Chứng minh rằng S,* là vị nhóm giao hoán.. đpcm Do đó X,* có tính kết hợp.
Trang 1Bài 1 Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1] Trên X xây dựng phép toán (*) sau:
a∗b= ab
1ab , ∀ a , b∈ X
Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm giao hoán.
Giải :
,
,
,b c X ta xét
∀
( ) a b c ( )a ab b c a++ab b++c ac+abc+bc
=
∗
( ) b c a ( )b bc c a ab b c ac abc bc
++ =
∗
=
∗
(a*b)*c=a*(b*c).
⇒
a a
có
ta
X
a
a
=
∈
∀
++0
1 0
0
*
: ,
a b b
a
có ta
X
b
a
ba a
b
ab b
*
: ,
,
1
=
∈
∀
++ ++
Từ đó ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán (đpcm)
Do đó (X,*) có tính kết hợp
0 là phần tử trung hòa của (X,*)
Do đó (X,*) giao hoán
Trang 2Bài 2 Trong tập X = N×N, ta định nghĩa một phép toán (*) như sau:
(m,n)*(k,l)=(m+k,2kn+l)
Chứng minh rằng:
a) (X,*) là vị nhóm
b) Phép toán (*) trong X là chính quy
Giải
a) Giả sử (m,n), (k,l) và (p,q) ∈ X Ta có:
[(m,n)*(k,l)]*(p,q) = (m+k,2kn+l)*(p,q)
= (m+k+p,2p+kn+2pl+q) (m,n)*[(k,l)*(p,q)] = (m,n)*(k+p,2pl+q)
= (m+k+p,2p+kn+2pl+q)
Do đó (X,*) có tính kết hợp
∀(m,n) ∈ X, ta có:
(m,n)*(0,0) = (m+0,20n+0)
= (m,n)
Do đó (0,0) là phần tử tung hòa của (X,*)
Từ trên suy ra (X,*) là một vị nhóm
b) Giả sử (a1,a2), (b1,b2) và (c1,c2) ∈ X, ta xét:
(a1,a2)* (b1,b2) = (a1,a2)* (c1,c2)
⇔( a1+ b1,2b
1 a2+b2) = (a1+c1,2c
1a2+c2)
Từ trên dễ dàng suy ra: (b1,b2) = (c1,c2)
Do đó (*) là chính quy