a Một trường phát thưởng cho 60 học sinh giỏi, trong đó có 14 em trùng tên.. Tính xác suất để 14 em trùng tên đứng cạnh nhau.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có ph
Trang 1ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015
Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
Ngày thi:… tháng…năm…
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3( )
1
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với
IM góc sao cho os 3
5
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
2 3 os 5cos sin 3 sin cos
0 tan 3
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 3
log x1 log 4 x log 4x 2
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Một trường phát thưởng cho 60 học sinh giỏi, trong đó có 14 em trùng tên Sắp xếp 60 em một
cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang Tính xác suất để 14 em trùng tên đứng cạnh nhau
b) Xác định hệ số của 6
x trong khai triển nhị thức của biểu thức 3 10
(1 x x )
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình là
:
Viết phương trình mặt phẳng Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt
phẳng Oxymột góc nhỏ nhất
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác có ABa, AC a 2,
(SBC)(ABC), SBSCa, 120o
BSC Tính thể tích hình chóp S ABC , xác định tâm và bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm 15; 3
2 2
và đỉnh A 6;5 , đỉnh D thuộc đường thẳng 3x y 0 Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật
ABCD
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2
1
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số không âm x y z, , thỏa mãn2x3y z 1 Tính giá trị nhỏ nhất của
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh :…… ……….; Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015
Môn: TOÁN
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
Tập xác định: D \ {-1}
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: ' 4 2
0 ( 1)
y x
- Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;
0,25
- Giới hạn:
1
1 1 x 1 là tiệm cận đứng
0,25
- Bảng biến thiên:
x -1
'
y + +
y
1
1
0,25
Đồ thị:
- Giao Ox: 3;0
- Giao Oy: 0; 3
- Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(-1;1) là tâm đối xứng
0,25
f(x)=(x-3)/(x+1)
-5
5
x y
Trang 3b) (1,0 điểm)
Giả sử tiếp tuyến tại M x y 0; 0 C là:
3 4
x
0,25
Đường thẳng IM có hệ số góc 2
0
4 ( 1)
k x
0,25
Do góc giữa tiếp tuyến và IM là góc sao cho 3
os
5
2
0 2
2
0 2
0 2
0
3 1
5
( 1)
x
x x x
x
0,25
Vậy có 4 điểm M1(3;0);M2( 5;2); M3( 2 1;1 2 2); M4( 2 1;1 2 2)
thỏa mãn đề bài
0,25
2
(1,0đ) Điều kiện xác định: t anx 3
cosx 0
0,25
2 3 os 5cos sin 3 sin cos
0
t anx 3 cos (2 3 cos 5cos sin 3 sin ) 0
0,25
2
2 3 cos 5cos sin 3 sin 0
2 3 5 tan 3tan x=0
x
0,25
3
KTM
TM
0,25
3
(1,0đ) Điều kiện:
x
x x
x x
2
3
1
0,25
Phương trình đã cho tương đương
log2 x 1 log2 4 x log2 4 x 2
2
2
x x
0,25
Xét 1 x 4 , phương trình (*) trở thành: 0,25
Trang 4x
( )
x x
6 Xét 4 x 1 phương trình (*) trở thành:
( )
x
x
2 2 6
Vậy x2 2 2 6 ;
0,25
4
(1,0đ)
a) (0,5 điểm)
Không gian mẫu:| | 60!
Gọi A là biến cố để 14 em trùng tên đứng cạnh nhau
Khi đó | A| (60 14 1)!14! 47!.14!
0,25
Vậy ( ) 47!14!
60!
b) (0,5 điểm)
k
10 0
0,25
Hệ số của 6
x là C C k i 10k với 0 i k 10 và k 2i 6
Ta có bảng giá trị của i và k
Từ bảng trên ta được hệ số của 6
x là: C C60 106 C C41 104 C C22 102
0,25
5
(1,0đ)
0 1; 2; 0
:
d
u
Giả sử vector pháp tuyến của mp Q là 2 2 2
Q
n a b c a b c
d Q Q qua M 0 Q :a x 1 b y 2 c z 0 0
ax by cz b a
0,25
0 90 là góc giữa mp Q và mp xOy , khi đó:
Q xOy
Q xOy
Q xOy
n n
0;0;1
xOy
0,25
mp Q chứa d n u Q d 0 a. 1 b.1c.2 0 a b 2c
Thế vào (*) ta được:
cos
c
b bc c
0,25
Trang 5+ Trường hợp 2:
0 cos
3
c
Dấu “=” xảy ra khi b 1 b c
Từ đó Q :cx cy cz 3c0
Q :x y z 3 0
(do c0)
6
(1,0đ)
Gọi H là trung điểm của BC Do tam giác SBC
cân tại S nên SH BC
0,25
Mà tam giác SBC cân có SB=SC=a, góc 120o
2
a
BC AB AC tam giác ABC vuông tại A
.
a
0,25
SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABC Trong mp SBC , qua M là trung điểm
SB dựng đường trung trực của SB cắt SH tại I Vậy mặt cầu ngoại tiếp của hình
chóp SABC có tâm I và bán kính IS
0,25
/ 2
/ 2
7
(1,0đ) Theo công thức trung điểm vì I là trung điểm của AC suy ra tọa độ C9; 8 0,25
Vì D thuộc đường thẳng 3x y 0nên D t ; 3 t Mặt khác do ADDC
7
5 12 7 0
5
t
t
0,25
Trường hợp 1: t 1 D1; 3 Vì I là trung điểm BD nên B14;0
Phương trình các cạnh là AB : 5 x 8 y 70 0; BC : 8x5y1120;
CD : 5x8y190; AD : 8x5y230
0,25
Trường hợp 2: 7
5
t 7; 21
D
Vì I là trung điểm BD nên
68 6
;
5 5
0,25
Trang 6Phương trình các cạnh là AB :x2y160; BC : 2 x y 260;
DC :x2y 7 0; AD : 2 x y 7 0
8
(1,0đ) Hệ tương đương x x x
x y y y
Cộng vế theo vế 2 phương trình trên ta được
x 3 x y 3 y
0,25
Xét hàm f t t3 t f ' t t2 t
f t
đồng biến trên
0,25
Từ (*) suy ra: x y x y3
2
Thế vào (2) suy ra: y3 y2 y
0,25
y y y
y
1 (do y2 y
4 7 5 0 ) x 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình: x y; 2 1 ;
0,25
9
(1,0đ) Đặt a2 ;x b3 ;y cz a b c , , 0
Vậy a b c 1
Không mất tính tổng quát giả sử 0;1
3
Ta có: b c 1 a thay vào P ta có
2
(1 ) 2(2 1)
2(2 1)
a
0,25
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 2
(bc) 4bc nên
2
(1 ) 4
2(2 1)
a
a
Do a ; a
1
a
3 2 2 3 2 1
0,25
Khảo sát a a
P a 3 2
0
x a
b c
z
1 1
6 3
1
1 3
0,25
3 2
Trang 7Vậy min 13 1; 1; z 1.
(Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.)
-Hết -