Viết phương trình tiếp tuyến d của ñồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn: cos ˆ 5 26 BAI =.. Gọi O là giao ñiểm AC và BD.. Tính thể tích k
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
ĐỀ SỐ 18
1
x y x
−
= + (C)
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
2) Gọi I là giao của hai ñường tiệm cận của ñồ thị Viết phương trình tiếp tuyến d của ñồ thị hàm
số biết d cắt tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn: cos ˆ 5
26
BAI =
Câu II)
3 sin 2x−3sinx + =3 2 cos x+3cosx−2 2) Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: ( ) 2 2
m x+ x + = x + x+
Câu III)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số (3 )
1 ln
y= x+ x trục hoành và ñường thẳng
3
x=e
AB=BC =a AD= a, SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy,
SB tạo với (SAC) góc 600 Gọi O là giao ñiểm AC và BD Giả sử mặt phẳng (P) qua O song song với SC cắt SA ở M Tính thể tích khối chóp MBCD và xác ñịnh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SACD
Câu V) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn: a+b+c=1 Tìm GTLN của biểu thức
2
bc
P= a bc+ +
Câu VI)
1) Trong mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng d: 3x+4y−25=0, Xét ñiểm M thuộc (d) trên tia
OM lấy ñiểm N sao cho OM.ON=1 Chứng minh N chạy trên một ñường tròn cố ñịnh Viết phương trình ñường tròn ñó
2) Trong không gian Oxyz cho các ñiểm A(1;0;0); B(2;-1;2), C(-1;1;3) và ñường thẳng
:
x− y z−
− Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ∆ ñi qua ñiểm A và cắt mặt phẳng
(ABC) theo ñường tròn có ñường kính nhỏ nhất
9
4
x x
x
−
−
−
GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088-01256813579
Trang 2ĐÁP ÁN KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỀ SỐ 18
GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Câu I)
1) Học sinh tự làm
2) Ta có
Véc tơ pháp tuyến của d là:
( )2 0
5
; 1 1
n x
= − +
Phương trình của hai ñường tiệm cận của (C) lần lượt là:d1:x= −1;d2:y=3
Tam giác ABI vuông tại I nên BAI là góc nhọn vì vậy
2
0 0
4 0
5
2 ( 1)
1 ( 1)
x x
n i
x
=
+
= −
+ +
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là:y=5x−2;y=5x+2
Câu II)
1) Giải:
2
3 sin 2 3sin 3 2 cos 3cos 2 3 sin 2 3cos 2 1 sin 3 3 sin 5
2
3
x k x
= +
ℤ
10x +8x+ =4 2 2x+1 +2 x +1
Phương trình tương ñương với
2
m
2x+ =1 − < ≤ =2t2+2
Trang 3Hoành ñộ giao ñiểm của hai ñồ thị là nghiệm của phương trình: (3 ) 1( )
1 ln 0
1
x L
x x
x
= −
+ = ⇔
=
S =∫ x+ x dx=∫ x+ xdx Đặt
3
3 4
1 ln
3
4
du dx
x dx dv
v x x
=
=
⇒
+ =
3
1
e
S x x x x dx e e x x + +
Câu IV)
- Gọi H là trung ñiểm AC suy ra SH vuông góc với mp(ABCD) Gọi E là trung ñiểm của AD thì ABCE là hình vuông nên H là giao ñiểm của AC và BE 2
2
a BH
6
a BSH = ⇒SH =BH =
Ta có O là trọng tâm tam tam giác BEC nên 2 1
OC= CH = AC Qua O kẻ ñường thẳng song
song với SC cắt SA ở M thì 1
3
SM = SA; Hạ MJ vuông góc với AC thì 2 2 6
a
MJ = SH =
Vậy
3 2
MBCD
V = MJ dt BCD = a =
- Tam giác ACD vuông tại C nên E là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Dựng Ex vuông góc với ñáy (Ex//SH) thì Ex là trục ñường tròn (ACD)
Gọi K là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC thì K thuộc SH Qua K dựng ñường thẳng Ky vuông góc với (SAC) (Ky//HE) Ta có I =Ky∩Ex là tâm mặt cầu ngoại tiếp SACD
Ta xác ñịnh K như sau: Kẻ trung trực Nz của cạnh SC cắt SH ở K thì K là tâm vòng tròn ngoại tiếp SAC
Trang 4x
H
C O
M
N
K
I
D E
B
A
S
Ta có
3
a
C= ⇒K C = ⇒SK =SA= SH +BH =
a a a
HK EI SK SH
R =IA =EI +AE = +a = ⇒R=
Câu V)
2 2
a b c
a bc a b a c a b a c
+ + +
1
b c
bc bc + +
Cộng hai bất ñẳng thức cùng chiều ta có
Trang 51) Theo giả thiết ta có OM ON,
cùng hướng nên M N ( 0)
x kx
k
y yx
=
>
=
Ta có
OM ON OM ON x x y y kx x ky y x y
k
25
N N
x y
x y kx ky
k
+
Từ (*) và (**) suy ra x N2+y N2 3 4 0
25
x + y
Vậy ñiểm M luôn thuộc ñường tròn (C): 2 2 3 4 0
x +y − x− y=
1 ; 2 ; 2 2 ; ( ; 2 ; 2 2 ) 9 8 4
I −t t + t IA t − t + t ⇒R = t + +t
Ta có AB(1; 1; 2),− AC( 2;1; 3)− −
Mặt phẳng (ABC) có VTPT n= AB AC, = − −(1; 1; 1)⇒mp ABC( ) :x− − − =y z 1 0
/ ( )
2 5
3
I ABC
t
d = + ⇒r =R −d = t + + −t + = + + ≥
Từ ñó ta suy ra bán kính nhỏ nhất của vòng tròn giao tuyến là 2 khi 2
1 (2; 2; 0); 5
t= − ⇒I − R =
Phương trình mặt cầu là: 2 2 2
(x−2) + +(y 2) +z =5
Câu VII)
Ta có ( ) 9 2 ( )2 9 2
+ = + Điều kiện 9−x2≥ ⇔ − ≤ ≤0 3 x 3 Bất phương trình tương
2 9
x x
−
−
2
Vậy bất phương trình có nghiệm là: 4 2 4 2
− ≤ ≤ +