đề thi vào lớp 10 môn toán hay

* Tam giác CBD cân AC ⊥BD tại K⇒ BK=KD=BD:2đường kính vuông góc dây cung ,ΔCBD có đường cao CK vừa là đường trung tuyến nên ΔCBD cân... Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến của

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

H à NỘI NĂM HỌC 2009-2010

Mụn thi TOÁN ( chung cho tất cả cỏc thớ sinh) Thời gian 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

B i 1 : ( 2,5 điểm ) à

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3+

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2 (1.5 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của cỏc hàm số này trờn cựng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tỡm tọa độ cỏc giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trờn bằng phộp tớnh c) Tớnh diện tớch tam giỏc OAB

Câu 3 ( 1 điểm ) Cho hệ phương trình







= +

=

−

n y x

ny mx

2

5 a) Giải hệ khi m = n = 1

b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm







+

=

−

= 1 3

3

y x

Bài 4 ( 1.5 điểm )

Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Bài 5 (3.5 điểm )

Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H

a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp

b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O)

d) Cho gúc BCD bằng α Trờn mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O)

======Hết======

Hướng dẫn:

1

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tờn : Số bỏo danh

đáp án (Trang 1)

Bài 2 (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

Lập bảng :

b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :

Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (d)

Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)

x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0

( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0

1 1

x

1

c x a

−

= − = − = thay x1 = -1 ⇒ y1 = x2 = (-1)2 = 1 ;

x2 = 2 ⇒ y2 = 4

Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1 ) , B( 2 ; 4 )

c) Tính diện tích tam giác OAB

Cách 1 : SOAB = SCBH - SOAC =1

2(OC.BH - OC.AK)= =1

2 (8 - 2)= 3đvdt Cách 2 : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc

OA= AK2 +OK2 = 1 2 + = 1 2 2 ; BC = BH2 +CH2 = 4 2 + 4 2 = 4 2;

AB = BC – AC = BC – OA = 3 2

(ΔOAC cân do AK là đường cao đồng thời trung tuyến ⇒OA=AC)

SOAB = 1

2OA.AB = 1.3 2 2 3

Hoặc dùng công thức để tính AB = 2 2

(x B−x A) + (y B−y A) ;OA= 2 2

(x A−x O) + (y A−y O)

Bài 3 (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

O

y

x A

B

K C

H

( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 )

Δ’ = = m2 - 1 ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x1 ;

x 2 (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 ⇒ m ≥ 3 theo viét ta có:

x1 + x2 = = 2m

x1 x2= = m2 - m + 3

x12 + x2 2 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )

=2(m2 + 2m1

2 + 1

4- 1

4 - 12

4 ) =2[(m +1

2)2 - 13

4 ]=2(m +1

2)2 - 13

2

Do điều kiện m ≥ 3 ⇒ m + 1

2 ≥ 3+1

2=7 2

(m +1

2)2 ≥49

4 ⇒ 2(m +1

2)2 ≥ 49

2 ⇒ 2(m +1

2)2 - 13

2 ≥ 49

2 - 13

2 = 18 Vậy GTNN của x12 + x2 2 là 18 khi m = 3

Bài 4 (4.0 điểm )

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp

* Tam giác CBD cân

AC ⊥BD tại K⇒ BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa là đường trung tuyến nên ΔCBD cân

* Tứ giác CEHK nội tiếp

AEC HEC 180 = = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; · 0

KHC 180 = (gt)

HEC HKC 90 + = + 90 = 180 (tổng hai góc đối) ⇒ tứ giác CEHK nội tiếp

3

B

M

C

E D

M’

K H

B”

D”

b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE.

Xét ΔADH và ΔAED có :

¶

A chung ; AC ⊥BD tại K ,AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chính giữa cung BAD , hay cung AB bằng cung AD⇒ADB AED· = · (chắn hai cung bằng nhau) Vậy ΔADH = ΔAED (g-g) ⇒ 2

.

AD AH AE

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi của hình tròn (O)

BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm

* ΔBKC vuông tại K có : KC = BC2 −BK2 = 20 2 − 12 2 = 400 144 − = 256=16

* ABC 90 · = 0( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ΔABC vuông tại B có : BC2 =KC.AC ⇔400 =16.AC ⇒AC = 25⇒R=

12,5cm

C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)

d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)

Giải: ΔMBC cân tại M có MB = MC suy ra M cách đều hai đầu đoạn thẳng BC ⇒M

∈d là đường trung trực BC ,(OB=OC nên O ∈d ),vì M∈(O) nên giả sử d cắt (O) tại

M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC )

* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khác phía BC hay AC

) :

2

BDC DBC (180 DCB 2 90= = − = −α

Tứ giác MBDC nội tiếp thì

BDC BMC 180+ = ⇒BMC 180= −BDC 180= − 90 −α =180 −90 + =α 90 +α

* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC

ΔMBC cân tại M có MM’ là đường trung trực nên MM’ là phân giác góc BMC

BMM' BMC (90= = +α = +α ⇒

sđBM '¼ 0 )

2 (90

(góc nội tiếp và cung bị chắn)

sđBD» =2BCD 2· = α (góc nội tiếp và cung bị chắn)

+ Xét BD BM '» < ¼ ⇒2α <900+ ⇔α2 2α − <α2 900 ⇔3α <1800 ⇔00 <α <600 suy ra

tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đã tính ở trên )và M’ thuộc cung lớn BC

Tứ giác BDM’C nội tiếp thì · · 0

2 BDC BM'C 90= = −α (cùng chắn cung BC nhỏ)

+ Xét BD BM '» = ¼ ⇒2α =900+ ⇔α2 2α −α2 =900 ⇔3α =1800 ⇔α =600 thì M’≡ D

không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ ( chỉ có điểm M tmđk đề bài) + Xét BD BM '» > ¼ ⇒2α >900+ ⇔α2 2α −α2 >900 ⇔3α >1800 ⇔600 <α ≤900 (khi

BD qua tâm O và BD⊥AC⇒·BCD = α = 90 0)⇒M’ thuộc cung »BD không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề)

Sở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

B i 1à ( 2 ®iĨm )

1) Rĩt gän biĨu thøc A

2) Chøng minh r»ng biĨu thøc A lu«n dư¬ng víi mäi a

Bài 2: (2.0 điểm)

a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (p) ( d)

c/ Gọi A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d)

Tìm các gi¸ trị của m sao cho : y A + y B = 2(x A + x B )-1.

Bài 3: (1.5 điểm)

Cho một mảnh đất hình chữ nhật có chiỊu dµi hơn chiều rộng 6 m và bình

phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi Xác định chiều dài và rộng của mảnh đất hình chữ nhật.

Bài 4: ( 3.5 điểm).

Cho đường tròn(O; R) từ một điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến

A, B lấy C bất kì trên cung nhỏ AB Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C tên AB, AM, BM.

a/ cm AECD Nội tiếp một đường tròn b/ cm: C DˆE =C BˆA

c/ cm : Gọi I là trung điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB , DF

Cm IK// AB.

nhỏ nhất đó khi OM =2R

C©u 5: (1,0 ®iĨm)

1 Cho sè x (x∈R;x> 0) tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: x 2 + 12

x = 7

TÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc: A = x 3 + 13

x vµ B = x 5 + 15

x

-Hết -5 ĐỀ CHÍNH

THỨC

Đáp án câu 5(Trang 5)

⇒ B = x5+ 5

1

x = 7.18 - 3 = 123

Đáp án câu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 :

4c)Chứng minh rằng : IK//AB

4d)Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để CA 2 + CB 2 đạt GTNN

Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến của tam giác.

Gọi N là trung điểm của AB.

Ta có:

= 2CN 2 – 2ND 2 + AN 2 + 2AN.ND + ND 2 + AN 2 – 2AN.ND + ND 2 = 2CN 2 + 2AN 2

= 2CN 2 + AB 2 /2

cung nhỏ AB.

=> C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.

Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R

N

K

I

F

D

E

O A

B

C

Tõ gi¶ thiÕt suy ra: (x +

x

1)2 = 9 ⇒ x +

x

1 = 3 (do x > 0)

⇒ 21 = (x +

x

1 )(x2 + 12

x ) = (x3 + 13

x ) + (x +

x

1 ) ⇒ A = x3 + 13

x =18

⇒ 7.18 = (x2 + 2

1

x )(x3 + 3

1

x ) = (x5 + 5

1

x ) + (x +

x

1 )

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

H Nà ộ i NĂM HỌC 2009 - 2010

Đề chính thức

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)

1.Cho M 1 1 a : 1 2 1

+

a) Tìm tập xác định của M

b) Rút gọn biểu thức M

c) Tính giá trị của M tại a 3

= + .

Bài 2: (2,0 điểm)

1 Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thị hàm số đã cho đi qua hai

điểm A(-2; 5) và B(1; -4)

2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −23

Bài 3: (2,0 điểm)

Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn Sau đó 75 phút, trên cùng tuyến đường đó một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ Hai xe gặp nhau tại Phù Cát Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC

1 Chứng minh tam giác ABD cân

2 Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E Kéo dài

AE (về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE Chứng minh rằng ba điểm D,

B, F cùng nằm trên một đường thẳng

3 Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường

tròn (O)

Bài 5: (1,0 điểm)

Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k

Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

7

ĐÁP ÁN (Trang 7)

Bài 2: (2,0 điểm)

1.Ta cĩ a, b là nghiệm của hệ phương trình

5 = -2a + b

-4 = a + b





-3a = 9 -4 = a + b





a = - 3

b = - 1





 Vậy a = - 3 và b = - 1

2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a) Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0 ⇔ m <

b) Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2

3

− Hay đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ đôï (−23;0) Ta phải cĩ pt

0 = (2m – 1).(- ) + m + 2 ⇔ m = 8

Bài 3: (2,0 điểm)

Quãng đường từ Hồi Ân đi Phù Cát dài : 100 - 30 = 70 (km)

Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy ĐK : x > 0

Vận tốc ơ tơ là x + 20 (km/h)

Thời gian xe máy đi đến Phù Cát : (h)

Thời gian ơ tơ đi đến Phù Cát : (h)

Vì xe máy đi trước ơ tơ 75 phút = (h) nên ta cĩ phương trình :

- = Giải phương trình trên ta được x1 = - 60 (loại) ; x2 = 40 (nhận)

Vậy vận tốc xe máy là 40(km/h), vận tốc của ơ tơ là 40 + 20 = 60(km/h)

Bài 4 : a) Chứng minh ∆ABD cân

Xét ∆ABD cĩ BC⊥DA (Do ·ACB = 900 : Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Mặt khác : CA = CD (gt) BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ∆ABD cân tại B

b)Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.

Vì ·CAE = 900, nên CE là đường kính của (O), hay C, O, E thẳng hàng

Ta cĩ CO là đường trung bình của tam giác ABD

Suy ra BD // CO hay BD // CE (1)

Tương tự CE là đường trung bình của tam giác ADF

Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng

c)Chứng minh rằng đường trịn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc

với đường trịn (O).

Ta chứng minh được BA = BD = BF

Do đĩ đường trịn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm và AB làm bán kính

Vì OB = AB - OA > 0 Nên đường trịn đi qua

ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường trịn (O) tại A

Bài 5: (1,0 điểm)

Với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

Vì Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k

Ta có: Sm+n = ( 2 + 1)m + n + ( 2 - 1)m + n

Sm- n = ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m - n

Suy ra Sm+n + Sm- n = ( 2 + 1)m + n + ( 2 - 1)m + n + ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m – n

(1) Mặt khác Sm.Sn = ( 2+ 1) + ( 2- 1) m m  ( 2+ 1) + ( 2- 1) n n 

= ( 2 + 1)m+n + ( 2 - 1)m+n + ( 2 + 1)m ( 2 - 1)n + ( 2 - 1)m ( 2 + 1)n

(2) Mà ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m - n

= ( 2+ 1)mn

( 2+ 1) + ( 2- 1)mn

( 2- 1) = ( 2+ 1) ( 2- 1)m nn ( 2- 1) ( 2+ 1)nm n

( 2- 1) ( 2+ 1)

+

= ( 2+ 1) ( 2- 1)m n n( 2- 1) ( 2+ 1)m n

1 +

= ( 2+ 1) ( 2- 1) m n + ( 2- 1) ( 2+ 1) m n

(3) Từ (1), (2) và (3) Vậy Sm+n + Sm- n = Sm Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

H Nà ộ i NĂM HỌC 2009 - 2010

Đề chính thức

9

Thụứi gian laứm baứi: 120 phuựt (khoõng keồ thụứi gian giao ủeà)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức:

N=

1

1 1

1

−

+ + +

−

n

n n

n ; với n ≥ 0, n ≠1

a) Rút gọn biểu thức N

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để biểu thức N nhận giá trị nguyên

Bài 2 (1,5 điểm):

Cho ba đờng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1;

n là tham số

a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b) Tìm n để đờng thẳng (d3) đi qua N

Câu 2 ( 2 điểm )

Cho hệ phương trình :







= +

= +

−

1 3

5 2

y mx

y mx

a)Giải hệ phương trình với m = 1

b)Với giỏ trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x2 + y2 = 1 Bài 4 (1,5 điểm)

Tìm hai số có tổng bằng 30 và tổng các bình phơng của chúng bằng 468

Bài 5 (3,5 điểm): Cho tam giác PQR vuông cân tại P Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ

cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E Gọi F là giao điểm của PQ và RE

a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn

b) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF

c) Tính số đo góc QFD

d) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR

Đáp án bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT(Trang10)

Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán Bài 5:

Q

P

R

F

x M

I N

a) Ta có: ∠QPR = 900 ( vì tam giác PQR vuông cân ở P)

∠QER = 900 ( RE ⊥ Qx)

Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dới một góc không đổi (900)⇒ Tứ giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR

b) Tứ giác QPER nội tiếp ⇒ ∠PQR +∠PER = 1800

mà ∠PER + ∠PEF = 1800 (Hai góc kề bù)

⇒ ∠PQR = ∠PEF ⇒ ∠PEF = ∠PRQ (1)

Mặt khác ta có: ∠PEQ = ∠PRQ (2) <Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ của đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác QPER>

Từ (1) và (2) ta có ∠PEF = ∠PEQ ⇒ EP là tia phân giác của gócDEF

c) Vì RP⊥QF và QE⊥RF nên D là trực tâm của tam giác QRF suy ra

FD⊥QR⇒ ∠QFD = ∠PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

mà ∠PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân ở P) ⇒ ∠QFD = 450

d) Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ (I,N cố định)

Ta có: MI là đờng trung bình của tam giác QRE ⇒MI//ER mà ER⊥QE

⇒ MI ⊥QE ⇒ ∠QMI = 900 ⇒ M thuộc đờng tròn đờng kính QI

Khi Qx≡QR thì M≡I, khi Qx≡QP thì M≡N

Vậy: khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR thì M luôn nằm trên cung NI của đờng tròn đờng kính QI cố định

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO 10 THPT (2008-2009)

Thời gian 120 phỳt – ĐỀ 5

Bài 1 ( 2 điểm )

1) Rỳt gọn biểu thức Q

2) Tỡm giỏ trị của x để

Bài 2 ( 2,5 điểm )

Cho hệ phương trỡnh:

1) Giải hệ với m=-2

11

Bài 3 ( 1,5 điểm )

Trong hệ tọa độ ) Oxy, cho đường thẳng (d): y = x +2 và Parabol (P):

1) Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)

2) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m với ( ) CMR:

Bài 4( 3,5 điểm )

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm của AO Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB

1) Chứng minh: tứ giác ACOD là hình thoi và

2) Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác BCD

3) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tổng (MB + MC + MD) đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 ( 0,5 điểm )

Giải bất phương trình: