Tóm Tắt Lý Thuyết Toán 12 (Luyện thi đại học)

Chia ra làm 2 quá trình rõ rệt : Quá trình học và Quá trình luyện đề. Để cho kỳ thi thật tốt và tâm lý tự tin khi đi thi chúng ta cần phải thực hiện tốt 2 quá trình trên.Quá trình tự học chúng ta làm theo các nguyên tắc nêu trên. Sau khi học hết chương trình các bạn bắt đầu luyện đề. Ban đầu khi luyện đề chúng ta sẽ làm khá là chậm và sai khá là nhiều.

MATH-EDUCARE

MỤC LỤC

Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3

Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số 3

Bài 2: Cực trị của hàm số 4

Bài 3: Giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhấtcủa hàm số 9

Bài 4: Tiệm cận 10

Bài 5: Khảo sát hàm số 11

Bài 6: Một số bài toánliên quan đến hàm số và đồ thị 13

Chương II HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ VÀ HS LOGARIT 24

Bài 1: Mũ, lũy thừa và logarit 24

Bài 2: Phương trình mũ 27

Bài 3: Phương trình logarit 28

Bài 4: Bất phương trình mũ, lôgarit 29

Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 29

Bài 1: Nguyên hàm 29

Bài 2: Tích phân 33

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân 35

Chương IV SỐ PHỨC 38

Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY 40

Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 42

Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian 42

Bài 2: Phương trình mặt cầu 45

Bài 3: Phương trình mặt phẳng 49

Bài 4: Phương trình đường thẳng 54

Bài 5: Vị trí tương đối 61

Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt 64

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI 67

Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 67

Bài 2: Công thức lượng giácvà phương trình lượng giác 71

Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác 79

Bài 4: Đạo hàm 81

Phụ lục 83

MATH-EDUCARE Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f x g x , x a b ta qua các bước sau: ; 

1 Biến đổi: f x g x , x a b,  f x g x 0, x a b , 

2 Đặt h x  f x g x  

3 Tính h x và lập bảng biến thiên của '  h x Từ đó suy ra kết quả  

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y f x luôn luôn tăng (hoặc luôn  

luôn giảm) trên miền xác định

cx d luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng

khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y' 0 (hoặc y' 0 )  x D

a

f(x) f'(x) x

+-

xo ba

f(x)f'(x)x

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

a) Nếu f" x o 0thì x là điểm cực tiểu o

b) Nếu f" x o 0thì x là điểm cực đại o

Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước

Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:

Giả sử y f x có đạo hàm tại điểm   x x o

Khi đó nếu y f x đạt cực trị tại điểm   x x thì o f x' o 0

Chú ý: Nếu f x' o 0thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm xx o

Do đó khi tìm được m thì phải thử lại

- Nếu (C) có hai điểm cực trị

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y x

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x : 0

x x

a

với x x là nghiệm của 1, 2 y' 0

Bài tốn 10: Điều kiện để hàm bậc 3 cĩ CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng dấu:

y a

* Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2là hai điểm cực trị Ta cĩ y x   1 y x2 0

(trường hợp trái dấu thì ngược lại)

Chú ý: Hàm số viết thành: yP x y  'mx n (lấy hàm số chia cho đạo 

* Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)

* cựctrị đạo hàm củaTS 2 

đạo hàm của MS

ax b y

m rồi thay x cực trị vào phân số này ta

cĩ ycựctrịtương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ

Bài tốn 13: Tìm m để hàm trùng phương yax4bx2c cĩ 3 điểm cực trị

lập thành một tam giác cân:

y

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác Tính diện tích tam giác đó:

* Tính y , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C '

* Tính diện tích tam giac ABC theo công thức: 1 

| ' ' |2

x b

a b

Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn a b ; 

Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận

Bài toán 3: Tìm m để phương trình f x m có nghiệm trên D:

Xét hàm số y f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ  

x y y thì đường thẳng  y y là tiệm cận ngang 0

* Nếu hàm số viết thành    Soá dö

x thì đường thẳng yax b là tiệm cận xiên 

* Đường thẳng yax b gọi là TCX của hàm số 

x

x

f x a

3 Cho M thuộc (C) Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận:

* Gọi M x f x 0;  0  C Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)

* d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số

MATH-EDUCARE Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Suy ra chiều biến thiên của hàm số

b) Tìm cực trị

c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)

d) Lập bảng biến thiên

* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT

3 Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Cho hai đường cong  C1 :y f x   , C2 :yg x  

Để xét sự tương giao giữa    C1 , C ta lập phương trình hoành độ giao 2

điểm f x g x (1)  

1  C không có điểm chung với 1  C2  pt (1) vô nghiệm

2  C cắt 1  C2 tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân biệt Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của  C và 1  C2

Chú ý:

* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng Ax2Bx C 0.Ta biện

+  0 : có hai giao điểm

* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng ax3bx2cx d 0 Đưa phương trình này về dạng:

Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

3 Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp

Chú ý: yg m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại  điểm có tung độ bẳng g m  

x y

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:

Phương trình tiếp tuyến của (C): y f x tại điểm   M x y o; o   C là:

 0 ' 0  0

Trong đó: + M x y 0; 0gọi là tiếp điểm

+ k f x' 0 là hệ số góc của tiếp tuyến

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng yax b thì  k a

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng yax b thì   k 1

3 Phương trình tiếp tuyến là yk x x0y 0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  (090 ):

1 Gọi  , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  ) với chiều dương trục hoành Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó

2 Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến

3 Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến

Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương yax4bx2c cắt Ox tại 4

điểm phân biệt:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

P S

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

P S

t t a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều kiện (*)

được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*)

Bài toán 8: Tìm m để d: ym cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*)

Bài toán 9: Tìm m để d: ym cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

A

(*)

Bài toán 10: Tìm m để d: yax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng 

0

A

với là nghiệm

của mẫu số và x x là 2 nghiệm của (1) 1, 2

Bài toán 11: Tìm m để d: yax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng 

hai nhánh khác nhau của (C)

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d Biến đổi phương trình này về dạng Ax2Bx C 0(1)

* Điều kiện ycbt được thỏa là  

0

A

với là nghiệm

của mẫu số và x x là 2 nghiệm của (1) 1, 2

Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y f x mà tại đó tiếp tuyến vuông  

góc với đường thẳng yax b 

* Gọi M0x y0; 0   C Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là 0 f x ' 0

Giải phương trình f x' 0 a 1 Từ đây tìm được x và có được 0 M 0

Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y f x đều không qua giao  

điểm hai tiệm cận:

* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:

Tiệm cận xiên (hay TCN)

* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng cĩ tiếp tuyến Từ

đĩ ta cĩ điều phải chứng minh

Bài tốn 14: Cho M C , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A,

B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận CMR M là trung điểm của AB Tính diện tích tam giác IAB:

* Gọi M x f x 0;  0  C Phương trình tiếp tuyến tại M là

 0 ' 0  0   ' 0  0  0

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B

* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận

* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh

* Tìm hệ số gĩc của tiếp tuyến tại điểm uốn I x y là  0; 0 f x ' 0

* Gọi hệ số gĩc của tiếp tuyến bất kì là f x Ta chứng minh ' 

   0

f x f x (trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại)

Bài tốn 16:Tìm những điểm trên đường thẳng  :  y y mà từ đĩ cĩ thể kẻ 0

được 2, 3 tiếp tuyến đến (C):

* Gọi M a y ; 0    Viết phương trình d qua M và cĩ hệ số gĩc k là:

từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) cĩ 2,3 nghiệm

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B

* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận

* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh

* Do x, y nguyên nên Mẫu số =  ước của Số dư

Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:

* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ phương trình    

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi A x y 0; 0 ,B x0;y0là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương trình Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm

Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm I x y làm tâm đối xứng:  0; 0

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ

Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng xx làm trục đối xứng: 0

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ

Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

* Tìm tọa độ điểm M x y theo một tham số  ;   

* Khử m từ hệ trên ta được phương trình F x y ; 0

* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m

để tìm điều kiện của x hoặc y

Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình

 ; 0

F x y thỏa điều kiện ở bước 3

Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ  C m luôn đi qua:

* Biến đổi phương trình y f x m về dạng  ,  Am B 0 (hay

0

0

A A

hay B B

* Lập bảng biến thiên của hàm số yF x  

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy

ra kết luận đối với (1)

Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để nghiệm của phương trình, hệ phương trình, thỏa điều kiện cho trước nào đó

và một số bài toán khác về tìm m

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:

* Từ đồ thị hàm số y f x C suy ra đồ thị hàm số    y f x   C '

1 Vẽ (C)

Chương II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ

VÀ HÀM SỐ LOGARIT

MŨ, LŨY THỪA VÀ LOGARIT

1 Lũy thừa, căn bậc n:

a a a

b b

* n m a mn a

* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: 

m

n m n

*Neáu 1thì: log log

*Neáu 0 1thì: log log

Cho a x x, ,1 2 0,a1.Ta có: logax x1 2loga x1loga x 2

* Logarit của một thương:

* Logarit của một lũy thừa:

Cho a b, 0,a1 Ta có: log k  log   

c

b b

- log a thường được viết là 10 lga hoặc log a

* Logarit tự nhiên:

- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên e2,71828 

- loge a thường được viết là lna

Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit:

ln

a

u u

 /  'log

ln

a

u u

t t b

Dạng 3: A a x B b x C0 với a b x x 1

Đặt: a x t t 0 Khi đó: x 1

b t

3 Phương pháp logarit hóa: Với M0,0a1. Ta có:

     log

f x

a

4 Phương pháp dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất

Giả sử y f x và   yg x là hai hàm số liên tục:  

* Cho y f x tăng và   yg x giảm Khi đó phương trình   f x g x  nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

* Cho y f x là hàm tăng (hoặc giảm) Khi đó phương trình   f x k

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

* ya tăng nếu  1 x a và giảm nếu 0 a1

4 Phương pháp dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất (tương tự phương trình mũ)

* Với 0 a1thì hàm số y loga x làm hàm giảm

* Với a1thì hàm số y loga x làm hàm tăng

MATH-EDUCARE BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT

Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit thì cần chú ý:

1 Điều cần xác định của bất phương trình

2 Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1 thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số nghịch biến

Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số   f x trên khoảng  

a b nếu với mọi x thuộc ;  a b , ta có: ;  F x'  f x  

*  2  cot 

sin

dx

x C x

* 2 tan cos

dt

t C t

* 2  cot sin

dt

t C t

- Dạng 5: e ax b sina x b dx hoặc '  ' e ax b cosa x b dx '  '

Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u e ax b

* Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi

lượng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn giản, dễ tìm

* Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng  

cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B

mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B,C

Từ đó biến đổi được bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn để tính

* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức

* Phương pháp đổi biến loại 1:

MATH-EDUCAREb) Dạng 2:  1 2

b

a

dx x

trên đoạn a b Diện tích hình ; 

phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và

hai đường thẳng xa x, b được

tính bởi công thức:

8 chữ vàng cần nhớ đối với bài toán tích phân:

Đổi biến: “LỐC, CĂN, MẪU, MŨ”

Từng phần: “LỐC, ĐA, LƯỢNG, MŨ”

- Để tích tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối có 2 cách:

+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân để bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo tính chất   



, neáu 0,neáu 0

3 Tính thể tích vật thể tròn xoay trục Ox:

Cho hàm số y f x (C) liên tục trên đoạn   a b Nếu hình phẳng giới ; hạn bởi các đường (C), x=a, x=b, trục Ox quay quanh trục Ox thì thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:

MATH-EDUCARE Chương IV SỐ PHỨC

'

z z

4 Biểu diễn hình học của số phức:

* Cho số phức z a bi , điểm  M a b trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là  ; điểm biểu diễn cho số phức z

* Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm  M a b Độ dài của  ; vectơ

7 Số phức nghịch đảo, chia hai số phức:

- Số phức nghịch đảo của số phức z a bi là một số phức, kí hiệu là: 

z z z

z z (nhân tử và mẫu cho z ) '

8 Phương trình bậc hai hệ số thực trên tập  :

Cho phương trình ax2bx c 0a0; , ,a b c  Gọi  b24ac :

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực:   

2

b x

a

+ Nếu  0 phương trình có một nghiệm thực:  

2

b x a

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phức:    

b

9 Chú ý: Khi giải các bài toán tìm số phức z, hay tìm tập hợp điểm biểu diễn

số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài cho ta thường gọi z=x+yi rồi dựa vào dữ kiện của đề bài để giải quyết ycbt



MATH-EDUCARE THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRỊN XOAY

I Thể tích khối đa diện:

1 Thể tích khối lập phương cạnh a: Va (đvtt) 3

2 Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a,b,c là Va b c (đvtt)

3 Thể tích khối lăng trụ cĩ diện tích đáy là B, chiều cao là h là; VB h .(đvtt)

4 Thể tích của khối chĩp cĩ diện tích đáy B, chiều cao h là: 1

Cho hình nĩn N cĩ chiều cao là h, đường sinh l , bán kính đáy R

- Diện tích xung quanh của hình nĩn: S xq  Rl (đvdt)

- Diện tích tồn phần: S tp S xqSđáy  Rl R 2

- Thể tích khối nĩn: 1 2

3

V R h (đvtt)