Một số kỹ năng giải bài toán đếm

Lời mở đầuTrong các dạng bài toán tổ hợp thì bài toán đếm và một số dạng toán tổ hợpliên quan đến bài toán đếm là các dạng bài cơ bản và rất quan trọng.. - Một số kỹ năng giải các bài to

Mục lục

1.1 Sử dụng các khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân 3

1.1.2 Hoán vị 6

1.1.3 Chỉnh hợp 10

1.1.4 Tổ hợp 13

1.2 Phép tương ứng 1- 1 17

1.2.1 Mô tả phần tử đếm 17

1.2.2 Mã hóa 0, 1 phần tử đếm 19

1.2.3 Phương pháp đánh số 24

1.3 Một số phương pháp giải nâng cao của bài toán đếm 26

1.3.1 Nguyên lí bao gồm và loại trừ 26

1.3.2 Phương pháp truy hồi 30

2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm 34 2.1 Nguyên lí bất biến 34

2.1.1 Phát hiện đại lượng bất biến trong bài toán 34

2.1.2 Giải toán bằng đại lượng bất biến 39

2.1.3 Bất biến đơn điệu 41

2.1.4 Một số bài toán nâng cao 44

2.2 Phân hoạch 47

2.2.1 Chứng minh không tồn tại phân hoạch thỏa mãn tính chất (G) 47

2.2.2 Chứng minh có tồn tại phân hoạch thỏa mãn tính chất (G) 48

2.2.3 Xây dựng phân hoạch tính chất (G) 49

2.2.4 Phân hoạch cân bằng 52

2.2.5 Một số bài toán minh họa 53

2.3 Nguyên lí Dirichlet 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Lời mở đầu

Trong các dạng bài toán tổ hợp thì bài toán đếm và một số dạng toán tổ hợpliên quan đến bài toán đếm là các dạng bài cơ bản và rất quan trọng Nhữngdạng toán này xuất hiện rất nhiều trong các kì thì vào các trường chuyên, thihọc sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc giải các bài toán dạng này nhiều khi gặprất nhiều khó khăn và rất dễ mắc phải những sai lầm vì đây là những dạngtoán khó và chúng ta không nắm được các phương pháp, các kỹ năng giải Liênquan đến bài toán đếm có hai vấn đề được quan tâm nghiên cứu

- Một số kỹ năng giải các bài toán đếm;

- Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm

Để giải được nhanh chóng và chính xác các bài toán đếm chúng ta cần phảinắm được các kỹ năng giải và việc giải thành thạo các bài toán đếm giúp tarất nhiều trong việc giải các bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm.Hiện nay có nhiều sách tham khảo, tài liệu viết về các dạng toán tổ hợpnhưng một số kỹ năng giải bài toán đếm và đặc biệt là một số dạng bài toán

tổ hợp liên quan đến bài toán đếm như nguyên lí bất biến, phân hoạch thìchưa được đề cập nhiều Chính vì vậy, chúng tôi xin chọn đề tài cho luận văncủa mình là: “Một số kỹ năng giải bài toán đếm” Trong luận văn này ngoàiviệc trình bày một số kỹ năng giải bài toán đếm, chúng tôi còn đưa ra một sốdạng toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm Nội dung luận văn này gồm haichương:

- Chương 1: Trình bày một số kỹ năng giải bài toán đếm như sử dụng cáckhái niện cơ bản, phép tương ứng 1- 1 và một số phương pháp giải nâng cao

- Chương 2: Đưa ra một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toánđếm như nguyên lí bất biến, phân hoạch và nguyên lí Dirichlet kèm theo cácbài tập và lời giải chi tiết

Các kết quả chính của luận văn nằm trong mục 1.2 của chương 1 và mục2.2 của chương 2

Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới PGS TSNguyễn Vũ Lương Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tìnhtrong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo của trường Đại học Khoahọc Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã hết lòng đào tạo, dạy dỗ giúp đỡtôi trong suốt thời gian tôi học tập tại trường

Mặc dù vây, do năng lực cá nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹpluận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về mặt nội dung và hình thức,rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn

Chương 1

Một số kỹ năng giải bài toán đếm

Bài toán đếm là một nội dung cơ bản không chỉ dành cho các bài toánthi đại học mà còn rất cần thiết khi giải các bài toán tổ hợp khó trongcác kỳ thi học sinh giỏi Một đặc điểm rất đặc thù của nội dung này làkhi giải toán, học sinh thường nhận được các đáp số khác nhau vì nhữngsai sót mà bản thân không nhận ra Chính vì vậy xây dựng các kỹ nănggiải là thực sự cần thiết và nội dung của phần này là trình bày các kỹnăng này

1.1 Sử dụng các khái niệm cơ bản

1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân

Quy tắc cộng

Nội dung quy tắc: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọnđối tượng a2, , mn cách chọn đối tượng an, trong đó cách chọn đốitượng ai (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng aj

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 1.Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồmbốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 1.

Bài giải

Gọi số cần lập là abcd Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: a = 1 có 1 cách chọn a, có A35 cách chọn các chữ số b, c,d

Trường hợp 2: Đi từ A đến C rồi đến D Có 2 cách đi từ A đến C và có 4cách đi từ C đến D Theo quy tắc nhân thì số cách chọn đường đi từ Ađến D qua C là 2.4 = 8

Vì cách chọn đường từ A sang D qua B và cách chọn đường từ A sang

D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số conđường để đi từ A sang D là 6 + 8 = 14 (cách)

Bài 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu sốgồm 4 chữ số khác nhau? Tìm tổng của tất cả các số này

Số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số dạng này lần lượt là 9876 và 1234

có tổng bằng 11110, nên đối với số bất kì abcd đều tồn tại số a0b0c0d0, mà

Bài 5 Cho bàn cờ vua 8x8.

Có bao nhiêu cách chọn ra 1 ô trắng và 1 ô đen?

Có bao cách chọn 1 ô trắng, 1 ô đen cùng nằm trên 1 hàng hay 1 cột?Bài giải

Trên bàn cờ có 32 ô trắng, 32 ô đen Có 32 cách chọn ra một ô đen, 32cách chọn một ô trắng Vậy số cách chọn n1=32.32=1024 (cách)

Có 32 cách chọn một ô trắng Số ô đen cùng hàng, cùng cột với ô trắng

đã chọn ra là 8

Vậy số cách chọn n2=32.8=256 (cách)

Bài 6 Có 28 quân domino ở 2 đầu có x,y chấm 0 ≤ x, y ≤ 6 Có baonhiêu cách chọn ra 2 quân domino có thể nối với nhau (số chấm ở mộtđầu của quân này bằng số chấm ở một đầu quân khác).

Bài giải

Lấy một quân domino bất kỳ nó thuộc một trong 2 loại:

Loại 1 (7 quân): (0,0), (1,1), ,(6,6)

Loại 2 (21 quân): có số chấm 2 đầu khác nhau

- Nếu quân domino chọn ra là loại 1 (sẽ có 7 cách chon) sẽ được nối với 6quân khác Ví dụ như (1,1) sẽ được nối với (1,0), (1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6).Vậy số cặp nối được trong trường hợp này là:

n1 = 7.6 = 42

- Nếu quân domino chọn ra là loại 2 (sẽ có 21 cách chọn), sẽ được nối với

12 quân khác Ví dụ (2,3) sẽ được nối với (2,0), (2,1), (2,4), (2,2), (2,5),(2,6),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6)

Vậy số cặp nối đươc trong trường hợp này là n2 = 21.12 = 252

Theo quy tắc cộng thì số cách nối đươc là 252+42=294 (kể cả thứ tự)

Vì thứ tự giữa 2 đầu của quân domini được xác định, và mỗi cặp 2 quândomino nối được đến 2 lần, ta suy ra số cặp nối được là n = 294

vị của n phần tử bằng Pn

Ta có công thức

Pn = n!

Sau đây ta xét một số bài oán minh họa:

Bài 7.Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm nămchữ số khác nhau?

Bài giải

Mỗi số cần lập là một hoán vị của năm chữ số đã cho

Vậy số các số lập được bằng số hoán vị của năm phần tử bằng

P5 = 5! = 120

Bài 8 Trong một hội nghị có 5 báo cáo viên A, B, C, D, E mỗi ngườibáo cáo một lần?

1 Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên

2 Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên nếu yêu cầu báo cáoviên B báo cáo ngay sau báo cáo viên A?

3 Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên nếu B không báo cáotrước A?

Bài giải

1 Số cách xếp thứ tự cho báo cáo viên bằng 5! = 120

2 B báo cáo ngay sau A ta thay thế bằng một cặp báo cáo viên X= AB.Khi đó, xem X như là một báo cáo viên

Bài giải

Lấy 1 ghế bất kỳ

Nếu xếp 1 người đàn ông thì ghế tiếp theo là của đàn bà Số cáchxếp 5 đàn ông vào vị trí có sẵn là 5!, số cách xếp 5 đàn bàn vào vị trí là5! Số cách xếp theo vị trí này là 5!5!

Nếu xếp 1 người đàn bà thì số cách xếp tương tự bằng 5!5!

Đáp số:: 2.(5!)2

Hoán vị có lặp

Định nghĩa: Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lầnđược gọi là hoán vị có lặp

Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i

(1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni lần được kí hiệu là P (n1, n2, , nk) và đượctính bằng công thức

P (n1, n2, , nk) = n!

n1!.n2! nk!.

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 10 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồmchín chữ số, trong đó mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 xuất hiện đúng một lần, chữ

số 5 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 6 xuất hiện đúng ba lần

Bài giải

Xét một số tùy ý x = 154626356 và kí hiệu các vị trí của x một cáchhình thức, ta có x = a1a2a3a4a5a6a7a8a9 Khi đó, mỗi số x tương ứng vớimột hoán vị lặp của chín phần tử a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9

Số các hoán vị khác nhau của chín phần tử ai (1 ≤ i ≤ 9) là 9!

song do a2 = a8 = 5 nên khi đổi chỗ a2 và a8 cho nhau thì hoán vị

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 của x bằng số hoán vị lặp của 10 phần tử thuộc

4 loại chữ số: 1, 2, 3, 4 với 1 xuất hiện 4 lần, 2 xuất hiện 3 lần, 3 xuấthiện 2 lần và 4 xuất hiện 1 lần sẽ bằng P (1, 2, 3, 4) Ngoài ra a11 lại cóthể nhận 0 hoặc 5 nên có thể lập được

Bài 13 Tìm số cách đảo từ ROKOKO sao cho 3 chữ O không đứng liềnnhau.

Ta xét một ví dụ đơn giản sau:

Xét tập A = {a, b}, ta lập tập B = {a, a, b, b, b} Khi đó B = (A, α)

,α(a) = 2, a xuất hiện 2 lần, α(b) = 3 gọi là tập bội số lần xuất hiện α.Khi đó, số cách xếp thành một hàng ngang của B bằng:

Vậy có tất cả 120 cách sắp xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn

Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau (Qn) được tính bằngcông thức

Qn = (n − 1)!

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa

Bài 14 Một hội nghị bàn tròn có năm nước tham gia Anh có 3 đại biểu,Pháp có 5 đại biểu, Đức có 2 đại biểu, Nhật có 3 đại biểu, Mỹ có 4 đạibiểu Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi đại biểu sao chohai người cùng quốc tịch đều ngồi cạnh nhau.

Bài giải

Đầu tiên ta sắp xếp khu vực cho đại biểu từng nước Ta mời phái đoànnào đó ngồi vào chỗ trước Khi đó, bốn phái đoàn còn lại có 4! cách sắpxếp

Đối với mỗi cách sắp xếp các phái đoàn lại có: 3! cách sắp xếp đại biểutrong nội bộ phái đoàn Anh; 5! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ pháiđoàn Pháp; 2! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Đức; 3! cáchsắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Nhật; 4! cách sắp xếp đại biểutrong nội bộ phái đoàn Mỹ

Bởi vậy, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho tất cả các đại biểu để nhữngngười cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau sẽ bằng

4!3!5!2!3!4! = 4976640

Bài 15 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam A1, A2, A3, A4, A5 và 3 nữ

B1, B2, B3 vào một bàn tròn sao cho:

a) Không có điều kiện gì?;

b) Nam A1 không ngồi cạnh nữ B1?

c) Nữ không ngồi cạnh nhau?

Bài giải

a) Mỗi cách sắp xếp bất kì là một hoán vị vòng quanh của 8 phần tử,nên số cách sắp xếp bằng số hoán vị vòng quanh của 8 phần tử, bằng

Q8 = 7! = 5040

b) Năm nam và hai nữ không kể B1 có (7 − 1)! = 6! cách sắp xếp

Ứng với một trong những phương án sắp xếp năm nam và hai nữ không

kể B1, khi đó B1 có thể xếp vào giữa A2, B2, giữa B2, A4, giữa A4, B3,giữa A5, B3, giữa A3, A5 Như vậy có 7 − 2 = 5 cách sắp xếp B1 Vậy có

6!.5 = 720 cách sắp xếp

c) Trước hết ta xếp 5 nam ngồi xung quanh bàn tròn Số cách sắp xếpnày bằng số hoán vị vòng quanh của 5 phần tử, bằng (5 − 1)! = 4! = 24

Có 5 cách sắp xếp nữ B1, 4 cách sắp xếp nữ B2 và 3 cách sắp xếp nữ B3.Vậy số cách sắp xếp cần tìm là 4!.5.4.3 = 1440

1.1.3 Chỉnh hợp

Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa: Cho tâp hợp A hữu hạn gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k

(0 ≤ k ≤ n) phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là mộtchỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 16 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên mà trong mỗi số này các chữ số khác nhau?

Mỗi cách chọn nam lại tương ứng với tất cả các cách chọn nữ, nên sốcách chọn có thứ tự 4 nam, 4 nữ trong số nam, nữ tham gia hội diễn sẽ

là 5040.360 = 1814400 cách chọn

Bài 18 Có 7 thành viên ứng cử vào hội đồng trường Hỏi có bao nhiêucách chọn ra một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký, một thủ quỹtrong số họ

Bài giải

Đáp số n1 = 5.A35 = 300

Ta chia tất cả các số chẵn thành 2 loại:

Loại 1: Số 0 đứng cuối cùng

Loại 2: Số 2 hoặc số 4 đứng cuối cùng

Số các số gồm 4 chữ số phân biệt mà số 0 đứng cuối bằng |S1| = A3

- Xét các số mà chữ số 0 đứng cuối cùng Trong trường hợp này số các

số thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng n1 = A35 = 60

- Xét các số có số 5 đứng cuối cùng, ta cần chọn thêm 3 chữ số phân biệt(số có 3 chữ số phân biệt) xếp phía trên số 5

Có 5.4.3 bộ 3 số phân biệt

Có 4.3 số phân biệt mà số 0 đứng đầu

Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán trong trường hợp nàybằng n2 = 5.4.3 − 4.3 = 48

Đáp số n = n1 + n2 = 60 + 48 = 108

Chỉnh hợp có lặp

Định nghĩa Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k

các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và đượcsắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k

của n phần tử thuộc tập X

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử kí hiệu là Ak

n bằng số ánh xạ từtập k phần tử đến tập n phần tử và bằng nk, tức

Ak

n = nk

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 21.Từ bốn chữ số 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm

4 chữ số?

Bài giải

Gọi số cần lập có dạng x = abcd Vì x là số chẵn nên d = 2

Mỗi cách chọn bộ ba chữ số a, b, c là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 4phần tử 1, 2, 3, 5

Vậy số các số chẵn có thể lập được bằng A34 = 43 = 64

Bài 22.Có thể lập được bao nhiêu biển số xe với hai chữ cái đầu thuộctập {A, B, C, D, E}, tiếp theo là một số nguyên dương gồm năm chữ sốchia hết cho 5?

Bài giải

Giả sử biển số xe cần lập có dạng XY abcde

Vì X, Y có thể trùng nhau nên XY là chỉnh hợp lặp chập 2 của 5 phần

Hai tổ hợp được coi là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một phần

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 23 Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ, sao chomỗi tổ có đúng 10 học sinh

a) Số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý?

b) Ban cán sự có 1 nam và 3 nữ ?

c) Ban cán sự có 2 nam và 2 nữ?

d) Ban cán sự có ít nhất 1 nam?

e) Ban cán sự có ít nhất 1 nam và một nữ?

b) Nếu trong ban cán sự có 1 nam và 3 nữ, thì số cách chọn 1 nam trong

25 nam là C251 còn số cách chọn 3 nữ trong số 15 nữ là C153 Vậy số cáchchọn theo yêu cầu là

Theo giả thiết, từ một cặp 2 điểm xác định duy nhất một đường thẳng.Vậy số đường thẳng bằng số cặp 2 điểm từ 6 điểm: n = C62 = 15

Bài 26 Từ 7 học sinh nam, 4 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọnmột đội bóng chuyền cho 6 em sao cho trong đội có ít nhất 2 nữ

4.C73, |S4| = C4

4.C72

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 28 Giả sử có 4 loại bóng màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng với số lượngmỗi loại không hạn chế Hai bộ bóng được xem là khác nhau nếu có ítnhất một màu với số lượng thuộc hai bộ khác nhau Hỏi có bao nhiêucách chọn ra các bộ 6 (quả bóng) khác nhau?

Bài giải

Vì trong mỗi bộ sáu quả bóng có thể có các quả bóng cùng màu và khôngphân biệt thứ tự chọn, nên số cách chọn khác nhau bằng số tổ hợp lặpchập 6 của 4 phần tử (tập hợp bóng cùng màu được coi là một phần tử)

15 tờ giấy bạc của Ngân hàng quốc gia Việt Nam

Bài giải

Mỗi bộ gồm 15 tờ giấy bạc thuộc không quá 10 loại, nên có những tờgiấy bạc cùng loại Mặt khác trong mỗi bộ không quan tâm đến thứ tựsắp xếp, nên số bộ giấy bạc khác nhau gồm 15 tờ sẽ bằng số tổ hợp lặpchập 15 của 10 (loại), bằng

ánh f thì ta có thể thay thế việc đếm các phần tử của tập A bởi các phần

tử của tập B trong các bài toán cụ thể thì song ánh f có thể được mô tảnhư các kỹ năng giải cụ thể rất hiệu quả như sau:

1.Mô tả phần tử đếm: Thay thế phần tử đếm bởi sự mô tả cụ thểchính xác của nó

2.Mã hóa 0, 1 phần tử đếm: Thay thế phần tử đếm bởi bộ toàn số

0, 1

3.Phương pháp đánh số: Thay thế cách xác định vị trí bởi các sốthỏa mãn yêu cầu của bài toán

Tuy nhiên, chỉ thông qua việc giải các bài toán cụ thể chúng ta mới

có thể nắm vững các kỹ năng giải này

1.2.1 Mô tả phần tử đếm

Kỹ năng này gồm 2 bước:

1 Xác định vị trí;

2 Sắp xếp vào vị trí đã chọn

Sau đây chúng ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 1 Tìm các số nguyên dương có 6 chữ số bao gồm 3 chữ số chẵn và

Đáp số: d = C63.56 − C2

5.55 = 281250

Bài 2 Cho tập A = {1, 2, 3} Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 10chữ số lập được từ tập A, trong đó chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần Hỏi cóbao nhiêu số trong các số này chia hết cho 9

Bài giải

Có C102 cách chọn 2 vị trí trong 10 vị trí để đặt số 3 Tại mỗi vị trí trong 8

vị trí còn lại có 2 cách sắp xếp (1 hoặc 2) Vậy đáp sốd = C102 28 = 11520

Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số n (với n là số thỏa mãn yêucầu của bài toán) Ta suy ra: 14 = 6 + 8.1 ≤ S(n) ≤ 6 + 8.2 = 22

Vì n chia hết cho 9 nên 9|S(n), vậy nên S(n) = 18

Đã có hai số 3 nên tổng 8 chữ số còn lại bằng 12 nên chỉ có thể có bốn

số 2 và bốn số 1 Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán và chia hếtcho 9 bằng d2 = P (2, 4, 4) = 10!

1 Có 4 chữ số phân biệt d1 = 4! (vì chỉ có 4 chữ số phân biệt 1,2,3,4)

2 Có 2 cặp chữ số giống nhau (2,2,1,1): d2 = 4!

2!.2! = 6

3 Có 1 cặp chữ số giống nhau, còn 2 chữ số còn lại là phân biệt Có 2cách chọn một cặp 2 chữ số giống nhau và C32 cách chọn 2 chữ số phânbiệt từ 3 chữ số phân biệt còn lại Suy ra d3 = 2.C32.P (2, 1, 1) = 72

Đáp số: 24+6+72 =102

Bài 4 Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có bao nhiêu số gồm 6 chữ sốcủa A trong đó có 3 số a, 2 số b và 1 số c, với a, b, c là các số đôi mộtphâm biệt thuộc A

Bài giải

Có C53 cách lấy 3 số phân biệt đôi một a, b, c của tập A Có 3 cách chỉđịnh số nào xuất hiện 3 lần, số nào xuất hiện 2 lần sẽ có 2 cách chỉ định,hiển nhiên số còn lại xuất hiện 1 lần và ta có đáp số d = C53.3.2 6!

3!2!.

Bài 5 Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có bao nhiêu số gồm 5 chữ

số của A sao cho mỗi số có đúng 3 chữ số giống nhau

Bài giải

Trước hết ta tìm số bộ 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán, sau đóbớt đi các bộ số có số 0 đứng đầu.

Có C53 cách chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để xếp 3 chữ số giống nhau, có

6 cách chọn 1 trong 6 số để viết vào 3 vị trí đã chọn (ký hiệu là a), có 5cách chọn b 6= a, 5 cách chọn c 6= a (b, c có thể giống nhau)

Vậy bộ 5 số là d1 = C53.6.5.5

Xét trường hợp số 0 đứng đầu:

- Trường hợp 1 (có 3 số giống nhau khác 0)

Có C43 cách chọn 3 vị trí để đặt 3 số giống nhau a ∈ A, có 5 cách chọn

a 6= 0, a ∈ A, có 5 cách chọn b ∈ A, b 6= a đặt vào vị trí còn lại Vậy số

bộ trong trường hợp này bằng d2 = C43.5.5

- Trường hợp 2 (3 số giống nhau là 3 số 0)

(b, b, b, b) Vậy số bộ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng d1 = C102 (24 − 2)

Sau đây ta trừ đi các bộ số có số 0 đứng đầu Có C91 cách chọn thêm

1 số khác 0, có 23 cách tạo thành bộ 3 số xếp sau số 0 (trừ 1 trường hợp0000) Ta có d2 = C91(23 − 1)

Đáp số: d = d1 − d2 = 630 − 63 = 567

1.2.2 Mã hóa 0, 1 phần tử đếm

Khi bài toán mà mỗi phần tử đếm là một quy tắc, một cách chọn,một cách phân chia, một trò chơi thì người ta thường mô tả phần tử đếmbằng một bộ số 0, 1 để phép đếm trở nên đơn giản hơn

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 7 Ở một cửa hiệu có 12 loại bưu thiếp, hỏi có bao nhiêu cách mua

8 bưu thiếp để gửi đến các địa chỉ khác nhau

Bài giải

Ta viết n1 số 1 nếu n1 số thiếp loại 1 được mua (n1 = 0 ta không viết sốnào), sau đó viết tiếp số 0.

Ta lại viết n2 số 1 nếu n2 số thiếp loại 2 được mua, sau đó viết tiếp

Trước hết ta phát cho mỗi học sinh một quả bóng và đưa về bài toán

"Có bao nhiêu cách phát 9 quả bóng cho 6 học sinh"

Viết x1 số 1 nếu phát x1 bóng cho học sinh thứ 1, sau đó viết tiếp số0

Viết x2 số 1 nếu phát x2 bóng cho học sinh thứ 2, sau đó viết tiếp số0

Tiếp tục như vậy đến bước cuối cùng là viết x6 số 1 nếu phát x6 quảbóng cho học sinh thứ 6

Vậy số cách phát bằng số bộ gồm x1 + x2 + + x6 = 9 số 1 và 5 số

0 Số bộ này bằng: P (9, 5) = 14!

9!5! = C

5 14

Bài 9.Tìm số bộ 3 số (x, y, z) nguyên dương thỏa mãn đẳng thức x +

y + z = 1000

Bài giải

Đặtu = x−1, v = y−1, t = z −1ta thu được bài toán tương đương "Tìm

số bộ (u, v, t) nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức u + v + t = 997".Mỗi bộ số (u, v, t) tương ứng với một bộ gồm toàn số 0, 1 sau đây:

1) Chú ý: Hai cách phát được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một họcsinh nhận số bóng khác nhau trong hai cách phát Nếu phát x1 quả bóngcho học sinh thứ 1 ta viết x1 số 1 (nếu không phát thì không viết gì) vàsau đó viết số 0 Và ta lại viết x2 số 1 nếu phát x2 bóng cho học sinh thứ

2) Ta phát cho mỗi em một quả bóng và sau đó phát 9 quả bóng cho

6 em theo cách trên và thu được số cách phát bằng n2 = C145

Bài 11.Có bao nhiêu cách chia 7 thùng nho, 5 thùng táo như nhaucho 3 học sinh (Hai cách chia là khác nhau nếu có ít nhất một học sinhnhận được số thùng nho hoặc táo khác nhau ở hai cách)

Bài giải

Nếu phát x1 thùng nho cho học sinh thứ 1 ta viết x1 số 1 (nếu khôngphát ta viết số 0), sau đó viết số 0

Nếu phát x2 thùng nho cho học sinh thứ 2 ta viết x2 số 1, sau đó viết

số 0 Và viết x3 số 1 nếu phát x3 thùng nho cho học sinh thứ 3

Vậy số cách phát bằng số bộ gồm 7 số 1 và 2 số 0 được xếp theo thứ

tự bất kỳ Suy ra số cách phát bằng: n1 = C92

Sau khi phát nho chúng ta lại tiếp tục phát 5 thùng táo cho 3 họcsinh Tương tự số cách phát bằng n2 = C72

Theo quy tắc nhân số cách phát này là: n = n1.n2 = C92.C72

Bài 12.Với n ∈ N cố định, Tìm số nghiện phương trình

x1 + x2 + + xk = n

1 Trên tập các số nguyên không âm

2 Trên tập các số nguyên dương

Để có một bộ số như vậy chúng ta cần chọn ra n vị trí để viết n số 1trong n + k − 1 vị trí

Đáp số n1 = Cn+k−1n

2 Ta đặt yi = xi− 1(i = 1, 2, , k) và mỗi bộ (x1, x2, , xk) tương ứng1-1 với bộ (y1, y2, , yk) thỏa mãn y1+ y2+ + yk = n − k với yi khôngâm

Giải tương tự phần (1) ta có đáp số n2 = Cn−k+k−1n−k = Cn−1n−k = Cn−1k−1

Bài 13.Một cửa hiệu có bán 5 loại cà phê khác nhau Hỏi có bao cách

để 1 người mua 12 gói? Có bao cách để 1 người mua 12 gói trong đó mỗiloại có ít nhất 2 gói?

Bài giải

1 Nếu mua x1 gói loại 1 ta viết x1 số 1, sau đó viết số 0 Tương tự viết

x5 số 1 nếu mua x5 gói loại 5 Vì x1+ x2+ x3+ x4+ x5 = 12 nên ta thuđược một bộ số gồm 12 số 1 và 4 số 0 Mỗi cách mua tương ứng 1- 1 vớimột cách lấy 4 ví trí từ 16 vị trí để viết 4 số 0 (còn lại viết số 1)

Đáp số n1 = C164

2 Ta lấy mỗi loại 2 gói, và mua tiếp 2 gói theo cách trên sẽ tương ứngvới một bộ 2 số 1 và 4 số 0

Đáp số n2 = C62

Bài 14.Có bao nhiêu cách bỏ 12 đồng xu (như nhau) vào 7 phong bì

có đánh số sao cho mỗi phong bì có ít nhất 1 đồng xu

Bài giải

Ta bỏ vào mỗi phong bì một đồng xu, năm đồng xu còn lại bỏ vào 7phong bì theo quy tắc sau:

Nếu bỏ x1 đồng xu vào phong bì thứ 1 ta viết x1 số 1, sau đó ta viết số

0 Tương tự viết x7 số 1 nếu bỏ x7 đồng xu vào phong bì số 7 Mỗi cáchtương ứng với một bộ gồm 5 số 1 (x1 + x2 + + x7 = 5) và 6 số 0 Vậyđáp số n = C116

Bài 15 Có 30 người bỏ phiếu cho 5 đại biểu, mỗi người chỉ bỏ phiếu choduy nhất một đại biểu Hỏi có bao nhiêu cách bỏ phiếu của 30 người chotất cả các đại biểu

Bài 16 Có bao nhiêu cách bỏ 2 quả bóng trắng, 7 bóng đen vào 9 lỗkhác nhau sao cho:

2 Viếtx1 số 1 nếu bỏx1 quả bóng trắng vào lỗ thứ 1, sau đó viết 0 Tương

tự đến khi viết x9 số 1 nếu bỏ x9 quả bóng trắng vào lỗ thứ 9 Vậy mỗicách bỏ bóng trắng tương ứng 1-1 với mỗi bộ 2 số 1 (x1+x2+ +x9 = 2)

1 Tìm số nghiệm nguyên không âm

2 Tìm số nghiệm nguyên dương

Bài giải

1 Số nghiệm khi x1 + x2 + x3 + x4 = 9 bằng C123 (3 số 0, 9 số 1)

Khi x1 + x2 + x3 + x4 = 8 bằng C113

Tiếp tục như vậy, khi x1 + x2 + x3 + x4 = 1 bằng C43

Tiếp tục như vậy, khi x1 + x2 + x3 + x4 = 0 bằng C33

Đáp số:

n = C33 + C43 + C53 + + C123

= C40 + C41 + C52 + + C129

= C51 + C52 + C63 + + C129

Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 19 Một tổ có 7 học sinh nam, 3 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cáchxếp tổ thành một hàng ngang mà không có 2 học sinh nữ nào ngồi cạnhnhau

Bài 20 Có bao nhiêu cách xếp 7 nam, 3 nữ ngồi xung quanh một bàntròn 10 ghế sao cho không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau

(Vì ghế thứ 2 không thể xếp nữ) Vậy số cách chọn thêm 2 vị trí bằng

C62 (chọn 2 số phân biệt trong 6 số)

Bài 21 Xét tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có thể lập được bao nhiêu

số có bảy chữ số gồm 5 chữ số phân biệt khác không của A và 2 số 0 saocho giữa 2 số 0 có ít nhất 2 số khác 0

Bài giải

Ta cần 7 vị trí để xếp các chữ số cho một số Đánh số thứ tự các vị trí

từ 1 đến 7 Ta chọn ra 2 vị trí để viết số 0 tương ứng với 2 số a, b thỏamãn tính chất 4 ≤ a + 2 < b ≤ 7 (ta có a ≥ 2 vì số 0 không được đứngđầu) Vậy số cách chọn 2 vị trí bằng số cách chọn 2 số phân biệt trong 4

số từ 4 đến 7 Số cách chọn bằng C42 và tại các vị trí này ta viết số 0.Còn 5 vị trí còn lại có 5! cách xếp các số 1,2,3,4,5

Đáp số: n = C42.5!

Bài 22.Xét đa giác đều n đỉnh (n ≥ 12), hỏi có bao nhiêu tam giác

có 3 cạnh là 3 đường chéo Hỏi có bao nhiêu tứ giác có 2 cạnh là cạnh đagiác, 2 cạnh còn lại là 2 đường chéo

Suy ra số tam giác đỉnh A1 thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng Cn−42

Vì có n đỉnh và mỗi tam giác được đếm lặp lại 3 lần nên số tam giác thỏamãn yêu cầu của bài toán bằng d = nC

2 n−4

3 .

- Xét trường hợp tứ giác có 2 cạnh là 2 cạnh kề nhau cỉa đa giác Với mỗicặp 2 cạnh kề nhau ta cần chọn thêm một đỉnh ứng với số a thỏa mãn

5 ≤ a ≤ n − 1 Suy ra số cách chọn thêm 1 đỉnh bằng (n − 5)

Vậy số tứ giác có 2 cạnh là 2 cạnh kề nhau của đa giác và 2 cạnh còn lại

là đường chéo bằng d1 = n(n − 5) (Vì có n cặp 2 cạnh đa giác kề liềnnhau )

Trường hợp có 2 cạnh là cạnh đa giác không kề nhau Muốn có 2 cạnhcòn lại là hai đường chéo ta thực hiện như sau: Xuất phát từ một cạnh

ta đánh số liên tiếp từ 1 đến n Khi đó cạnh chọn thêm phải ứng với số

a: 4 ≤ a ≤ n − 2 Suy ra có (n − 5) cách chọn cạnh thứ 2 Vậy số tứ giác

có 2 cạnh là 2 cạnh không kề nhau của đa giác bằng d2 = n(n − 5)

Ta đánh số 10 vị trí để xếp các chữ số từ 1 đến 10 Khi đó 2 vị trí để xếp

số 2 tương ứng với 2 số a, b thỏa mãn 3 ≤ a + 2 < b ≤ 10

Để có 2 số a, b ta cần chọn 2 số phân biệt trong 8 số từ 3 đến 10 Vậy sốcách chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2 bằng C82, 8 vị trí còn lại có 8!

1.3.1 Nguyên lí bao gồm và loại trừ

Trong cuộc sống nhiều khi xuất hiện những bài toán phải tính số lượngcác phần tử của một tập hợp thông qua những tập hợp con của chúng.Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì ta dễ dàng thấy rằng

|A ∪ B| = |A| + |B|

Trong trường hợp A và B có giao khác rỗng thì đẳng thức trên khôngcòn đúng nữa

Xét hai tập hữu hạn A, B sao cho A ∩ B 6= ∅ Khi đó nếu ta lấy số

phần tử của A cộng với số phần tử của B thì số phần tử của A ∩ B đượcđếm 2 lần Suy ra

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Nhiều khi, bài toán ta gặp trở nên phức tạp hơn khi phải tính số phần

tử của một tập hợp có nhiều hơn hai tập hợp

Xét ba tập hữu hạn A, B, C sao cho A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C là các tậpkhác rỗng Khi đó các phần tử của A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C được đếm 2 lần,các phần tử của A ∩ B ∩ C dược đếm 3 lần Suy ra:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Trong nhiều trường hợp khác, chúng ta phải tính số phần tử của mộttập hợp gồm nhiều tập hợp con, và phần nhiều các bài toán này là cácbài toán khó với học sinh không hề được học công thức tính tổ hợp Mởrộng kết quả trên ta có định lí sau:

Định lí Cho trước các tập hợp A1, A2, An Khi đó ta có:

Sau đay ta xét một số bài toán minh họa:

Bài 1.Trong một bài kiểm tra Toán có hai bài toán Trong cả lớp có 30

em làm được bài thứ nhất và 20 em làm được bài thứ hai Chỉ có 10 emlàm được cả 2 bài toán kiểm tra Hãy tính số học sinh trong lớp

20 em giải được bài toán thức nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10

em giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được cả hai bài toán thứ nhất

và thứ ba, 5 em giải được cả hai bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giảiđược cả hai bài toán thứ nhất và thứ hai, và có một em được 10 vì đãgiải được cả ba bài toán Hỏi lớp học có tất cả bao nhiêu em?

Bài giải

Gọi A là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ nhất, B là tậphợp các em học sinh giải được bài toán thứ hai và C là tập hợp các emhọc sinh giải được bài toán thứ ba Ta phải tính số phần tử của tập hợp

A ∪ B ∪ C

Ta có

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Vậy số học sinh trong lớp bằng

20 + 14 + 10 − 6 − 5 − 2 + 1 = 32

Bài 3.Trong một kì thi học sinh giỏi Toán, Lí, Hóa có một số em thamgia Biết rằng có 20 em tham gia thi Toán, 14 em tham gia thi Lí, 10 emtham gia thi Hóa, 6 em vừa thi Toán vừa thi Lí, 5 em vừa thi Lí vừa thiHóa, 2 em vừa thi Toán vừa thi Hóa và có 1 em tham gia tất cả ba mônToán, Lí và Hóa Hỏi rằng có bao nhiêu em tham gia kì thi học sinh giỏinày?

Bài giải

Gọi A là tập hợp các em học sinh thi học sinh giỏi môn Toán, B là tậphợp các em học sinh thi học sinh giỏi môn Lí, C là tập hợp các em họcsinh thi học sinh giỏi môn Hóa Ta phải tính số phần tử của tập hợp

|M1 ∩ M2| = 3! = 6