C = b cot B

- Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đường cao AH = h; các đường trung tuyến AM = ma, BN = mb, CP = mc; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; nửa chu vi p = a + b + c

2 A

a

ha b

a

P

N

Hình 2:

2.3.1 Định lí côsin

fHệ Quả

2+ c2− a2

2bc

2+ a2 − b2

2ca

2+ b2− c2

2ab

2.3.2 Định lí sin

sin A =

b sin B =

c sin C = 2R

2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác

2+ c2

2

2(b2+ c2) − a2

4

2+ a2

2

2(c2+ a2) − b2

4

2+ b2

2

2(a2+ b2) − c2

4

2.3.4 Diện tích tam giác

- Với 4ABC ta kí hiệu S là diện tích, ha, hb, hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB

2aha=

1

2bhb =

1

2chc

2ab sin C =

1

2bc sin A =

1

2ca sin B

4R

- Công thức cuối gọi là công thức Hê - rông

PHẲNG

3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa 3.1 Vectơ ~u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ~u 6= ~0 và giá của ~u song song hoặc trùng với δ

Định nghĩa 3.2 Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm

M0(x0; y0) và có vectơ chỉ phương ~u = (u1; u2), (u21+ u22 6= 0) là

(3.1)

(

x = x0+ u1t

y = y0+ u2t Định nghĩa 3.3 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có

hệ số góc k là

• Nếu ∆ có vectơ chỉ phương ~u = (u1; u2) với u1 6= 0 thì hệ số góc của ∆

là k = u2

u1

• Nếu ∆ có hệ số góc là k thì nó có một vectơ chỉ phương là: ~u = (1; k)

3.1.2 Phương trình tổng quát

Định nghĩa 3.4 Vectơ ~n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ~n 6= ~0 và ~n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Định nghĩa 3.5 Phương trình ax + by + c = 0 với a2+ b2 6= 0 gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận vectơ ~n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến

• Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến ~n = (a; b) là

(3.3) a(x − x0) + b(y − y0) = 0 (a2+ b2 6= 0)

• Đường thẳng ∆ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b) có phương trình theo đoạn chắn là

a +

y

b = 1 (a, b 6= 0) 3.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 = 0

∆2 : a2x + b2y + c2 = 0 Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ

(3.5)

(

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

• Hệ (3.5) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

• Hệ (3.5) vô nghiệm: ∆1 k ∆2

• Hệ (3.5) có vô số nghiệm: ∆1 ≡ ∆2

Chú ý: Nếu a2b2c2 6= 0 thì:

• ∆1 cắt ∆2 ⇔ a1

a2 6= b1

b2

• ∆1 k ∆2 ⇔ a1

a2

= b1

b2

6= c1

c2

• ∆1 ≡ ∆2 ⇔ a1

a2 =

b1

b2 =

c1

c2

3.1.4 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 3.6 Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc Số

đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆1

và ∆2 và kí hiệu là ( \∆1, ∆2) hoặc (∆1, ∆2)

Khi ∆1 song song hoặc trùng với ∆2, ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 = 0

∆2 : a2x + b2y + c2 = 0

có vectơ pháp tuyến ~n1(a1; b1) và ~n2(a2; b2) cho bởi công thức

(3.6) cos( \∆1, ∆2) =

cos(~n1, ~n2)

= |~n1.~n2|

|~n1||~n2| =

|a1a2+ b1b2|

pa2

1 + b2

1.pa2

2+ b2 2

Chú ý

• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ ~n1 ⊥ ~n2 ⇔ a1a2+ b1b2 = 0

• Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì

∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1.k2 = −1

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 cho bởi công thức

√

a2+ b2

Điểm M (x; y) tùy ý thuộc đường phân giác của góc giữa ∆1 và ∆2

⇔ d(M, ∆1) = d(M, ∆2)

⇔ |a1x + b1y + c1|

pa2

1+ b2 1

= |a2x + b2y + c2|

pa2

2+ b2 2

⇔ a1x + b1y + c1

pa2

1+ b2 1

= ±a2x + b2y + c2

pa2

2+ b2 2

Đây chính là phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆2

3.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là:

Phương trình

là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a2+ b2− c > 0 Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R =√

a2+ b2− c 3.2.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có phương trình: (3.10) (x0− a)(x − x0) + (y0− b)(y − y0) = 0

Chú ý

• Quy tắc phân đôi tọa độ:

+ Thế −x2

0− y2

0+ 2ax0+ 2y0 = c vào (3.10) được (3.11) x0x + y0y − a(x + x0) − b(y + y0) + c = 0

+ Cách nhớ quy tắc phân đôi tọa độ:

Biểu thức trong (3.9) Biểu thức tương ứng trong (3.11)

• Điều kiện tiếp xúc

Để lập phương trình tiếp tuyến mà không biết tiếp điểm M0(x0; y0) ta không thể áp dụng ngay công thức (3.10) hoặc (3.11) Khi đó ta dùng điều kiện tiếp xúc sau:

Cho (C ) : (x − a)2+ (y − b)2 = R2 và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0

Ta có

∆ tiếp xúc với (C ) ⇔ d(I, ∆) = R

⇔ |ax + by + c|√

a2 + b2 = R

Từ điều kiện này ta xác định được phương trình đường thẳng ∆

3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm F1(−c; 0) , F2(c; 0) và độ dài không đổi 2a (a > c > 0) Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho F1M +F2M = 2a Ta có thể viết

(E) = {M | F1M + F2M = 2a}

2 Phương trình chính tắc của elip (E) là:

2

a2 + y

2

b2 = 1 (a2 = b2+ c2)

3 Các thành phần của elip (E) là:

x

y

B2

B1

O

M

M1

Hình 3:

• Hai tiêu điểm: F1(−c; 0) , F2(c; 0)

• Bốn đỉnh: A1(−a; 0), A2(a; 0)

B1(0; −b), B2(0; b)

• Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

• Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

• Tiêu cự: F1F2 = 2c

4 Hình dạng của elip (E)

• (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa

độ O(0; 0)

• Mọi điểm của elip (E) đề nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a, 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ±a, y = ±b Hình chữ nhật

đó gọi là hình chữ nhật cơ sở

4 Hình dạng elip (E)

• (E) có hai trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc tọa

độ O(0; 0)

• Mọi điểm elip (E) đề nằm hình chữ nhật có kích thước... (E) đề nằm hình chữ nhật có kích thước 2a, 2b giới hạn đường thẳng x = ±a, y = ±b Hình chữ nhật

đó gọi hình chữ nhật sở

Cho (C ) : (x − a)2+ (y − b)2