Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X.. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM với M là trung điể
Trang 1Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y= -x4-2mx2+m2 + m (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2
b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành một
cấp số cộng.
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình sin 2x-cos x+2sin x=cos 2x+ 3sin x 2
Câu 3. (1,0 điểm)
a) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ.
b) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z biết rằng số phức
2 2( )
w= i+z -iz- z là số thuần ảo.
Câu 4. (1,0 điểm) Giải phương trình -2x3+10x2-17x+ =8 2x23 5 x - x 3
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân ( 3 ) 2
1
1 ln 2 1
2 ln
x x
=
+
ò
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABD bằng 120 0 ,
SA vuông góc (ABC), góc giữa cạnh SC và (ABC) bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM với M là trung điểm cạnh SD.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có B, C thuộc trục tung, phương
trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết rằng bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC bằng 1.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) và đường thẳng
d có phương trình 1 2 3
- . Tìm M thuộc d sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3.
Câu 9. (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a 3 +b 3 = c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P
=
Trang 2Câu 1
(2,0
điểm)
a) 1,0 điểm
m = – 2 => y = – x 4 + 4x 2 + 2
TXĐ: D = R
xlim y x lim y
®+¥ = ®-¥ = -¥
y’ = = – 4x 3 + 8x
x 0
y ' 0
=
é
= Û ê
= ±
ë BBT
y’ + 0 – 0 + 0 –
-¥
6
Hàm số tăng trên (-¥ - , 2) và (0, 2)
Hàm số giảm trên (- 2, 0) và ( 2,+¥ )
Điểm cực đại (± 2, 6) , điểm cực tiểu (0 , 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 3b) 1,0 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và Ox là:
x 2mx m m 0 (2)
Đặt t = x 2 (t³ 0 ), (2) thành: t2+2mt-m2 -m= 0 (3) YCBT ó pt (2) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
ó pt (3) có 2 nghiệm phân biệt dương t1, t2 thỏa 9t1 = t2 (0 < t1 < t2)
2
2
1 2
9t t
ìD = + >
ï
= - - >
ï
Û í
= - >
ï
ï =
î
2
1 2
1 2
1 2
1
1 m
2
9t t
ì
- < < -
ï
ï
= - -
Û í
ï + = -
ï
=
ï
1
2
2
1 2
1
1 m
2
m
t
5 9m
t
5
ì
- < < -
ï
ï
ï = -
ï
Û í
ï
= -
ï
ï
ï = - -
î
2
2
1
1 m
25
2
m
34 9m
25
ì
- < < -
ï
ï = - -
ï
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu 2
(1,0
điểm)
2 sin 2x-cos x+2sin x =cos 2x+ 3sin x
2 sin x cos x 2 sin x 2 cos x 1 3(1 cos x) cos x
2
2 sin x(cos x 1) cos x cos x 2
0,25
Trang 42 sin x(cos x 1) (cos x 2)(cos x 1)
(cos x 1)(2sin x cos x 2) 0
cos x 1 (1)
2 sin x cos x 2 (2)
= -
é
Û ê
ë (1)Û x= p +k2p (kÎ Z)
(2) sin x cos x
a = a = ta đươc
cos(x ) sin cos
2
p
- a = a = ç - a ÷
2
(k Z)
2
p
é
= + p
ê
-p
ê = + a + p
ê
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(1,0
điểm)
a) 0,5 điểm
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X.” Khi đó n( )W =A 9 6 = 60480 .
• Gọi A là biến cố: “Số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ.” Khi đó
+ Chọn ba chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9: có C cách. 5 3
+ Chọn ba chữ số chẵn đôi một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8: có C 4 3
cách.
+ Sắp xếp sáu chữ số trên để được số thỏa biến cố A: có 6! Cách.
Khi đó n A( )=C C 53 4 3 .6! 28800 =
• Vậy xác suất để số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ là
( ) 28800 10
( ) 60480 21
n A
P A
n
0,25
0,25
Trang 5• w=2(i+z)-iz- z2 = -( x2-y2 +2x+y) (2 2+ - y- x i ) .
• w=2(i+z ) -iz- z 2 là số thuần ảo
2
.
• Vậy tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z
là đường trịn tâm 1; 1
2
I ỉç ư ÷
è ø cĩ bán kính
5
2
R = .
0,25
0,25
Câu 4
(1,0
điểm)
Nhận xét: x = 0 khơng thỏa phương trình cho
Chia hai vế của phương trình cho x 3 , ta được: 2 3 3 2
Đặt t 1 ( t 0 )
x
= ¹ , phương trình trở thành: 2 3 3 2
2 10t 17t 8t 2 5t 1
( ) 3 ( ) ( 3 2 ) 3 3 2
2t 1 2 2t 1 5t 1 2 5t 1
( ) 3
2 ,
f t t t t R
Ta cĩ: ( ) 2
' =3 + >2 0, " Ỵ
f t t t R nên f đồng biến trên R , vì vậy:
0
17 97
16
17 97
16
t
t
é
ê =
ê
+
ê
ê
-
ê
=
ê
(loại)
(nhận) (nhận)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6Vậy phương trình cho có 2 nghiệm: 17 97
12
x = ±
Câu 5
(1,0
điểm)
Tính tích phân ( 3 ) 2
1
1 ln 2 1
2 ln
x x
=
+
ò
2
2
Tính I1
1
1
1
e
I = = -
Tính I2: Đặt t=2+xlnxÞdt=( 1 ln + x dx )
Đổi cận: x= Þ = 1 t 2 ; x= Þ = + e t e 2
2
2
2
ln | | ln
2
e
t
+
Vậy:
3
ln
I = - + +
0,25
0,5
0,25
Câu 6
(1,0
điểm)
* Tam giác ABC đều cạnh a nên AC = a, a 3
BO
2
=
* SA^ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABC)
=> Góc giữa SC và (ABC) là góc SCA bằng 60 0
* Tam giác SAC vuông có SA=AC.tan 600 = a 3
*
2 ABCD ABC
a 3
2
Vậy
3 S.ABCD ABCD
* Gọi N là trung điểm của AD
0,25
0,25
Trang 7Dựng AH^ BN tại H ta được :
AH BN
AH (BMN) d(A, (BMN)) AH
AH MN (do MN//SA)
^
ì
í
^
î
* Tam giác ABM có
2
BN AB AN 2AB.AN.cos120
4
a 7
BN
2
2
0 AMN
S AB.AN.sin120
=> 2S AMN a 21
AH
d(SA, BM)
14
=
0,25
0,25
Câu 7
(1,0
điểm)
* C là giao điểm của AC và Oy => C(0 , 4)
* Gọi B(0 , b)
* Phương trình AB: y = b (do AB vuông góc BC ºOy)
* A là giao điểm của AB và AC => 16 4b
3
-
0,25
Trang 82 ABC
4
b 4
-
* r = 1 b 1 A(4,1) , B(0,1), C(0, 4), D(4, 4)
b 4 3
b 7 A( 4,7) , B(0, 7), C(0, 4), D( 4, 4)
= Þ
é
ë
0,25
0,25 0,25
Câu 8
(1,0
điểm)
MÎdÞM(1+2m;-2-m;-3+2m)
2;1; 2 ; 2; 2; 4 , 0; 12; 6
2 1; 3; 2 3
uuuur
uuur uuur uuuur
24 18 18
24 18 18
0 (1; 2; 3)
2; ; 6
MABC
m
m
+ =
é
ë
é
ê
ê = Þ ç- - ÷
ë
uuur uuur uuuur
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 9
(1,0
điểm)
, , >0 ê =a >0; = b > 0
Ta có:
Chia cả tử và mẫu của P cho c 2 ¹ 0 và thay x,y . Ta được:
( )( )
( ) ( )
2
x y
P
+ -
3
1
3
-
= + Þ = t Dat t x y xy
t
0,25
Trang 9( )
3
( )
3
3
3
4 2
4 1
+
-
Vi t n n f t
3
3
3
4 2
4 1
+
-
0,25
0,25 0,25