ứng dụng hàm số giải phương trình và hệ phương trình

ứng dụng hàm số giải pt và hệ pt là một phương pháp rất hay xuất hiện trong các đề thi hiện nay

Trang 1

GI I PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH( S D NG O HÀM)

Bài 1: Gi i ph ng trình

1 3

2 3

22x + 2x = x + x+1+x+

Gi i:

Ta có f(x)=2x+3x+x t ng trên R, nên ph ng trình t ng đ ng

) 1 ( )

2

( = f x+

Hàm s g(x)=2x −(x+1)xác đ nh trên R

x x

g x

g/( )=2xln2−1⇒ /( )≥0⇔ ≥log2 log2

V y ph ng trình có nhi u nh t 2 nghi m trên (−∞ ; log2(log2e)) v (log2(log2e) ; +∞)

Th tr c ti p tìm đ c hai nghi m là x=0 ; x=1

1 5

1 4 3 1

2 log5⎜⎝⎛ − − + + − − ⎟⎠⎞= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1−

x x

Gi i :

i u ki n x≥1 t t= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1≥0(ch ng minh)

ph ng trình t ng đ ng log5( +1)=5t −1

t

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

=

+

=

⇔

−

=

−

+

=

⇔

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

⇔

t y

t t

y

y t

y t t y

t

1 5

(*) 5

5

1 5

1

5

1

5

0

=

⇔ t

0 1 1 4 3 1

−

5

2≤ ≤

4 24 4

2 2

x

Gi i :

0 2 12 2

Xét hàm s y=x4 −4x3−2x2 +12x−2⇒ y/ =4x3−12x2 −4x+12

L p b ng bi n thiên, suy ra hàm s có tr c đ i x ng x =1

Do đó đ t x = X +1, ta có ph ng trình

⎢

⎣

⎡

+

±

=

−

±

=

⇔

= +

−

11 4 1

11 4 1 0

5

8 2

4

x

x X

X

x)2 4cos 3.4cos cos

1

Gi i :

t cosx=y −1≤ y≤1

1

⇔

t

4 2

4 4 ln 6 ) ( 1 4

2

4 3

)

+

=

⇒

−

− +

=

y

y y

y

y f y

y

f

Trang 2

( )2 /

4 2 4 4 ln 16

0

)

y

ây là ph ng trình b c hai theo y

4 , nên có không quá 2 nghi m V y theo đ nh lý Roolle

ph ng trình f(y)=0 có không quá 3 nghi m

2

1 ,

y là 3 nghi m c a ph ng trình f(y)=0

3

2 ,

k

1 3 1

2 4

2

+ +

+

x x x

x x

Gi i :

2 4 1 2008

2008 1

2

6

2

2 2 4

1 2 6

+

= + +

⇔

=

+

+ +

x x

x

x x

f( )= 2008 t ng trên R

Gi i ph ng trình x6−3x2 −1=0⇔u3−3u−1 u≥0 ph ng trình ch có nghi m trong (0,2)

t

2 0

cos

2 < <π

u

2

1 3 cos =

Suy ra ph ng trình có nghi m

9 cos

±

=

x

x x

cos sin

2

5 sin 2

5

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Gi i :

Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghi m Xét

2

π

k

x≠

x x

cos 2 5 sin

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⇔

5 )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

t t f

t

Hàm s f (t)ngh ch bi n

Suy ra x= x⇔ x=π +kπ

4 cos

sin

3 2 2 3 2

5 4 log

) 2 (

2 2

+

+ + +

x

x x x

Gi i :

k 2x+3>0

log 1

)

2

t f(t)=t+log2t (t>0)

T ng t

Trang 3

Ph ng trình có nghi m x=−1

x x

x

1975

cos

1 sin

1 cos

Gi i :

x

x x

1975

cos

1 cos

sin

1

1 cos

;

1

sinx = x = không là nghi m c a ph ng trình

t hàm s ( )= 1975 − 20071 t∈(−1;0)∪(0;1)

t t t f

Ta có /()=1975 1974 +20072008 >0

t t t

) ( : ) 0

; 1

t∈ − ch nh n giá tr d ng

) ( : ) 1

;

0

t∈ ch nh n giá tr âm

Nên f x = f x ⇔ x= x⇔ x=π +kπ

4 cos

sin ) (cos )

(sin

x x

x x x

2

cos 2 cos 3 sin sin 2 2 cos 2 cos sin

2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

Gi i :

x

2

cos 2 cos 2

cos cos

2 2 cos 2 cos cos

2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

cos 2 cos cos

2 cos 2

cos 2 cos 2 cos 2

2

2 cos 2 )

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

t

f (t) gi m

3 cos

2 cos ) (cos )

2

x x x

x f

x

) 376 34

(

x x

Gi i :

t t =x2 −34x+376 (t≥87)

) 256 256 ( log 256 2 2 35 ) 2

(

log

2t t3 2 t t3 = 283 = 256 3 2 t 3

⇔

Hàm s ( ) 2 log (2 3)

2 3

t t

t

f = t t đ ng bi n trên [1; +∞)

4

; 30 256

376 34

=

) 1 6 cos 2 cos 4 ( log 2 cos 2

1 2

4

2 sin 2

−

− +

= +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

x x

x

Gi i :

Trang 4

t 1)

3

1 ( 2

y

) 1 3 ( log 2

1

y y

y

t t =log2(3y−1)⇔2t =3y−1 (t≤1)

y

t

y

+

= +

⇔

⎩

⎨

⎧

−

=

− +

=

2 2

1 3 2

1 2

2

Xét hàm s g(u)= 2u +u, hàm s đ ng bi n trên R

0 1 3 2 ) ( 1 3

Xét hàm s f(t)=2t −3t+1, s d ng đ nh lý Roll cm ph ng trình có không quá 3 nghi m

Ph ng trình có nghi m t=1 t=3(L), suy ra ph ng trình có nghi m x=kπ

1 1

7 4 12 8 343 8

64x− x− = + x x−

Gi i :

7 2

; 4

;

c b

a

0 3

3 3

2

) ( ) ( ) ( ) (

2 2

2

= + +

⇔

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

+ +

0 7

2

4

7

2 4 ln 4 ) ( 7

2 4 2 )

x f x

Ph ng trình f /(x)=0 có nghi m duy nh t nên theo đ nh lí Lagrange ph ng trình f(x)=0 không có quá 2 nghi m phân bi t

Ph ng trình có nghi m x=1 ; x=2

) 3 2 ( log ) 2 2 (

3 2

Gi i :

i u ki n x<−1v 3<x

) 3 2 ( log ) 2 2 (

log8 4 3 2− − = 7 4 3 2− −

t a=7+4 3 và t =x2 −2x−3

t

a ( 1) log

log 1 + =

t y=loga t

1 1

1

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⇔

y y

a a

a

1

=

⇔ y là nghi m duy nh t

Ph ng trình có nghi m x=1± 11+4 3

Bài 14: Gi i h ph ng trình

Trang 5

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

+

=

4 log

log

4 log

log

4 log

log

3 5

x z

z y

y x

Gi i :

H ph ng trình không đ i qua phép hoán v vòng quanh⇒ x= y=z

T đó ta có log5 x=log3( x+4), đ t t=log5 x

1 3

1 4

3

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⇔

t t

Ph ng trình có đúng 1 ngi m t =2 do hàm s 1

3

1 4 3

5 )

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

t t

t

H ph ng trình có 1 nghi m x= y=z=25

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

− +

−

=

−

0 4 1 2

2

3 2

2

2 2 2

2

2 1

x y

x x y x

xy

y

x x

Gi i :

T ph ng trình (2) ( 2) 1 1 22

x

x y

xy

⇔

2

2 1 2

2

1

2 1 2

2

1

x

x x

x

−

=

−

− +

−

2

1 2 ln 2 ) ( 2

2 ) ( = t + ⇒ / = t + >

t f

t t

f

2 2

2

2 1

2

1

x

x x

−

⇔

H ph ng trình có 1 nghi m

4

3 ,

x

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+ + +

= +

+

=

−

1 ) 2 (

log 2 ) 6 2 ( log 3

1 1

2 3

2

2 2

y x y

x

y

x

e y x

Gi i :

k x + y2 +6>0 và x + y+2>0

(1) ⇔ln(x2 +1)+x2 +1=ln(y2 +1)+y2 +1

Hàm s f(t)=lnt+t t>1 đ ng bi n trên (0 ; +∞)

y x y

.N u x=−y (2)⇔log3(6−x)=1⇔ x=3 ; y=−3

Trang 6

.N u x= y

(2)⇔3log3(x+2)=2log2(x+1)=6u

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⇔

= +

9

8 9

1 2

1

3 2

3

u u

x

Hàm s

u u

u

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

9

8 9

1 )

( ngh ch bi n trên R, suy ra u=1 là nghi m duy nh t

H ph ng trình có 2 nghi m

4

3 ,

x và x=7 ; y=7

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

−

=

−

+

+ +

2

7 2

3 2

) 2

( 3 4

2

1 2 8 1 2

y x

x y

y x

Gi i :

k x ; y≥0

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

+

= +

⇔

+

+ +

7 3

2

4 3 2

3 2

1

2

1 2 ) 4 ( 1

2

y x

Hàm s f(x)=2x2+1+3 x đ ng bi n trên [0;∞)

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⇔

= +

=

⇔

=

+

=

⇔

5 1 5 4 1

4 )

1 ( )

(

) 4 ( )

(

y

x y

x

y x f

y

x

f

y f

x

f

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

−

=

−

=

) 5 2 cos cos

8 ( log cos

) 5 2 cos cos

8 ( log cos

) 5 2 cos cos 8 ( log cos

2 2 2

z y

z

y x

y

x z

x

Gi i :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+ +

=

+ +

=

⇔

4 2 2

8

4 2 2

8

4 2 2

8

2 2 2

Z Y

Y X

X Z

Z

Y

X

8

1 )

(t = + t2 +

f t đ ng bi n trên ⎜⎝ ⎥⎦⎤

⎛ 1

; 2 1

8

=

Gi i b ng đ th ⎢

⎣

⎡

=

⇔

) ( 2

1

l Z Y X

Z Y X

H ph ng trình có 2 nghi m x=k2π , y=l2π ; z=m2π

Trang 7

⎩

⎨

⎧

+

= +

+

= +

2 ) (cos log ) sin 3 1 ( log

2 ) (sin log ) cos 3 1 ( log

3 2

x y

y x

Gi i :

k cosx ; siny≥0

) (sin log ) sin 3 1 ( log ) (cos log ) cos

3

1

(

⇒

Hàm s f(t)=log2(1+3t)+log3t 0

3 ln

2 2 ln ) 3 1 (

3 )

(

+

=

⇒

t t

t

x

sin =

⇒

Thay vào ph ng trình (1) ⇒log2(1+3cosx)=log3(cosx)+2

L p BBT hàm s g(v)=log2(1+3v)−log3v v i v=cosx∈(0,1] ph ng trình ch có 2 nghi m

3

1 cos

,

1

cosx= x=

28

⎪

⎨

⎪⎩

Gi i:

H t ng đ ng

2

28 (1)

0 ( ) 18 2 (2)

⎨

⎪⎩

(2)

4

3 8

y

⇒ = − , thay vào (1) đ c:

3 4

3

3 8

28

y

⎢⎜ − ⎟ − ⎥=

(3)

t

f t = −t −t + tta có:

f t = t + t −t + > ∀ >t

Ch ng t hàm s f(t) đ ng bi n trên kho ng (0;+∞) ph ng trình f(t) = 0 n u có nghi m trên Kho ng (0;+∞) thì nghi m đó là nghi m duy nh t T đó suy ra h ph ng trình đ cho n u

có nghi m (x0, y0) thì nghi m đó là nghi m duy nh t c a h

N u ch n x = 2y thì t (1) ta có: 4

y = ⇔ =y ⇒ =x R ràng c p s (2 2; 2)

th a (2)

V y h có nghi m duy nh t (2 2; 2)

Bài 21: Tìm s nghi m c a n m trong kho ng (0;2π c a ph ng trình )

2

5 )

sin 10 sin

12 sin

8

cos

2 2

+

= +

x

Gi i :

Trang 8

0 1

1

t

g'

g

1-3 6 0

u

6

t

0

t t =sin2 x= y 0≤t≤1

2

5 )

10 12

8

)

1

(

e t x t x

t

Xét hàm s f(x)=e2(1−t)(8t3 −12t2 +10t)

)

/

t g e t

t t t

t e

x

⇒

V i g(t)=8t3 −24t2 +22t−5⇒ g/(t)=2(12t2 −24t+11)

L p b ng bi n thiên, suy ra ph ng trình g(t)=0 có nghi m duy nh t

6

3 1 0

, < < −

t

L p b ng bi n thiên hàm s f (t), suy ra ph ng trình f(t)=0 có nghi m duy nh t

u v

v

t = ,0< <

Suy ra ph ng trình sinx=± v có 4 nghi m phân bi t x∈(0, 2π)

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	213,7 KB