bộ chuyên đề thi vào lớp 10 môn toán hay nhất

nTính giá trị của biểu thức đại số một biến Đinh văn đông Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán

Contents

Chương 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 3

Chuyên đề 1.1 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức 3

Rút gọn biểu thức đại số 3

Tính giá trị của biểu thức đại số một biến 11

Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện 13

Chuyên đề 1.2 Tìm điều kiện để biểu thức đại số thỏa mãn điều kiện cho trước .18

Chương 2:ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 24

Chuyên đề 2.1 Đẳng thức Một số phương pháp chứng minh đẳng thức có điều kiện 24

Tìm hệ thức không phụ thuộc vào tham số 30

Chuyên đề 2.2 Bất đẳng thức 33

Một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện 33

Áp dụng bất đẳng thức cauchy hai số để chứng minh bất đẳng thức 36

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu 39

Sử dụng vai trò như nhau của các biến để chứng minh bất đẳng thức 43

Chuyên đề 2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất 47

Một phương pháp tìm giá trị lớn nhất, 47

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 47

Suy luận để tìm ra lời giải trong bài toàn cực trị 53

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 57

Chuyên đề 3.1 Phương trình và bất phương trình bậc nhất 57

Chuyên đề 3.2 Phương trình bậc hai 61

Ba dạng toán thường gặp liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai 62

Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải toán 66

Bất đẳng thức về tính chất các nghiệm của phương trình đại số 71

Chuyên đề 3.3 Phương trình quy về bậc nhất và bậc hai 74

Phương pháp dùng ẩn phụ để giải một số dạng phương trình thường gặp 74

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn 81

Sử dụng hằng đẳng thức  2 2 2 2 A B  A  ABB để giải phương trình 85

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 88

Bài toán về số nghiệm của một số loại phương trình 93

Chương 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 97

Chuyên đề 4.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 97

Chuyên đề 4.2 Một số dạng hệ phương trình hệ phương trình đối xứng 102

Chuyên đề 4.3 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 115

Chuyên đề 4.4 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 125

Chương 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 131

Một số dạng toán về hàm số và đồ thị 131

Parabol- một đường cong tuyệt đẹp 140

Các đề tự luyện 147

Chương 1: biểu thức đại số

Chuyên đề 1.1

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Rút gọn biểu thức đại số

Thanh loan

để rút gọn biểu thức ta thường thực hiện như sau:

 Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa Lưu ý:

phương pháp Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, rồi rút gọn nhân tử chung (lưu ý phải đặt

điểu kiện cho mẫu thức khác 0)

để rút gọn biểu thức ta thường thực hiện như sau:

 Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa Lưu ý

a có nghĩa  a 0;

a

b có nghĩa  b 0;

 Vận dụng các phép toán đối với đa thức, phân thức, thứ tự thực hiện các phép tính, các hằng đẳng thức đáng nhớ

G a b c   ac bc  a b c   ac bc trong đó a,b,c là các số không âm

Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :

2 2

 Thí dụ 9: cho a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng

b) Giả sử x x x1, 2, 3 đôi một khác nhau mà f x 1  f x 2  f x 3 0 thì ax12bx1 c 0;

c) Suy ra a x 2x30 Vì x2 x3 nên a0 Từ đó suy ra b0, c0

Khi rút gọn các phân thức hữu tỉ, nếu khai triển các phép tính gặp phải những biến đổi phức tạp thì ta nên coi nó như một đa thức theo một biến rồi áp dụng mệnh đề trên Lúc đó công việc trở nên dễ dàng hơn

Vậy f x 1 đồng nhất bằng 0 , hay f x 1 với mọi x Suy ra f d 1

 Thí dụ 13 Đơn giản biểu thức

Lời giải Điều kiện xác định a b b,  c c,  a

Sau khi quy đồng mẫu số chung a b b c c a     , ta có tử thức là

- Nếu b0 hoặc bc hoặc c0 thì suy ra P0

Vậy biểu thức đã cho bằng 0

S    hãy viết S dưới dạng số thập phân n

Tính giá trị của biểu thức đại số một biến

Đinh văn đông Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi với những bài tập hay và khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phép biến đổi Ta thường sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện đã cho của biến để biến đổi

 Bài toán 1: tính giá trị của biểu thức

 2012  2 2012

5 4 3 2012

31

Tính giá trị của biểu thức b khi 1 2 1

 Bài toán 3: gọi a là nghiệm dương của phương trình 2

2x   x 1 0. không giải phương trình Hãy

tính giá trị của biểu thức

x   x có hai nghiệm trái dấu Gọi x là nghiệm âm của 1

phương trình Tính giá trị của biểu thức

a B

x

 

Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện

Để tính giá trị của biểu thức có nhiều hơn một biến số với điều kiện cho trước ta có thể sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện đã cho, phương pháp hệ số bất định hay phương pháp hình học Sau đây là một số ví dụ minh họa

I – phương pháp phân tích

 Thí dụ 1: cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2 2

7x 13xy2y 0Tính giá trị của biểu thức 2 6

x y A

A

 Thí dụ 2: cho các số thực dương x, y thỏa mãn

2012 2012

170422

x a B

32

Vậy  2 2 2  2 2

D x y z  y  z    Type equation here

 Thí dụ 5: cho các số thực dương , , , x y z t thỏa mãn

13

916

2 2 2

2942

2 2

2

251

2 2

50

16921442

y z y

Xét tam giác vuông ABC vuông tại C với AB13,AC5,BC12 gọi O là điểm nằm trong tam

giác ABC thỏa mãn AOC90 ;0 BOC1350 Đặt , ;

12

x

x y z x

x y t s

2 2

393

16

y

x xy y z

Chuyên đề 1.2

Tìm điều kiện để biểu thức đại số Thỏa mãn điều kiện cho trước.

Sau khi rút gọn biểu thức, đề thi có thể yêu cầu thêm:

 Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên

 Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên

 Tìm điều kiện để biểu thức không âm (hoặc không dương) hoặc thỏa mãn một bất đẳng thức, một đẳng thức nào đó

 Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên

phương pháp: biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và

một phân thức dạng a 

a Z

A  với A là đa thức với hệ số nguyên

để tìm giá trị là một số nguyên thì a nhận giá trị là ước số của a

Trong trường hợp cần tìm giá trị của biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên thì nên tìm trước các giá trị nguyên có thể có của biểu thức, từ đó suy ra giá trị của các biến số

a a a a Tìm các giá trị nguyên của a để a có giá trị

A nhận giá trị nguyên khi a 2 là ước số của 4, tức là a     2  4; 2; 1;1; 2; 4

Dễ thấy C 0 và c nguyên nên C 1; 2

41

x x

Vậy x0; 0, 25; 4 thì Cnhận giá trị nguyên

Dạng 2 Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên

Phương pháp Ta thường sử dụng một trong các cách sau:

 Chỉ ra giá trị của biểu thức nằm giữa hai số nguyên liên tiếp

 Hoặc biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và một phân thức, rồi chứng minh rằng tử thức không chia hết cho mẫu thức

 Hoặc chỉ ra giá trị của một biểu thức là một số vô tỉ

Do đó: 1C 2 Vậy giá trị của c không phải là số nguyên

 Thí dụ 5 Chứng minh rằng giá trị của D x2  4x2  36x2  10x 3 ( với x là số tự nhiên )

Giá trị của d nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp nên không là số nguyên

 Thí dụ 6 Cho biểu thức 23 2 1

n E

Vì vậy n 2n1 Do đó e không phải là số nguyên với mọi số n nguyên và n 1,n0

 Thí dụ 7 Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên n 1 Chứng minh rằng p 1 không là số nguyên

Lời giải Giả sử p 1 k k Nthì 2   

pk   k k

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 suy ra k1,k1 đều là số chẵn nên p 4 ( điều này

vô lý vì p 2 và p 4 )

Vì vậy p 1 phải là số hữu tỉ Suy ra điều phải chứng minh

Dạng 3 Tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức hoặc một đẳng thức

Phương pháp Trước hết rút gọn biểu thức, rồi từ điều kiện đã cho dẫn đến phương trình hoặc bất

phương trình ( ẩn là biến số đã cho )

x x x F

x

x x

 Thí dụ 9 Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

a) Rút gọn m

b) Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức m có giá trị nguyên

Bài 2 Cho biểu thức

a) Rút gọn n

b) Tìm x để 1

3

N   c) Tìm các giá trị nguyên của x để n nhận giá trị nguyên

Bài 3 Cho biểu thức   2

Chương II:đẳng thức và bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh

Đẳng thức có điều kiện

I – phương pháp biến đổi đại số

1 Dùng phép biến đổi tương đương

 Thí dụ 1 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

Lời giải Biến đổi vế trái ta được

Ii – phương pháp đổi biến

 Thí dụ 8: cho ba số a b c, , khác không thỏa mãn ab bc ca  0. chứng minh rằng

Bài 15 Cho a, b, c là ba số hữu tỉ, thỏa mãn abc = 1 và

2 2 2

2 2 2

b c a  a  b  c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a; b; c là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 16 Cho a, b, c là ba số nguyên khác không thỏa mãn a b c 3

b   c a Chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên

Tìm hệ thức không phụ thuộc vào tham số

Có những hệ phương trình hoặc các đẳng thức mà từ đó ta có thể tìm được một hệ thức giữa các ẩn hoặc các chữ không phụ thuộc vào các tham số Để tìm hệ thức đó ta thường sử dụng các phương pháp sau đây

Do đó  2 2 2 2

0

x y z x y z xyyzzx (không phụ thuộc vào a, b, c)

3, tính mỗi biến hoặc biểu thức chứa mỗi biến theo các tham số rồi tìm quan hệ giữa các biến

 Thí dụ 3: cho bycza, axczb ax, byc Tìm hệ thức giữa a, y, z không phụ thuộc a, b, c với a  b c 0

Lời giải: cộng ba đẳng thức trên theo vế ta được

Lời giải: điều kiện để phương trình có hai nghiệm là m1

Lời giải: cộng ba đẳng thức trên theo vế ta có

6 Phối hợp các phương pháp trên và các phép biến đổi khác một cách thích hợp

 Thí dụ 7: cho ax by z ; aybzx ; azbx y Tìm hệ thức giữa x y z, , không phụ thuộc vào a b c, ,

Lời giải: cộng ba đẳng thức đã cho theo vế ta có

x y z không phụ thuộc vào a b c, ,

lời giải: nhân ba đẳng thức đầu theo vế ta được

a b  a b x a b y tìm hệ thức giữa x y, không phụ thuộc vào a b,

Bài 2 Tìm hệ thức giữa x y z, , không phụ thuộc vào a b c, , thỏa mãn các đẳng thức sau

ax by cz  g) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x b bc c y c ca a z a ab b và ab bc ca  0

Bài 1 Cho phương trình 2

(m3)x 2(m1)x m  2 0(m3) tìm hệ thức giữa hai nghiệm x1 và x2

không phụ thuộc vào m

Chuyên đề 2.2

Bất đẳng thức Một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Trong bài toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện , chúng ta có thể dựa vào điều kiện của biến để

đặt ẩn phụ, đưa bài toán về dạng đơn giản hơn có thể đánh giá được trực tiếp mà không cần sử dụng các kiến thức cao Dưới đây là một số thí dụ

 Thí dụ 1 Cho x y 2 Chứng minh rằng 5 5

2

x y 

phân tích Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x y 1, dẫn đến cách đặt x 1 a y,  1 a a, 

giúp cho lời giải bài toán đơn giản hơn

lời giải : đặt x 1 avới Từ giả thuyết suy ra y 1 a

Ta có 5 5 5 5 2 4

x y  a  a   a  a 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a0, dẫn đến x y 1

 Thí dụ 2: cho x  y z 3 Chứng minh bất đẳng thức sau

6

x y z xyyzzx

lời giải Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Đặt x 1 a y,  1 b a b, ( ,  ) Từ giả thuyết suy ra z  1 a b

0

00

02

b

a b

b a

lời giải: dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b c d

Đặt c a x , với xR Từ giả thiết suy ra d  b x Ta có

x

a b x

Lời giải: dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi x4

Đặt x 4 t , từ giả thiết suy ra t0

Ta có   2  3 2  2

A t    t t t  t t t  t   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t0 ,suy ra x4

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 32 khi x4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a0 hoặc a1 , do đó x1,y2 hoặc x0,y3

 Thí dụ 6: cho x1;x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

B x y  xy

lời giải: đặt x 1 a và x  y 3 b , từ giả thiết suy ra a0,b0

lời giải : dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b 1

Đặt a 1 x b;  1 y , từ giả thiết suy ra x y 0 ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

lời giải: dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b 1

Đặt a 1 x, b 1 y  Từ giả thiết ab1 suy ra 1x1y   1 x y xy0

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

x y   x y x y xy  x y (đúng vì x y xy0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0 hay a b 1

Bài tập

Bài 2 Cho a  b c 3 Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3

bây giờ ta ứng dụng bđt cauchy hai số để giải các bài toán sau đây

 ví dụ 1 Cho a b c, , là các số thực dương sao cho ac b, c Chứng minh rằng:

cộng theo vế hai bđt trên ta có điều cần chứng minh

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a c

nhân theo vế hai bđt trên ta có bđt cần chứng minh

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

ví dụ 3 Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng: 2 2    

Lời giải Bđt cần chứng minh tương đương với:

cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có bđt cần chứng minh

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

ví dụ 5 Cho a b c, , là các số thực dương sao cho abc1 Chứng minh rằng:

(thi olympic toán quốc tế lần thứ 46 – năm 2005)

lời giải Bđt cần chứng minh tương đương với

cộng theo vế ba bđt trên, ta được bđt (4)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu

Nguyễn minh nhiên

trong các kì thi vào lớp 10 thpt chuyên trong cả nước và các kì thi học sinh giỏi, ta gặp rất nhiều bài toán

chứng minh bất đẳng thức (bđt) có chứa biến ở mẫu Trong bài viết này, tác giả xin giới thiệu một số kĩ nẳng giải bài toán dạng đó

  2

162

2 Đặt mẫu là các biến mới

 Thí dụ 3 Cho ba số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

cộng theo vế các bđt trên suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a b c

5 Thêm bớt biểu thức để khử mẫu

 Thí dụ 6 Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z 3 Chứng minh rằng:

Từ đó suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

 Thí dụ 7 Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng:

 

a b c   ab bc ca   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a b c

 Thí dụ 9: cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn abc1abc1 Chứng minh rằng

Bài 6 Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

 Thí dụ 1: (bđt schur) Cho các số thực a b c, , không âm Chứng minh rằng

a a b a c b b c b a  c c a c b 

lời giải

do vai trò của a b c, , là như nhau nên có thể giải sử a b c

+) nếu có hai trong ba số a b c, , bằng nhau thì bđt trên hiển nhiên đúng

+) nếu a b c, chia hai vế bđt cần chứng minh cho a b b c   a c  ta được bất đẳng thức

b ca ca b

bất đằng thức trên luôn đúng do 0

Đẳng thức xảy ra khi a b c; ;   2;1;0 và các hoán vị (đpcm)

 Thí dụ 3: cho ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c abc   4 Chứng minh rằng

ab

 



 Kết hợp với  1 ta có

b y

Chuyên đề 2.3

Tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất

Một phương pháp tìm giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nguyễn anh tuấn

khi gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất (gtln), giá trị nhỏ nhất (gtnn) của biểu thức có dạng P A

B

 , trong

đó A B, là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai một biến (hoặc hai biến) và B0, thông thường ta nghĩ đến

phương pháp tìm “miền giá trị của P ” Phương pháp này thường sử dụng đến điều kiện có nghiệm của phương

tìm điều kiện để biểu thức đại số 18 thỏa mãn điều kiện cho trước .18

chương ii:đẳng thức và bất đẳng thức 24

chuyên đề 2.1 24

đẳng thức Error! Bookmark not defined

một số phương pháp chứng minh 24 đẳng thức có điều kiện 24 tìm hệ thức không phụ thuộc vào tham số 30 chuyên đề 2.2 33

bất đẳng thức 33

một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện 33

áp dụng bất đẳng thức cauchy hai số 36

để chứng minh bất đẳng thức 36