b Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.. Trong một bình đựng 8 quả cầu trắng, 7 quả cầu xanh và 9 quả cầu đỏ.. Tính xác suất để 4 quả cầu
Trang 1ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
Ngày thi: 20 tháng 01 năm 2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2
yx mx m (m là tham số, m )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin sin3 x xsin 2x4cos sin 3x x2cos 2x2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 2 3 1
ln(x 1)
x
Câu 4 (1,0 điểm) Trong một bình đựng 8 quả cầu trắng, 7 quả cầu xanh và 9 quả cầu đỏ Lấy ngẫu
nhiên 4 quả cầu Tính xác suất để 4 quả cầu lấy được gồm đủ cả ba màu
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2 2 1
và mặt phẳng ( ) : 3P x2y z 5 0 Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và
viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên (P)
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B Các mặt bên (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, I là trung điểm SC Cho AB = 2a, SA = BC = a, CD =
2a 5 Gọi H là điểm thỏa mãn 1
5
AH AD Tính theo a thể tích tứ diện IBCD, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có
tâm (1; 2)I , bán kính 17và đường thẳng BC có phương trình 3x5y300 Biết trực tâm H của
tam giác thuộc đường thẳng : 5d x3y240 Chứng minh AH 2IM , với M là trung điểm đoạn thẳng BC và tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Câu 8 (1,0 điểm) Giải phương trình 2
2 2x 3 9 4 x x 4x7, (x )
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2
12
a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh :…… ……….; Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn: TOÁN
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
Khi m = 1 hàm số trở thành 4 2
2
yx x
TXĐ: D
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: 2
' 4 ( 1)
y x x 0
' 0
1
x y
x
0,25
- Các khoảng nghịch biến ( ; 1)và (0;1); khoảng đồng biến ( 1;0) và (1;)
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x 1,y CT 1; đạt cực đại tại x0,yCĐ=0
- Giới hạn: lim lim
0,25
- Bảng biến thiên:
x -1 0 1
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
0
-1 -1
0,25
Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
y x mx x x m
y' 0 x2 0
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m0 (*)
0,25
Trang 3Các điểm cực trị của đồ thị là 2 2
Suy ra tọa độ trung điểm của BC là 2
2
2
ABC
Ta có phương trình 2
m m m (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy với m4 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 32
0,25
2
(1,0đ)
Phương trình đã cho tương đương
2sin sinx 3x4cos sinx 3x sin2x2cos2x 2 0
sin x sinx cosx cosx sinx cosx
(sin 3x cos )(sinx x 2cos )x 0
sin 2 cos 0 (1) sin 3 cos 0 (2)
0,25
Ta thấy cos x0 không là nghiệm của phương trình ( )1
cos x0 , (1)tanx 2 x arctan 2k (k ) 0,25
3 2
k x
k
x k x x k k
0,25
3
(1,0đ)
Đặt
2
2
3
2
2 ln( 1)
1 1
1 2
x
x
v x
x
2
Đặt
2
1 2 2 1
1
x
x x
2
tx xdx dt
x t x t
4
1
0,25
Suy ra 1ln 5 1ln 2 1ln8 1ln 5 1ln16 1ln16 1ln 5 1ln 5
5
2 ln 2 ln 5
8
I
0,25
4
(1,0đ)
Số phần tử của không gian mẫu là 4
24
Gọi A là biến cố “4 quả cầu lấy được có đủ ba màu”
Ta xét 3 trường hợp:
- Lấy được 2 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ :
0,25
Trang 42 1 1
8 7 9 1764
C C C (cách)
- Lấy được 1 quả cầu trắng, 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ:
1 2 1
8 7 9 1512
C C C (cách)
- Lấy được 1 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ:
1 1 2
8 7 9 2016
C C C (cách)
1764 1512 2016 5292
n A
5292 126
0,5
10626 253
P A
5
(1,0đ)
Đường thẳng d đi qua (2; 2;1) A có vectơ chỉ phương u(1; 2; 1) Mặt phẳng
Phương trình đường thẳng a đi qua A( ;2 2 1 ; ) vuông góc với (P) có dạng
x y z
Tọa độ giao điểm A’ của a và (P) là nghiệm hệ:
0,25
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng đi qua A’ song song với d có phương
x y z
0,25
6
(1,0đ)
Do (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với đáy nên SA(ABCD)
2
1
a SA
Gọi điểm NAD sao cho BC N là D
hình bình hành
2 5
Xét tam giác vuông ABN có
16
0,25
3 2
1
IBCD
0,25
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CE // BH (E thuộc AD) ta có
1
2
Kẻ AF CE tại F, AF cắt BH tại K Kẻ AJ vuông góc với SF tại J suy ra
0,25
Trang 5( , ( ))
d A SCE AJ
a AJ
a
0,25
7
(1,0đ)
Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (I) suy ra IM là đường trung bình của tam giác
AA’H nên AH 2IM Mặt khác AH IM, cùng hướng suy ra AH 2IM 0,25
Tọa độ B, C là nghiệm hệ ( 1)2 ( 2)2 17
3 5 30 0
Suy ra B(0; -6), C(5; -3) (hoặc C(0; -6), B(5; -3))
0,25
Trung điểm M của BC có tọa độ 5; 9
Trực tâm H của tam giác thuộc đường tròn
(C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến
2 IM
T , với vectơ tịnh tiến có tọa độ 2IM (3; 5)
Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến suy ra
phương trình đường tròn (C’) có tâm I4 7 ;
0,25
Vậy H là giao điểm của đường tròn (C’) và đường thẳng có phương trình
5 x 3 y 24 0 nên ta có 2 điểm H thỏa mãn là H(3; -3) hoặc H(0;-8)
Suy raA 0; 2 hoặc A 3; 3
0,25
8
(1,0đ) Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2x 3 2x 2 9 4 x2x 5 x 4x4
2
x
3 9
;
2 4
)
0,25
2
1 0 (*)
0,25
2 4
x
phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2
0,25
Trang 69
(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số dương ta có
2
a
a
Loại a0 vì a dương
0,25
2
2
b
(Dấu “=” xảy ra khi b = 2)
2
2
c
(Dấu “=” xảy ra khi c = 2)
P
0,25
9 2
P
Suy ra P1
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 0,25
(Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.)
-Hết -
