hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp

hướng dẫn làm bài toán cao cấp cho các sinh viên trường cao đẳng, đại học và học viện9. 2 1arctan x xHd:   2x x F x dx xdxarctan 1 arctan ln   x x xI F x F    lim 1 ln 2   x 4 221122) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau1.3.25) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau1.3.2x edx2 1x ln 1 x 1x  3x x x        1sin dx1x. Hội tụ. Hd:2Phân kỳ. Hd:dxx e20 1   e 2ln 1 x 1x x1 1 1    x x x 1 2 x 2 t  2x2 2x x khi x  21dx. Hội tụ. Hd:1 2. Phân kỳ: Hd: Khi x   thì 1  và 1 1 sin ~x, mà 3 13 32     0dt hội tụ.2tx x

ooChương 1 Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính

, như vậy (1) đúng với n  k 1

 Theo phương pháp quy nạp toán học ta kết luận công thức (1) đúng với mọi n

x R

D b a c a

D d a c d x

D b a c b

D d a d b x

 Nếu d = c: hệ có vô số nghiệm: ( ; ; 1) ( tùy ý)

 Nếu d = a : hệ có vô số nghiệm: ( ; 1 ; 0) ( tùy ý)

 Nếu d a d; c: hệ vô nghiệm

 Tương tự với các trường hợp ac  và b b ca

 a1;b1;c1 hệ có nghiệm 0; 0; 1 ; tương tự khi  a1;c1;b1;

 a1;b1;c1: Giải x x1; 2 theo x3 từ hệ     ,  rồi thay vào   ta được:

1212( 1)( 1)( 2)

a x a x a a x

 Với a  : hệ có vô số nghiệm:1 ( ;x y; 1 x y) với x y; R

 Với a  2: hệ vô nghiệm

2 3

2 12

 Với a  : hệ có vô số nghiệm: 0 x y; ; x y với x y; R

 Với a  3: hệ có vô số nghiệm: x x x; ;  với xR

Chương 2 Hàm số - Đạo hàm - Vi phân

1) Tìm miền xác định của các hàm số sau

1 y 1x Đs: D = (-∞; 1] 3 arcsin 2 2

1

x y

x



 Đs: D = [0; 1] 7

2 2

14

x y

2) Tìm tập giá trị của các hàm số sau

1 y3sinx4 cosx Đs: R   y [ 5; 5] (Hd: y5sinax với arccos3

x y

4) Xác định chu kỳ tuần hoàn của các hàm số sau (nếu có)

1 ysin4xcos4x Đs: chu kỳ

lim

x

x x

lim

x x

ln2

1arcsin1

x y

1

y x

x x

x y

n x nx S

f x

x

 Áp dụng định lý Lagrange cho f trên

đoạn b a thì tồn tại ;  cb a, sao cho tan tan '( ) 12

Hướng dẫn Áp dụng định lý Lagrange cho f x lnx trên đoạn 2004; 2005 

15) Chứng minh  m thì phương trình x33xm0không thể có 2 nghiệm khác nhau trong (0,1)

Hướng dẫn

Giả sử tồn tại mđể phương trình đã cho có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa: 0x1x2 1

Xét f x( )x33xm trên [ ,x x1 2] là hàm liên tục và khả vi trong ( ,x x1 2), vì

f x( )1  f x( 2) nên theo định lý Rolle, tồn tại 0 c( ,x x1 2)(0,1)sao cho:

2

'( ) 3 3 0

f c  c   Điều này là không thể Mâu thuẫn này cho ta đpcm

16) Chứng minh: Nếu phương trình 1 2

0 n 1 n 1 0

n

a x  a x   a   có nghiệm xx0 0 thì phương trình na x0 n1(n1)a x1 n2 a n10 cũng có nghiệm xx1 thỏa mãn 0x1 x0

Hướng dẫn: Xét hàm f x( )a x0 na x1 n1 a n1x trên [0,x0] là hàm liên tục và khả vi trong

0

(0,x ), đồng thời f(0) f x( 0)0nên theo định lý Rolle, tồn tại x1(0,x0)sao cho

1

'( ) 0

f x  hay phương trình f x '( ) 0có nghiệm x1(0,x0) (đpcm)

17) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng với mọi x  0

1 (x1) ln(x1)arctanx

Giải

Xét hàm f x( )(x1) ln(x1)arctanxvới x [0,)có

19) Sử dụng quy tắc L'Hospital tìm các giới hạn sau:

1

0

tanlim

sin

x

x x

e 0 2

sin ln lim

x x x

1

x

x x

tanlim

Độ cao của quả bóng khi bay lên so với mặt đất tại thời điểm t là S t  16t2112t (1)

1 Khi nào quả bóng đạt độ cao cực đại Xác định độ cao đó

2 Khi rơi xuống, khoảng cách của quả bóng tới mặt đất có cho bởi (1) hay không

3 Xác định vận tốc bóng khi tiếp đất

4 Xác định vận tốc bóng và gia tốc bóng khi t1 ;s t4s

Giải

1 v t S t'  32t1120  t3,5; S(3,5)196 m

2 Phương trình chuyển động (1) không thay đổi trong suốt quá trình!!

(Phương trình (1) là hệ quả của định luật 2 Newton: maF mg; g 32 ft s/ 2)

3 Hiển nhiên vận tốc lúc tiếp đất vẫn là 112 ft

m (đề bài ngụ ý không tính lực cản không khí)

4 v t  32t112v 1 80; v 4  16 (vận tốc < 0 ứng với giai đoạn vật rơi trở lại)

  32

a t   const (tác giả đặt một số câu hỏi không có ý nghĩa lắm về mặt cơ học)

43) Một người đang đứng ở điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1600m Người này phải bơi qua

sông và đi bộ tới điểm B bên kia sông Biết B cách điểm đối diện với A qua dòng sông là 4800m Biết người đó có thể bơi với vận tốc 3200m/s và đi bộ với với vận tốc 4800m/s Hãy xây dựng phương án để người đó tới B với thời gian nhỏ nhất

Giải

 Giả sử hành trình của người đó là: A  C  B Gọi x là khoảng cách HC (km)



f đạt cực tiểu tại x 1, 43; f  ct 1,37(giờ)

 Trả lời: Người đó bơi tới điểm C cách H 1,43km rồi đi bộ đến B thì thời gian ngắn nhất

45) Giả sử số lượng một bầy ruồi đục quả tại thời điểm t là   0

kt

N t N e ; N0 là số lượng bầy ruồi tại thời điểm t 0, klà hằng số tăng trưởng Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày

1 Tìm hằng số k

2 Giả sử ban đầu bầy ruồi có 100 con, xác định số lượng bầy ruồi sau 41 ngày

3 Sau bao nhiêu ngày thì bầy ruồi có 800 con

kt

k

47) Một loại lon nước giải khát dạng hình trụ và chứa 0,4 lít chất lỏng Xác định đường kính đáy và

đường cao hình trụ để vật liệu sử dụng làm lon là ít nhất

49) Điểm B nằm cách đường sắt 60km Khoảng cách trên đường sắt từ điểm A tới điểm C gần điểm

B nhất là 285km Cần xây dựng một nhà ga cách điểm C một khoảng là bao nhiêu để thời gian đi

lại giữa A và B là nhỏ nhất, nếu tốc độ chuyển động trên đường sắt là 52km/h và tốc độ chuyển động trên đường nhựa là 20km/h

Giải

 Tương tự như bài 43 Đặt xCM (km)

Ta có hàm mục tiêu (thời gian đi B  M  A):

120

Chương 3 Nguyên hàm và tích phân

1) Dùng các tính chất và bảng nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau

3

2.ln111

x x

x x

C x

dx

C x

5 3

4 tan tancos

13

dx

C x

t n

1a

1arccos

arcco 1 1 1

1 1

s ln2

x

x

C x

x x

7

   

1

2 1

ln 3

l 2 ln

6 8 n 2

x dx

31

4

18

12

e dx x





 Hội tụ Hd:

2 2

dt t

Chương 4 Hàm số nhiều biến số

Chương 5 Phương trình vi phân

1) Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:

1 y'sinxylny

Nghiệm tổng quát:

1 cos sin

x C x

Nghiệm của hệ phương trình 0

x C y

2'

2

y y

23

2'

1 Sau 4 giờ chất A còn bao nhiêu

2 Sau mấy giờ thì chất A biến đổi hoàn toàn thành chất B

Giải

 Gọi y t là khối lượng chất A (  kg) tại thời điểm t (giờ) thì: y'ky1 y

 Giải pt biến số phân ly này ta được:

1

kt

y Ce

2 Khi t   thì khối lượng chất A y 0 Khi t24h thì y2.109kg0, 000002g

3) Một bình nước nóng giảm từ 900 xuống 500 trong vòng 30 phút Hỏi trong bao lâu nó giảm xuống còn 300 Biết nhiệt độ không khí là 200

1 Số vi khuẩn lúc bắt đầu thí nghiệm?

2 Sau mấy giờ số vi khuẩn lên tới 16 000

15 y'' 4 ysin 2xcos 2x biết y 0 0; y' 0  1

Nghiệm tổng quát: 1cos 2 2sin 2 cos 2 sin 2

Chương Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1) Tìm tổng riêng Sn rồi từ đó tìm tổng của các chuỗi sau

n n

K n n n

2 1 5

n n n

n n

 Cần phải lấy bao nhiêu từ để có thể tính tổng của nó chính xác tới 0,01?

Đs: Tương tự bài 6, ta chỉ cần lấy 2 số hạng 19 0, 05

n n n

x n





 Đs: Miền hội tụ: 