b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tơng ứng của x.. Chứng minh rằng b3 – a3 viết đợc dới dạng tổng của ba số chính phơng.. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC củ
Trang 1Phòng gd & đt bỉm sơn
Trờng THCS Hà Lan đề thi học sinh giỏi môn toán Năm học: 2010 2011–
Thời gian: 150 phút
đề bài:
Câu 1: (3 điểm).
Cho các biểu thức
5 4
1 2 2
2
+
−
+ +
=
x x
x x
3 5
10 8 2 2 3
2
−
−
−
+
−
=
x x x
x x B
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức B
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tơng ứng của x
c) Tìm giá trị của x để A.B < 0
Câu 2: (5 điểm).
Giải các phơng trình sau:
a) x8 −2x4 +x2 −2x+2=0
b)
5
6 40 13
3 15
8
2 6
5
1
2 2
+
−
+ +
−
+ +
x
c) x-11 x-12 x-33 x-67 x-88 x-89+ + = + +
Bài 3: (4 điểm)
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A chia hết cho B
Biết A = 10x2 - 7x - 5 và B = 2x – 3
Bài 4 ( 3 điểm)
a) Tìm a, b, c ∈ Z biết: a2 + b2 + c2 + 4 ≤ ab + 3b + 2c
b) Cho hai số tự nhiên a và b trong đó a = b – 2
Chứng minh rằng b3 – a3 viết đợc dới dạng tổng của ba số chính phơng
Bài 5: (5 điểm)
Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng ở A và điểm H di chuyển trờn BC Gọi E, F
lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng
b) Chứng minh BEFC là hỡnh thang Cú thể tỡm được vị trớ của H để BEFC
trở thành hỡnh thang vuụng, hỡnh bỡnh hành, hỡnh chữ nhật được khụng?
c) Xỏc định vị trớ của H để tam giỏc EHF cú diện tớch lớn nhất
Đáp án- Thang điểm chấm thi học sinh giỏi
Môn : Toán Lớp 8–
Trang 2(3
điểm
)
−
≠
≠
⇔
≠ +
−
⇔
≠
−
−
−
⇔
1 3
0 ) 1 )(
3 (
0 3 5 2
2 3
x x
x x
x x x
b) Biến đổi
1 ) 2 (
) 1 ( 2
2
+
−
+
=
x
x
Lại có
0 ) 1 (
0 1 1 ) 2 ( 2
2
∀
≥ +
∀
≥ +
−
x x
x
Từ (1) và (2) suy ra A≥ 0 ⇒MinA= 0 ⇔x= − 1
0,5đ
0,5đ 0,5đ c) Biến đổi
3
2
−
=
x B
A với x≠ 3 ;x≠ − 1
Suy ra
−
≠
⇔
−
≠
≠
−
⇔
−
≠
≠
−
⇔
1
3 1
; 3
0 3 1
; 3
0 3
2 0
.
x
x x
x
x x
x
x B
0,5đ
0,5đ
Cau
2: (5
điểm)
a) Phương trỡnh tương đương với
x− − + x− − + x− − = x− − +x− − + x− − (0,5 điểm)
Quy đồng suy ra:
100 100 100 100 100 100
Chuyển vế đưa về dạng: (x-100)( 1 1 1 1 1 1
89 88 67 33 12 11 + + − − −
) = 0
(0,5 điểm)
Lập luận trong ngoặc khỏc 0 suy ra x-100 = 0 (0,5
điểm)
điểm) b) Biến đổi phương trỡnh về dạng
(x8 – 2x4 + 1) + ( x2 - 2x +1) = 0
(0,5 điểm)
điểm) Lập luận từng ngoặc khụng õm chỉ ra dấu bằng khi x = 1 (1 điểm)
Trang 3Bài
3: (4
điểm)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
Biến đổi biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x4 + 2x3 +x2) + 2( x2 + x) +
1
(0,5 điểm)
= (x2 + x)2 + 2 (x2 + x) + 1 = (x2 + x + 1 )2 (0,5
điểm) Lập luận vỡ Q > 0 với mọi x vỡ vậy Q nhỏ nhất khi x2 + x
+ 1 nhỏ nhất
(0,5 điểm)
Chỉ ra x2 + x + 1 nhỏ nhất bằng 3
4 đạt khi x = 1
2
điểm)
Vậy Q min = 9
16 đạt khi x = 1
2
điểm)
Biến đổi A = 5x( 2x – 3) +4( 2x – 3) +7 (0,5
điểm)
Lập luận với x nguyờn suy ra 5x(2x-3) + 4(2x-3) là số
nguyờn và chia hết cho 2x-3 Suy ra để A chia hết cho B
thỡ 7 chia hết cho B
(0,5 điểm)
Hay 2x-3 là ước của 7
Ư(7) = -7; -1; 1 ;7
(0,25 điểm) Cho 2x-3 bằng Ư(7) suy ra x = -2; 1; 2; 5 và trả lời (0,25
điểm)
Bài
4: (3
điểm)
a) (3 điểm) Tìm a, b, c thuộc Z biết
a + + + ≤b c ab+ +b c
2 2 2
2
4 3 2 0 3
3 3 2 1 0
4 4
3 1 1 0
Vế trái là tổng bình phơng nên luôn ≥0 Vậy để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì:
2
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 4VËy
0
2
1
1 0
b a
a b
b c c
− =
=
b) (3 điểm)
b3- a3 = ( a + 2 ) – a3
= a3 + 6a2 + 12a + 8 – a3 = 6a2 + 12a + 8
= a2 + a2 + 4a + 4 + 4a2 + 8a + 4 = a2 + a2 + 4a + 4 + 4a2 + 8a +4 = a2 + (a + 2)2 + (2a + 2)2 (ĐPCM)
1,0 điểm
0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài
5: (5
điểm)
- Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ
hình sai không chấm bài.
a) ( 1 điểm)
F E
D I
C H
B
A
- Chỉ ra vì E đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của EH do đó ta có: ·EAI =IAH· tương tự
ta có ·FAD DAH= ·
(0,5diem)
Cộng vế với vế suy ra EAF· = 180 0 suy ra ba điểm E;A;F
thẳng hàng
(0,5 điểm)
b Chứng minh được ·EBC FCB+· = 2(·ABC ACB+· ) 180 = 0 (0,25
điểm) Suy ra EB // FC suy ra tứ giác BEFC là hình thang (0,25
Trang 5*Giả sử tứ giác BEFC là hình thang vuông suy ra
· 90 0
BEF = suy ra ·AHB= 90 0 hay AH là đường cao
Kết luận vị trí H
* Giả sử tứ giác BEFC là hình bình hành suy ra
BE=BH=FC=CH suy ra H là trung điểm BC kết luận
(0,25 điểm)
* Giả sử tứ giác BEFC là hình chữ nhật suy ra · 0
90
EBC=
45
EBA ABC= = suy ra tam giác ABC vuông cân
điều này không xảy ra
(0,25 điểm)
c) Lấy H bất kì thuộc cạnh BC gần B hơn Ta có SEFH =
2SAIHD (vì tứ giác AIHD là hcn)
(0,25 điểm)
Dựng hình chữ nhật HPQD bằng hình chữ nhật
AIHD
Suy ra SEFH = SAIPQ Dễ dàng chứng minh được SHIB =
SHMP
suy ra SEHF= SABMQ<SABC
Tương tự với H gần C hơn
(0,5 điểm)
Khi H là điểm chính giữa BC thì SEHF=SABC (0,5
điểm) Vậy SEHF ≤ SABC dấu bằng xảy ra khi HB=HC
I
D
C Q
M P
H
B
F
A
E
(0,25 điểm)
