ĐỀ THI THỬ ĐH LÂN 1 TRƯỜNG LIỄN SƠN VP KB

Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x +m cắt C tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của C tại hai điểm đó song song với nhau.. 1điểm Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN 1 TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN MÔN:TOÁN - KHỐI B

(Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7 điểm)

Câu I (2điểm) cho hàm số y =

2

3 2

−

+

x

x

(C).

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau

Câu II (2điểm)

1 Giải phương trình : sin3x + cos 3 x + sin3x cot x +cos 3 x tan x = 2 sin 2 x

2 Giải phương trình :( x2 – 6x +11) x2 −x+1 = 2(x2 – 4x + 7) x−2

Câu III (1điểm) Tính giới hạn :lim0

→

x x

x

2 sin

2 cos sin

2

Câu IV (1điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB= AC=a,

ngoại tiếp hình chóp SABC

Câu V (1điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2-a +2-b +2-c = 1.Chứng minh rằng

+ b+c a

a

2 2

4

+ + c+a b

b

2 2

4

b a c

c

+

+ 2 2

4

2 2

2a + b + c

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B)

A Theo chương trình chuẩn:

Câu VIa (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Cho đường tròn (C) x2 + y2 - 2x - 6y +6 = 0 và điểm M(-3;1).Gọi T1 và T2là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương trình đương thẳng T1T2

2 Cho A(1;2);B(0;0);C(-3;1).Xác định tâm phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu VIIa (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của

14

4

3 2

1







x

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb: (2điểm)

1 Cho đường tròn x2

+ y2 – 2x – 6y + 6 = 0 (C)và điểm M(2;4) Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB

2.Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1): 2x – y – 2 = 0, (d2): x + y + 3 = 0 Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B Viết phương trình đường thẳng (d) biết PA = PB

Câu VIIb: (1điểm) Giải hệ phương trình

2 2

x y 3 log x y log x y 1

 − =





SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1

MÔN TOÁN – KHỐI B

(Hướng dẫn chấm có 08 trang) Câu ĐÁP ÁN VẮN TẮT Điểm Câu I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = 2 3 2 − + x x (1 điểm) a T đk D=R | { 2}; b Sự biến thiên ; * Chiều biến thiên :y’ = ( 2 ) 2 7 − − x <0 mọi x ≠ 2 Hàm số là nghịch biến trong khoảng x∈ (-∞ ; 2) và (2;∞); * Cực trị : Hàm số không có cực trị 0.25 *Các giới hạn: ±∞ → xlim y = 2 3 2 lim − + ±∞ → x x x = 2, suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị ± → 2 lim x y = 2 3 2 lim 2 − + ± → x x x = ± ∞,suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị 0.25 * Bảng biến thiên: x -∞ 2 +∞

y’

y 2 +∞

-∞ 2

0.25 C Đồ thị : Giao của đồ thị với trục tung tại điểm ( 0; 2 3 − ); Giao của đồ thị với trục hoành tại điểm ( 2 3 − ; 0); Tâm đối xứng I (2;2); y

0 x

0.25

2

2

2 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt

( C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó

song song với nhau.(1 điểm)

Đường thẳng y = x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến

của (C) tại hai điểm đó song song với nhau

−

+

2

3 2

x

x

x +m (1)có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện y’(x1)= y’(x2) với y là hàm số đã cho

0.25

(1)⇔ x2 + (m - 4 ) x - 2m -3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (

2

≠ ) và thỏa mãn x1+x2 = 4;

0.25

∆ > 0 ∀x

⇔ 2.22 + ( m-6) 2 – 2m-3 ≠ 0 ⇔m = -4

4

4 2

m

Kết luận: m = -4 thỏa mãn điều kiện đầu bài

0.5

Câu

II

1.

Giải pt

sin3x + cos 3 x + sin3x cot x +cos 3 x tan x = 2 sin 2 x (1)

cos x ≠0

Đk sin x ≠0 ⇔ sin 2x > 0

Sin 2x ≥ 0

0.25

(1)⇔(sin x +cos x)(sin2 x –sin xcos x +cos2 x )+ sinx cosx(sinx+cosx)=

x

2 sin

2

sin x +cos x ≥ 0 sin (x+

4

π ) ≥ 0

⇔ ⇔

1 + sin 2x = 2sin 2x x = π 2 π

4

5

k

+

⇔ x =π 2 π

0.25

Phương trình đã cho có nghiệm x =π 2 π

2 Giải phương trình :

( x2 – 6x +11) x2 −x+1 = 2(x2 – 4x + 7) x−2

Đk x≥ 2

Đặt x− 2 =a ≥ 0 và x2 − x + 1 = b >0;

Ta có x2 – 6x +11 = x2 –x +1 - 5 ( x-2 ) = b2 -5a2 ;

x2 -4 x +7 = x2- x + 1- 3(x-2) =b2 – 3a2 ;

0.25

phương trình đã cho tương đương với

(b2 -5a2 ) b = 2 (b2 – 3a2 ) a

⇔6 a3- 5a2b -2ab2 + b3 = 0

⇔6 (

b

a

)3 – 5(

b

a

)2- 2 (

b

a

)2 +1 =0 (2)

0.25

Đặt

b

a

= t (t≥ 0);

⇔6 t3 - 5t2 - 2t2 + 1 = 0

⇔ t = 1

t =

-2

1

(loại)

t =

3 1

0.25

Với t = 1 pt vô nghiệm

Với t =

3

1

ta có b=3a ⇔x2 – 10x + 19 = 0 ⇔ x = 5 ± 6

Kết luận: x = 5 ± 6 là nghiệm

0.25

Câu

III

Tính giới hạn :lim0

→

x x

x

2 sin

2 cos sin

2

0

lim

→

→

x x

x

2 sin

2 cos sin

2

= lim0

→

x

x

2 sin

sin 2

+ lim0

→

x

x

x

2

2 sin

sin

= lim0

→

x

sin

2

+ 2 = 2 + 2

= 4

0.5

IV S

J

I

a

A C

O

a E

B

Gọi E là trung điểm của BC

0.25

3

3

a

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

O

0.5

hình chữ nhật ⇒ IA = OA2 +JA2 = a

6

Câu

VCh Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2-a +2-b +2-c = 1 Chứng minh rằng

+ b+c a

a

2 2

4

+ + c+a b

b

2 2

4

b a c

c

+

+ 2 2

4

2 2

2a + b + c

Đặt 2a = x > 0

2b = y > 0

2c = z > 0

Khi đó

z y x

1 1 1

+

Ta CM

4

2 2

xy z

z zx y

y yz x

+

+ +

+ +

Thật vậy

+ +

0.25

Ta có theo bất đẳng thức cô si

3

(1)

Tương tự

4

3 8

8 ) )(

(

x y z y

y

≥

+ +

+ + +

z x z y

0.5

Từ (1);(2)và(3) suy ra

4

) (

3 2

) )(

( ) )(

( ) )(

(

3 3

y z x z

z x

y z y

y z

y y x

+ +

+ + +

+ + +

⇒

+ +

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 3 hay a = b = c =

3 1

0.25

Câu

VI.a

1

Đường tròn (C) có tâm I (1;3) và bán kính R=2

MI =2 5 >R khi đó M nằm ngoài (C)

0.25

Nếu T(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)

T ∈ (C)

⇔

MT ⊥ IT

T ∈ (C)

⇔

MT → IT→ = 0

0.25

Mà MT→ = (x0+3; y0-1) , IT→ = (x0-1; y0-3)

Do đó: x02 + y02 – 2x0 – 6y0 + 6 = 0

(x0 + 3)(x0 -1) + ( y0 -1)(y0 -3) = 0

0.25

⇔ 2x0 + y0 – 3 = 0 (1)

Vậy tọa độ các tiếp điểm T1, T2 của các tiếp điểm kẻ từ M đến ( C )

đều thỏa mãn đẳng thức (1)

2

→

AB = (-1; -2) , BC→ = (-3; 1)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒ I(

2

1

; 1)

J(-2

1

; 2

3

)

0.25

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC là:

-3(x +

2

1 ( 1 ) 2

-3x -

2

1 2

9 + y− = 0

⇒ 3x – y + 5 = 0

0.25

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:

2

1 − − =

x

2

5

= (2)

0.25

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tọa độ O là nghiệm của

hệ:

3x – y +5 = 0 x =

-14

15

⇔

x + 2y

-2

5

= 0 y =

14 25

0.25

Câu

VII.a

14

4

3

2

1







x

14

C (3 x)14 +…+ C14k (3 x)14-k ( 4

2

1

x )k +…+ 14

14

C ( 4

2

1

x )14

Để hệ số không phụ thuộc vào x

⇔(3 x)14-k (41

x )k = 1

⇔ 14 k3

x

−

4

k

x− = 1

0.5

⇔

4 3

14−k − k = 0

0.25

Hệ số không phụ thuộc vào x là:

8

14 8

1 3003

Câu

VI.b

1

Từ phương trình:

x2 + y2 – 2x – 6y +6 = 0

⇔ (x – 1)2 + (y – 3)2 = 4

Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2

0.25

Do (d): qua M

MA = MB

→

nd (1; 1) phương trình đường thẳng (d): x – 2 +y – 4 = 0

(d): x + y – 6 = 0 0.5 2

Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB)

A ∈(d1) ⇔ 2xA – yA – 2 = 0 (1)

B ∈(d2) ⇔ xB – yB + 3 = 0 (2)

0.25

⇔ xA + xB = 2xP

yA + yB = 2yP

0.25

⇔ xA + xB = 6 (3)

yA + yB = 4 (4)

0.25

Từ (1), (2), (3) và (4)

⇒ A( )

3

16

; 3

11

3

16

; 3

7 − Phương trình (d): 8x – y – 24 = 0

0.25

Câu

VII.b

Điều kiện: x>y>0

x2 – y2 = 3 (1)

log3(x+y) = log5 5(x-y) (2)

Từ (1) ⇔ x – y = x+3y

0.25

Thay vào (2):

log3(x+y) = log 5 x +y

15

5 log

15 log

) (

log

3

3 3

y x y

0.25

log3 5 =

y x

y x

+

+

3

3

log

15 log

=

y x

y

x+ +

15

⇔ log315 = logx+y15

⇔

y

x+

=

15

15 log

1 3

log

1

0.25

⇔log15(x+y) = log153

⇔ x + y = 3 ⇔ x = 2

x – y = 1 y = 1

0.25

Lưu ý: Trên đây chỉ là một cách giải, nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho điểm tương ứng với điểm của đáp án