Hướng dẫn giải đáp bài tập toán cao cấp

Giải dành cho sinh viên luyện thi Olympic  Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán.. Giải dành cho sinh viên luyện thi Olympic Giải dành cho sinh viên luyện thi Olympic Viết A, B d

Bé m«n To¸n Khoa CNTT - 2014

Hướng Dẫn Giải Bài Tập

To¸n cao cÊp

Chương 1 Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính

, như vậy (1) đúng với n   k 1

 Theo phương pháp quy nạp toán học ta kết luận công thức (1) đúng với mọi n

1 1 2 1 3

9 4 8

11 5 10 , ; ,

x x

x R

 Nếu d = c: hệ có vô số nghiệm: ( ;    ; 1) ( tùy ý)

 Nếu d = a : hệ có vô số nghiệm: ( ; 1    ; 0) ( tùy ý)

 Nếu d  a d ;  c: hệ vô nghiệm

 Tương tự với các trường hợp a   c b và b   c a

 a    b c 1, a  1; b   c 1; b  1; a   c 1; c  1; a   c 1: hệ có vô số nghiệm (đơn giản)

 a  1; b  1; c  1 hệ có nghiệm  0; 0; 1 ; tương tự khi a  1; c  1; b  1;

 a  1; b  1; c  1: Giải x x1; 2 theo x3 từ hệ      ,  rồi thay vào    ta được:

a x a x a a x

 Với a  1: hệ có vô số nghiệm:( ; x y ; 1   x y ) với x y ;  R

 Với a   2: hệ vô nghiệm

2 3

2 1 2

 Với a  0: hệ có vô số nghiệm:  x y ; ;   x y  với x y ;  R

 Với a   3: hệ có vô số nghiệm:  x x x ; ;  với x  R

Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

 Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán Gọi đa thức đặc trưng của A là p(x), p(x) là đa thức bậc 2 Chia

a b c d

Vậy không tồn tại ma trận thỏa mãn bài toán

21* Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2009 thảo mãn AB = 0 Chứng minh rằng trong 2 ma trận P = A + At,

( t) ( ) ( t) 2009.

r A  A  r A  r A 

Vậy t

A  A suy biến

23* Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 Chứng minh rằng tồn tại 2 ma trận

vuông cấp n là B và C sao cho BC – CB = A

Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

Viết A, B dưới dạng khối:

1

1 2 2

có nghiệm không tầm thường

Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

Đặt ij

n n

A      a  , ta có At   A Khi đó :

det A  det At  det  A   1 detn A   det A  det   A  0

Vậy hệ có nghiệm không tầm thường

Tìm điều kiện của a và b để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

A      a  là ma trận vuông cấp n có aij  min ,   i j Hãy tính det(A)

Giải: (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 0 1 1 1 det 1 2 3 3 0 1 2 2

Chương 2 Hàm số - Đạo hàm - Vi phân

1) Tìm miền xác định của các hàm số sau

1 y  1  x Đs: D = (-∞; 1]

arcsin 1

x y

1 4

x y

2) Tìm tập giá trị của các hàm số sau

1 y  3sin x  4cos x Đs: Ry   [ 5; 5] (Hd: y  5sin  a  x  với 3

arccos 5

3 y  sin6x  cos6x Đs: Ry  [0; 1]

arctan 1

x y

1

x y

4) Xác định chu kỳ tuần hoàn của các hàm số sau (nếu có)

1 y  sin4x  cos4x Đs: chu kỳ

3 y  sin 2 x  cos3 x Đs: chu kỳ 2 

2

1 1

lim

n

n n n

lim

x

x x

lim

x x

ln 2

8) Tính đạo hàm của các hàm số sau

1

x y

1 arcsin 1

x y

y y

1

x x

ln 1

x y

x y x

f x

x

 Áp dụng định lý Lagrange cho f trên đoạn  b a ; 

thì tồn tại c    b a , sao cho

2

'( ) cos

Hd Áp dụng định lý Lagrange cho f x    ln x trên đoạn  2004; 2005 

15) Chứng minh  m thì phương trình x3 3 x   m 0không thể có 2 nghiệm khác nhau trong (0,1)

Hd

Giả sử tồn tại mđể phương trình đã cho có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa: 0  x1 x2  1

Xét f x ( )  x3 3 x  m trên [ , x x1 2] là hàm liên tục và khả vi trong ( , x x1 2), vì

f x ( )1  f x ( 2)  0 nên theo định lý Rolle, tồn tại c  ( , x x1 2)  (0,1)sao cho:

2

'( ) 3 3 0

f c  c   Điều này là không thể Mâu thuẫn này cho ta đpcm

16) Chứng minh: Nếu phương trình 1 2

Hd: Xét hàm f x ( )  a x0 n a x1 n1  an1x trên [0, x0] là hàm liên tục và khả vi trong (0, x0), đồng thời

3 Với    1 x 1 thì arcsin arccos

e 0 2

sin ln lim

x x x

Hd L  e

5

1 2 0

1

x

x x

11

3 0

tan lim

Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và có chung giới hạn

Hd (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

Hd (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

 Bằng quy nạp ta chứng minh được



41) Một quả bóng được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 112 ft

m (1 ft = 0,3048m)

Độ cao của quả bóng khi bay lên so với mặt đất tại thời điểm t là   2

16 112

S t   t  t (1)

1 Khi nào quả bóng đạt độ cao cực đại Xác định độ cao đó

2 Khi rơi xuống, khoảng cách của quả bóng tới mặt đất có cho bởi (1) hay không

3 Xác định vận tốc bóng khi tiếp đất

4 Xác định vận tốc bóng và gia tốc bóng khi t  1 ; s t  4 s

Giải

1 v t    S t '     32 t  112  0  t  3,5; S (3,5)  196   m

2 Phương trình chuyển động (1) không thay đổi trong suốt quá trình!!

(Phương trình (1) là hệ quả của định luật 2 Newton: ma   F mg; g  32 ft s / 2)

3 Hiển nhiên vận tốc lúc tiếp đất vẫn là 112 ft

m (đề bài ngụ ý không tính lực cản không khí)

4 v t     32 t  112  v   1  80; v   4   16 (vận tốc < 0 ứng với giai đoạn vật rơi trở lại)

  32

a t    const (tác giả đặt một số câu hỏi không có ý nghĩa lắm về mặt cơ học)

43) Một người đang đứng ở điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1600m Người này phải bơi qua sông và đi bộ tới điểm

B bên kia sông Biết B cách điểm đối diện với A qua dòng sông là 4800m Biết người đó có thể bơi với vận tốc 3200m/s và đi bộ với với vận tốc 4800m/s Hãy xây dựng phương án để người đó tới B với thời gian nhỏ nhất

Giải

 Giả sử hành trình của người đó là: A  C  B Gọi x là khoảng cách HC (km)  0   x 4,8 

 Hàm mục tiêu (thời gian đi từ A đến B):   1, 62 2 4,8



f đạt cực tiểu tại x  1, 43; fct  1,37(giờ)

 Trả lời: Người đó bơi tới điểm C cách H 1,43km rồi đi bộ đến B thì thời gian ngắn nhất

45) Giả sử số lượng một bầy ruồi đục quả tại thời điểm t là   0

2 Giả sử ban đầu bầy ruồi có 100 con, xác định số lượng bầy ruồi sau 41 ngày

3 Sau bao nhiêu ngày thì bầy ruồi có 800 con

3 Xét phương trình 100 800 1 ln 8 ln 8 27

1

ln 2 9

 Tương tự như bài 43 Đặt x  CM (km)

Ta có hàm mục tiêu (thời gian đi B  M  A):

1 20

Chương 3 Nguyên hàm và tích phân1) Dùng các tính chất và bảng nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau

3

2.ln 1 1 1

x x

d

C x

x x

C x

dx

C x

3  x2sin xdx   x2cos x  2 sin x x  2cos x  C

5 sin2 2 sin 2 cos 2

1 2

x x

dx

C x

t n

1 a

1 arccos

arcco 1 1 1

1 1

s ln 2

x

x

C x

x x

0 1 3c

sin

t d I

1 1

l 2 ln

x dx

3 1

4

1 8

1 2

Hd: Miền xác định của y: 0   x 1;

1 0

dt J

x

e dx x





 Hội tụ Hd:

2 2



 hội tụ Từ đó suy ra

1

sin x dx x



 hội tụ nên 2

1

cos t dt t

1 2x sin 1 2x sin 1 2x sin

2 sin

1 2 sin

t t

   (Tích phân

ln

dx x

 không phải là hàm sơ cấp)

 

F    2 2  

2 2 ln

  

2

4 2

1 4 1

f t dt g t f t dt t

 hội tụ theo giả thiết Vậy I2 hội tụ

 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được I1 hội tụ Vậy tích phân suy rộng I hội tụ

2 '

A

f x dx

f A L

A A

dx

f x



 cũng phân kỳ

Điều này trái với giả thiết, từ đó suy ra điều phải chứng minh

39* Cho f x   liên tục trên 1

; 2

     

Chứng minh rằng 1  

1 2

b t  e d t  e (người/năm) Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hai hàm số nói trên với

0 t 10 và nêu ý nghĩa của nó

B   D là lượng tăng dân số trong khoảng thời gian [0; 10] năm

45) Dầu chảy ra từ bể chứa với lưu lượng r t 2004t (lít/phút) Hãy tính lượng dầu chảy ra từ bể trong 10 phút đầu

Đs: Lượng dầu chảy trong 10 phút đầu 1   10 

0

200 4 1800

O   r t dt    t dt  lít

47) Một thùng đựng xăng hình trụ cao h4m, bán kính đáy r2m, khối lượng riêng của xăng 0,9 kg3

dm

  Tính

áp lực của xăng lên thành thùng ở mỗi mét độ sâu

Giải

 Ta lấy đơn vị độ dài là dm Chu vi thùng xăng là d  2  r  40 (dm)

Để dễ hình dung ta triển khai thành xung quanh của thùng xăng thành một hình chữ nhật kích thước

40  40 (hình vẽ)

 Áp lực của dung dịch xăng lên một đơn vị diện tích trên thành thùng xăng ở độ sâu x (dm) (với giả thiết thùng chứa đầy xăng) bằng khối lượng của lượng xăng chứa trong cột xăng có diện tích thiết diện 1 dm2, chiều cao x dm, là

2

0,9 x kg dm

 Áp lực của xăng lên yếu tố diện tích hình chữ nhật có bề dày dx, cách mặt thùng xdm là:

0 2

Chương 4 Hàm số nhiều biến số1) Tìm miền xác định của các hàm số:

( , ) x x

f x y

y y

9) Tìm các đạo hàm hỗn hợp cấp 2 của các hàm số sau:

1 z  ln tan( x  y ) Đs:

2

2

4cos 2( ) sin 2( )

Chương 5 Phương trình vi phân

1) Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:

1 y 'sinx  ylny

Nghiệm tổng quát:

1 cos sin

x C x

y x

Nghiệm tổng quát: 2 2

ln

3

2 ( 1) ( 1) ( 1) 2

x    y  y  y   C y 

2 2

2 '

2

y y

2

x y y y

1 Sau 4 giờ chất A còn bao nhiêu

2 Sau mấy giờ thì chất A biến đổi hoàn toàn thành chất B

Giải

 Gọi y t   là khối lượng chất A (kg) tại thời điểm t (giờ) thì: y '  ky  1  y 

 Giải pt biến số phân ly này ta được:

1

kt

y Ce

3) Một bình nước nóng giảm từ 90 xuống 50 trong vòng 30 phút Hỏi trong bao lâu nó giảm xuống còn 30 Biết nhiệt độ không khí là 200

Giải

 Gọi y t   là nhiệt độ nước trong bình tại thời điểm t (phút) Theo quy luật Newton: tốc độ giảm của y

tỷ lệ với độ chênh lệch giữa nhiệt độ nước trong bình và nhiệt độ không khí:

t k

 

   

  (phút)

5) Giả thiết một vật thể rơi tự do bị lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương của tốc độ Tìm tốc độ của vật thể rơi

tự do nói trên tại thời điểm t và quãng đường mà vật đã rơi

Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

 Gọi v t   là vận tốc của vật tại thời điểm t

Áp dụng định luật 2 Newton : 2

ma   F mg  kv  v '   g bv2 (với k

b m

 )

 Giải phương trình biến số phân ly này ta được: 1 ln 1

2

g v

v b

Để xác định C và k ta cần thêm điều kiện ban đầu và điều kiện bổ sung

 Quãng đường vật đi được cho bởi tích phân:  

0

t t

S   v   d

(Tích phân này hơi phức tạp nhưng hoàn toàn có thể tính được)

7) Giả thiết trong ống cấy vi khuẩn có 400 vi khuẩn xuất hiện cuối giờ thứ nhất và 1600 vi khuẩn xuất hiện cuối giờ thứ 2 Hãy tìm:

1 Số vi khuẩn lúc bắt đầu thí nghiệm?

2 Sau mấy giờ số vi khuẩn lên tới 16 000

9) Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau:

15 y '' 4  y  sin 2 x  cos 2 x biết y   0  0; y ' 0    1

Nghiệm tổng quát: 1cos 2 2sin 2 cos 2 sin 2

y  x là nghiệm (đơn giản)

 Tìm nghiệm riêng thứ hai dưới dạng: 2

2

y  x u

Tính y2', y ''2 thay vào phương trình ta được pt xác định u: xu '' 2 '  u  0  1

u x

Chương Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1) Tìm tổng riêng Sn rồi từ đó tìm tổng của các chuỗi sau

1

  1

n n

K n n n

n n

 Cần phải lấy bao nhiêu từ để có thể tính tổng của nó chính xác tới 0,01?

Đs: Tương tự bài 6, ta chỉ cần lấy 2 số hạng 19 0, 05

n n n

x n

0, 000001 5!

0,31416

0, 000001 6!

dx x



 (hàm dưới dấu tích phân không có nguyên hàm sơ cấp nên phải tính gần đúng)

Giải (dành cho sinh viên luyện thi Olympic)

n dx

 Hd: Sử dụng chuỗi: sin 2 4   1 2 1

n n