Phương pháp số cho trường điện từ4_2

Luận văn thạc sĩ toán học: Phương pháp số cho trường điện từ

#uậu săn (lạc sj Foin hoe — $6 Van Lai 17

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP GALERKIN

VA BAI TOAN BIEN HON HOP CHỌ

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chương này trình bày phương pháp Galerkin và khảo sát định tính bài toán biên hỗn hợp cho phương trình loại elliptic, ở đây ta giới hạn khảo sát bài toán trong

2.1.PHƯƠNG PHÁP GALERKIN

Phương pháp Galerkin được dùng để tìm lời giải xấp xỉ cho bài toán biến phân (P) sau đây:

Tìm € V sao cho

trong đó ƒ € ƒ“ cho trước, V là không gian Hilbert tách được và ặ,.) là dạng song tuyến tính, liên tục và bức trên V

Ý tưởng của phương pháp Galerkin là: Vì W là không gian Hilbert tách được nên bài toán (P) được đưa về giải trong không gian con hữu hạn

chiều của W Ta gọi bài toán xét trong không gian con hữu hạn chiều là

bài toán xấp xỉ của bài toán (P)

Chúng ta nói về bài toán xấp xỉ

Yuin vin Shae sj Fain hoe — Le Van Lai 18

2.1.1 Bài toán xấp xỉ

Do V là không gian Hilbert tách được nên tổn tại dãy {el ke N}

độc lập tuyến tính của V sao cho không gian sinh bởi {¿,| & € Ñ} thì trù

mật trong V

V6i mdi m EN, goi V,, = (ee Jl<k< m), không gian con sinh bởi

các véctØ œ,, ÿ = I,m Không gian W„ là không gian hữu hạn chiềụ Ta

tìm nghiệm xấp xỉ của (2.1) trong 1⁄„, m3 nghĩa là ta tìm w„ € W sao cho m

d(w„,0) = (f0), Vòc€ V„, (2.2)

VỚI

bol:

Ta dat:

- Phiếm hàm a„(.,.) là thu hẹp của phiếm hàm ặ,.) trén V,, x V,, m

- Phiếm hàm f, m là thu hẹp của phiếm hàm ƒ trên W„

Khi đó (2.2) được viết thành

,, (Uys?) = (fns¥) Vv € V,, m3 (2.4)

Ta gọi bài toán xấp xỈ cấp m của (P) là bài toán (P,): Tìm m

u„ € V„ thỏa (2.4)

Ta có kết quả nói về sự tổn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Œ,):

Yuin vin Shae sj Fuin hoe — Fé Vin Lai 19

Dinh lí 2.1 Bài toán (P„) có duy nhất lời giải u,, € V,,

Chứng minh

Dễ thấy W„ là một không gian Hilbert với tích vô hướng thu hẹp từ

V, a„ là phiếm hàm song tuyến tính liên tục, bức trên W„„ và ƒ„ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên W„ Theo định lí Lax - Milgram, tổn tại duy m nhat wu, €V,, thoa (2.4) Ở đây, ta đưa ra một chứng minh trực tiếp thích hợp cho việc giải số

Sử dụng (2.3), bài toán (P„) tương đương với việc giải hệ gồm m

phương trình tuyến tính với m ẩn €,, k = 1,m

3 )ă,,2,)6, =@), 1<¡<m (2.5)

k=1

Ta chứng tổ ma trận hệ số (ø(,,#,));«,;<„ của hệ (2.5) là khả đảọ Thật vậy, từ hệ phương trình thuần nhất

m

Solos e& =0, l<i<m, k=l

suy ra

m

AP, PEE = 0

i k=l

Dùng điều kiện bức và song tuyến tính trên ƒ của ặ,.), ta có

i,k=1

2

Do đó,

Luin vin Shae sx Foin hoe — $6 Vin Lai 20

hy, =0

k=l

Suy ra & =0, 1<k<m, vi (y,) là cơ sở của V,, Va do dé, hé

thuần nhất mà ta xét chỉ có nghiệm tầm thường Nghĩa là ma trận hệ số

(+ (2,.e,))¡.,,<„ của hệ (2.5) là khả đảo

Vậy bài toán (,„) có duy nhất lời giải Kết thúc chứng minh

2.1.2 Sai số của lời giải bài toán (P) và (P,)

Giữa nghiệm của bài toán (P) và bài toán xấp xỉ (P„) có sai số được cho bởi định lí sau:

Định lí 2.2 Tôn tại hằng số Ở > 0 độc lập tới không gian con V„„ của

V sưo cho

|+- +„||< C inf ilu — 9l (2.5)

Chứng minh

Với mỗi 0 € W„„, ta đặt = u—„ €W„ CV mì m Ta có

a(u, w) = (f,w),

a(u,,,w) = (fw)

Suy ra

a(u—u,,,w) =0, tức là,

hậu săn (lạc Jÿ 2uáu đọc — Fé Vin Lai 21

Khi đó sử dụng tính bức và liên tục của ặ,.) ta suy ra

all — tự < a0 — uy — tự)

= d(U — t„„0 — 0) m3

< M |u dh

|.IIu — øỊ

Do đó, ta có (2.5) với Œ= = va M la hang s6 trong dinh nghia vé su liên tục của ặ,.) Định lí chứng minh xong

2.1.3 Sự hội tụ của phương pháp Galerkin

Liệu nghiệm xấp xỉ u„„ có hội tụ về nghiệm chính xác hay không?

Định lí 2.3 Cho V là một không gian Hbert tách duoc va ặ,.) la một phiếm hàm song tuyến tính liên tục uà bức trên V Khi đó lời giải bài toán (P„) hội tụ mạnh trong V về lời giải bài toán (P)

Để chứng minh định lí ta cần bổ để sau đây:

Bổ đề Với các giả thiết của định lí 2.3 ›à với dãy (Yn) CV hoi tu yếu uề ¿ € V Với mọi tÙ € V„ ta có

moo

m—oo

Yuin vin hac sj Fain hoe — Le Vin Lai 22

Chứng minh bổ đề Cho €V và g„ — ¿ yếu trong V, ta có

av, Pn.) — ă0,2)| = |ă2.£„ — ©)|

Với mỗi w EV, Anh xạ 0¬ ă,) là phiếm hàm tuyến tính liên tục và do (q„) hội tụ yếu về ¿ trong W7, ta suy ra

d(,@„ — @) — 0, khirn — cọ

Và như vậy, (2.6) được chứng minh; (2.7) chứng minh tương tự

Chứng minh định lí 2.3

Trong (2.3), lấy = 0„, m 3 ta có

Do ặ,.) song tuyến tính liên tục và bức trên V, ta suy ra

fg PS ăw„,#„) = Poh) < Mlle nll (2.9)

nghia 1a,

a

Suy ra {u,,| m€N} 1a tập bị chan trong V Va do V 1a không gian

Hilbert nén, theo định lí 1.8, tổn tai u, € V và một dãy (w,,) C (u,,) sao m

cho

u„ ‘My, —> u, yếu trong ƒ khi k — oọ (2.11)

Với 0 là một tổ hợp tuyến tính một số hữu hạn các ợ,, ta có j€ Ñ

sao cho ø € W„, Vĩm, > j Do đó,

hậu săn Thac sg Toin hoe — Le Van Lai 23

Sử dụng (2.11) và (2.7), khi k — oo, ta nhận được

Đẳng thức này đúng với mọi ø là tổ hợp tuyến tính của một số hữu

hạn các ¿, và vì (2j|¿€ N) = V nên (2.13) thoả với mọi ø € V Do tính duy nhất nghiệm của bài toán (P), ta suy ra

U= U,

Bay gid ta ching minh day (u,,) hdi tu yéu vé u, (chinh 1a w) trong

V Giả sử tổn tại g€W“ sao cho (ø,u„) không hội tụ về (ø,u,) khi

mm —> so, tức là, tổn tại số dương e, và dãy (m,) thỏa

|Ío.s„.)— (6 )

.) bi chận vì là dãy con của dãy (u„) Do chứng minh ngay

>e,>0, VEEN (2.14)

Ma day (u„

phía trên day, day (u,„ ) có dãy con, để đơn giản ta vẫn kí hiệu là (u„, ), hội tụ yếu về u, trong Wˆ Điều này mâu thuẫn với (2.14)

Cuéi cing ta chtfng minh u,, > w manh trong V khi m — co Xét biểu thức

Xu = đ(tụ, — 0t, — 0)

Ta có

X,, = a(u,,,U,,) — a(u,,, m "md Sm 6) — a(u, u,,) + a(u, u)

Do (2.8),

Luin vin Thee sj Join hoe — 6 Văn Lai 24

(Lys thỵ) = (F.%4,,)s

va vi u,, hditu yéu vé wu trong V, ta c6

lim ău,,,u,,) = (f,u) (2.15)

Theo (2.6) và (2.7), ta cũng có

lim ău,u,,) = ău, wu) (2.16)

moo

lim ăw,,,u) ‘m? = ău, 0) (2.17)

moo

Kết hợp (2.15), (2.16) và (2.17), ta suy ra

Từ tứnh bức của ặ,.), ta có

0<alu,, —ul < X,, (2.19)

Do (2.18) và (2.19), u,, + w manh trong V khi m — oọ Két thtic chttng minh

2.2.BAL TOAN BIEN HON HGP CHO PHUONG TRINH

ELLIPTIC

2.2.1 Bài toán

Trong phần này chúng ta khảo sát định tính bài toán (P') sau đây: Với © là tập mở, bi chan, liên thông có biên ØÔ thuộc lớp ŒỶ từng

khúc của IR” hoặc I8” Tìm hàm ø € Œ?(0)ñŒ!(6) thỏa

Yuin vin Lhae 3 Foin hoe — Fé Van Lai 25

—Au=f trên Q (2.20)

với các điều kiện biên

va

Out ku =h trên ÔN, (2.22)

on trong đó Ø# là một phần biên của Q va OQ\ JE = ON véi dd do duong

trong OQ Va a là đạo hàm theo hướng pháp tuyến, ? là pháp tuyến

n

ngoài của ØO; k là một hằng số không âm, ƒ € (9) và h € /(ØN) là các hàm cho trước

Điều kiện (2.21) được gọi là điều kiện biên Dirichlet và (2.22) được

2.2.2 Nghiệm mạnh, nghiệm yếu

Định nghĩa 2.1

Hàm uc C (G)nŒ!(Ø) thoả (2.20), (2.21) và (2.22) được gọi là

nghiệm mạnh của bài toán (P')

Hàm w€V, định nghĩa trong (1.8), được gọi là nghiệm yếu của (P') nếu u thoả

J Vuvode + kf uvds = Jf fede + © huds, Wu EV, (2.23) trong d6 ds 1a vi phan mat (tuong ting 1a vi phan cung ).

Yuin vin hac sj Fain hoe — Fé Vin Lai 26

Mối quan hệ giữa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán (P') được cho bởi

Định lí 2.4 Mọi nghiệm mạnh đều là nghiệm yếu

Chứng minh

Giả sử œ là nghiệm mạnh của (P/) Rõ ràng ¡u€ W Nhân hai vế của (2.20) với ø € W và lấy tích phân hai vế trên ©, ta được

Theo công thức Green, ta có

— ‘ Auede =—f) 2 on’ ds+ f° VuVudz,

nên từ (2.20), suy ra

— ns ds+ f VuVvde = f° fede

a2 An

v=0trén OF

On nên ta suy ra (2.23) Vay œ là nghiệm yếu của (P'

Ngược lại, với một số giả thiết từ nghiệm yếu chúng ta có thể tìm trở

lại nghiệm mạnh Đó là nội dung của định lí sau đây.

hậu sửn //0ạc 3Ø Foin hoe — $e Van Lai 27

Định lí 2.5 /Vếu u € Œ”(Q)nŒ1!(Ö) thoả (2.23), tức u là nghiệm yếu

của bài toán (P') thì u là nghiệm mạnh của (P)

Chứng minh

Thật vậy, trong (2.23) xét ø € Ø(Q) ta thu được

J VuVude = J man

Dùng công thức Green cho vế trái ta suy ra

—[ Aodr = [` Juản

Do đó,

—Au =ƒ

theo nghĩa phân bố và vì u € Œ”(O) nên

—Au=ƒ theo nghĩa thông thường

Về điều kiện biên Vì —A2 = ƒ nên với ủ € V ta có

—f Aude = f° fode

Áp dụng công thức Green cho vế trái và chú ý ø = 0 trên Ô#, đẳng thức

trở thành

Ou

— 2n 95+ f Vuvode = f° fode (2.25)

ano

So sánh (2.23) va (2.25), ta rút ra

Luin ăn (lạc 0ÿ (báu ñục — Fe Vin Lai 28

J lš+ ku — vas =0

anlon

Từ đó ta có điều kiện biên (2.22) Vì „€ W nên % thỏa điểu kiện biên (2.21):

Từ định lí 2.4 và 2.5, để khảo sát bài toán (P), ta khảo sát bài toán sau đây

2.2.3 Bài toán biến phân

Tương ứng với bài toán (P’) ta xét bai toán biến phân (?P):

Tim u € V sao cho

Trong đó,

va

a(u,v) = Jf Vuvods + kf uvdz, (2.28)

(f,v) = J ,Judt + 1 vd (2.29)

Sự duy nhất nghiệm của bài toán biến phân (7) được cho bởi

Định lí 2.6 Bài toán (P) có duy nhất lời giải

Chứng minh

a) Trước tiên, là không gian Hilbert Điều này đã được chứng minh trong định lí 1.9.

Luin vin hac sg Foin hoe — Fé Vin Lai 29

b) Ké dén, ta chttng minh ặ,.) là dạng song tuyến tính liên tục

và bức trên V

ặ,.) là dạng song tuyến tính: Hiển nhiên

ặ,.) liên tục Với mọi , ø € V, ta có

|ăz,»)| = |Í,VwVsdz + kf uuải

< Javed + kf luolds

< fivallvel dx + kf luvlds

<|\Vull, [Vol], + A lleallzvany lolleony

= Val, [Vo], + & lulz coo) lolle@a

<|Va, [Vol], + 6M IIalin thelr

< max(1,kM)IIullu: lIollur

Ở đây, ta đã dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho dấu bất đẳng thức thứ hai, bất đẳng thức Hölder cho dấu bất đẳng thức thứ ba và định lí vết cho dấu bất đẳng thức thứ tư

ặ,.) bức trên Wƒ' Với mọi u € V, ap dung định lí 1.9, ta có

ău,u) = |Vul, + kilule,

> altulis + kllell

> allullin ,& > 0.

Yuin van Thue sg Fatn đọc — 48 Vien Lai 30

c) Cuối cùng, ta chứng tỏ ƒ là phiếm hầm tuyến tính, liên tục trên

Va

Dé thay f là phién ham tuyén tinh trén V

Sự liên tục của ƒ trên V Với mọi ø € V, sử dụng bất đẳng thức Hölder và định lí vết, ta có

l/.9|< | ff fede + |

<|l¿ -elz + |P|¿¿„ Hellen

<l/

<(l; +llh

|; -IIelue + ||h|¿;,¿„; Mller

M) lolli

D(ON) *

Và như vậy các giả thiết của định lí Lax - Milgram được thỏa mãn

Do đó, bài toán (P) có duy nhất lời giảị Kết thúc chứng minh

Vì ặ,.) song tuyến tính, liên tục, bức trên V và ƒ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V nên ta có

Định lí 2.7 Nghiệm wu cua bài toán (P) phụ thuộc liên tục uào ƒ

Tóm lại, trong phần này ta đã chuyển việc khảo sát bài toán (P') về khảo sát bài toán biến phân (P) Nghiệm của bài toán biến phân tổn tại và

duy nhất nhờ vào định lí Lax - Milgram Hơn nữa, không gian hàm V là

không gian Hilbert tách được nên nghiệm của (P) có thể được tìm dưới dạng xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin