de thi HSG huyen Cat Tien

Tính độ dài hình chiếu của cạnh AB lên cạnh huyền.. Đường phân giác AD cua tam giác ABC ứng với gĩc trong A D ∈BC... Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.. l

PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO KHỐI THCS – VÒNG HUYỆN Năm học : 2010 – 2011

Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )

Câu 1: ( 6 điểm)

1.1> Tính giá trị của biểu thức (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3 )

A = 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975

( 1 điểm ) 1.2> : Thực hiện phép tính (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 )

3

( 1 điểm ) 1.3> : Tính C = 1 + 1 + 1 + + 1

1.4 4.7 7.10 2008.2011 (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 ) = 1 1 1

 − 

1.4> Cho A = 1193984; B = 157993

a) ƯCLN (A; B) = 583 ( 1 điểm )

b) BCNN (A; B) = 323569664 ( 1 điểm )

Câu 2 : x3 + 4x2 – 30x + 27 = 0

⇔(x – 3) ( x2 + 7x – 9 ) = 0

⇔

1

2

3

3

2

2

x

x

x





− +

 =





 − −

=



( 3 điểm )

Câu 3 ( 6 điểm ) :

Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có P(0) = 12; P(1) = 12; P(2) = 0; P(4) = 60

a) Xác định các hệ số a, b, c , d của P(x)

Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào đa thức P(x) ta có hệ phương trình

P(0) = d

P(1) = 1+ a + b + c + d

P(2) = 16 + 8a + 4b + 2c + d

P(4) = 256 + 64a +16b + 4c + d











( 3 điểm )

Vậy đa thức P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12

2010 −2.2010 −7.2010 +8.2010 12 16 306 138 543 392+ = ( 2 điểm ) c) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho (5x – 6)

r P=    = −   −   +  + =

B = 2,86993

A = 567,866

2 1 A

B

E

C

Câu 4 ( 5 điểm ) : Cho x + y = 12,12 và x + y = 84,8484 2 2 Tính x 3 + y 3

Ta cĩ (x + y)2 = 12,122 ⇔ x2 + y2 + 2xy = 146,8944

Suy ra 2xy = 146,8944 – 84,8484

xy = 31,023

lại cĩ x 3 + y 3 = ( x + y) (x 2 – xy + y 2 ) = 12,12 ( 84,8484 – 31,023) = 652,363848 Câu 5 ( 4 điểm ) : Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 0,9 dm AC = 1,2 dm Tính độ

dài hình chiếu của cạnh AB lên cạnh huyền

Ta cĩ BC2 = AB2 + AC2

BC = 1,5 ( dm)

Mà AB2 = BH BC

Suy ra BH = 0,92 : 1,5 = 0,54 (dm)

Câu 6 ( 4 điểm ) : Cho hàm số f(x) cĩ tính chất 





f(2) = 2008 f(a + b) = f(a) + f(b) với a, b tùy ý

Tính f(2010).

f(2010) = f(2 + 2008) = f(2) + f(2008) = f(2) + f(2) + f(2006) ( 2 điểm )

suy ra f(2010) = f(2) + f(2) + + f(2) = 1005 2008 = 2 018 040 ( 2 điểm )

Câu 7 ( 5 điểm ) : Tìm a, b, c biết :

2 2

(x -1)(x + 2) x -1 x + 2 x + 1

Quy đồng mẫu và dùng đồng nhất thức ta cĩ :

5x2 + 3x – 25 = a ( x +2) (x + 1) + b(x2 – 1) + c (x – 1) ( x + 2) ( 1 điểm )

⇔ 5x2 + 3x – 25 = ( a + b + c) x2 + ( 3a + c) x + ( 2a – b – 2c ) ( 2 điểm )

5

a b c

a c

a b c

+ + =





⇒ + =

 − − = −



⇔

17 6 11 3 23 2

a b c

−

 =



 −

 =





 =



( 2 điểm )

Câu 8 ( 5 điểm ) : Cho tam giác ABC cĩ AB = 4,56cm; AC = 6,78cm; BC = 5,46cm Đường phân giác AD cua tam giác ABC ứng với gĩc trong A (D ∈BC )

a/ Chứng minh : AD = AB AC - DB DC 2

Lấy điểm E trên tia AD sao cho µE C=µ

Xét Tam giác ABE và ADC cĩ :

µ µ

( )

A A gt

ABE ADC gg

E C



AB AE

AB AC AE AD

AD AC

Xét BDE∆ và ∆ADC cĩ :

µ µ

BDE ADC

E C



đối đỉnh

BD DE

BD DC AD DE

AD DC

Trừ vế cho vế (1) và ( 2) ta được

AB.AC – BD DC = AD.AE – AD.DE = AD( AE – DE )= AD2

Hay AD2 = AB AC- DB.DC ( 1 điểm )

B

H

1005 số hạng

b/ Tính AD ?

6,78

DB AB

DC = AC = ( AD là phân giác ) Suy ra 4,56

6,78

Mà : DB DC BC+ = =5, 465

4,56

5, 46 3, 264444444( ); 2,195555556( ) 6,78DC DC+ = ⇒DC= cm DB= cm

AD= AB AC DB DC− = cm ( 1 điểm )

Câu 9 : Cho tam giác đều có độ dài một cạnh là a = 2010,2011 ( cm ) Tính bán kính đường

tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 )

Gọi h là chiều cao của tam giác đều

Khi đó h = 3 1005,10055 3

2

r = 1 1.1005,10055 3

3h=3 ≈ 580,29507 ( cm ) ( 1,5 điểm )

R = 2 2.1005,10055 3

3h=3 = 1160,59015 ( cm ) ( 1,5 điểm )

Câu 10 ( 7 điểm )

Cho dãy số với số hạng tổng quát sau :

n

(10 + 3) - (10 - 3)

U =

2 3 với n = 1, 2, 3, … , k

a) Tính các giá trị U 1 , U 2 , U 3 , U 4

U1 = 1; U2 = 20; U3 = 303; U4 = 4120 ( 3 điểm )

b) Lập công thức truy hồi tính U n+2 theo U n+1 và U n

Giả sử U n+2 = a U n+1 + b U n + c

Thay n = 0; 1; 2 vào công thức ta có :

U aU bU c

U aU bU c

U aU bU c







⇔

20 1 0

303 20 1

4120 303 20

a b c







⇔

20

a c

a b c

a b c

+ =



 + + =





⇔

20 97 0

a b c

=



 = −



 =



( 2 điểm )

Vậy U n+2 = 20 U n+1 -97 U n

c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n rồi tính U 5 , U 6 , , U 10

Quy trình bấm phím :

Ấn 20 SHIFT STO A x 20 – 97 x 1

SHIFT STO B

Lặp đi lặp lại dãy phím

x 20 – 97 x ALPHA A SHIFT

STO A

x 20 – 97 x ALPHA B SHIFT

U5 = 53009 ; U6 = 660540 ; U7 = 8068927 ; U8 = 97306160;