Đê tài TN Toán ĐH tại chức ĐHSPHN

Cũng nh các đồng nghiệp tôi nhận thấy thực trạng hộc sinh lớp 8, học sinh lớp 9 rất sợ dạng giải bài toán bằng cách lập phơng trình.. Giải toán lập phơng trình trong trờng THCSB - Nội du

Trang 1

Bộ Giáo dục - Đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội

Khoa: toán - tin

==================

Đề tài nghiệp vụ s phạm

Giải toán lập phơng trình trong trờng phổ thông trung học cơ sở

Trang 2

+ Do yêu cầu của bộ môn.

+ Do nhu cầu học tập của bản thân muốn nâng cao trình độ chuyên môn

B - Nội dung: Tr 5

I - Cơ sở lý luận.

+ Đổi mới phơng pháp dạy học

+ Rèn luyện thao tác t duy ( theo sơ đồ đính kèm )

+ Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Trang 3

Dạng 3: Toán năng suất Tr 15Dạng 4: Toán chuyển động Tr 19

Giải toán lập phơng trình trong trờng THCS

Dạng 5: Toán phần trăm Tr 27Dạng 6: Toán liên quan tới hình học, lý học, hoá học Tr 30Dạng 7: Toán chung, riêng Tr 34

D - Bài soạn: 2 tiết

Tài liệu tham khảo

Trang 4

A - Lời nói đầu.

Toán học là một bộ môn chiếm vị trí quan trọng trong trờng phổ thông Dạy học là dạy phơng pháp suy luận lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng t duy lôgíc cho học sinh

" Giải bài toán bằng cách lập phơng trình " là một dạng toán hay nhiều dạng bài toán rất gần với thực tế Cũng nh các đồng nghiệp tôi nhận thấy thực trạng hộc sinh lớp 8, học sinh lớp 9 rất sợ dạng giải bài toán bằng cách lập phơng trình Mặc

dù các bớc giải loại toán này đã đợc hớng dẫn ở phần đại số lớp 8 Song trên thực

tế cứ đến phần toán này là các Em rất lúng tùng không biết làm thế nào để lập

ph-ơng trình và diễn đạt các ý ra sao, để khớp với thực tế và giải quyết đợc bài toán

Trớc sự lúng túng trong quá trình làm bài tập của các Em, đã thúc đẩy tôi cùng đồng nghiệp tìm tòi phơng pháp dễ hiểu nhất giúp các Em khắc phục những trở ngại đó nhằm làm tốt công tác giảng dạy, củng cố chuyên môn của ngời Giáo viên

Sau đây em xin trình bày đề tài " Giải toán lập phơng trình " trong trờng phổ thông THCS

Bài viết này không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong đợc sự

đóng góp ý kiến, sự giúp đỡ của Ban giám khảo, của các Thầy giáo giúp Em hoàn thành chơng trình môn học

Trang 5

B - Nội dung

I - Cơ sở lý luận

Đổi mới phơng pháp dạy học đang là vấn đề trung tâm của dạy học hiện nay, nhng phải đảm bảo " Học sinh chủ động giáo viên chủ đạo " trong việc rèn và lĩnh hội tri thức của học sinh, để các em có kỹ năng đơn giản hoá các vấn đề phức tạp

Một trong 5 kỹ năng cơ bản của môn đại số lớp 8, lớp 9 là " Kỹ năng toán học hoá tình huống " tức là kỹ năng giải toán thực tế bằng cách lập phơng trình

Toán lập phơng trình không tuân theo thuật toán nhất định nên học sinh khó hiểu, khó nhớ nắm bắt

Toán lập phơng trình đòi hỏi học sinh phải biết cách " Phiên dịch " từ ngôn ngữ " Mẹ đẻ " ( Tự nhiên ) sang " ngôn ngữ toán học " tức là biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp bằng các ngôn ngữ toán học Làm đợc việc đó, yêu cầu học sinh phải có phơng pháp t duy, phân tích và tổng hợp

Để giúp học sinh rèn luyện các phơng pháp t duy về loại toán này, tôi đã áp dụng phơng pháp Giáo dục " Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng; từ t duy trừu tợng trở về thực tiễn "

Cụ thể là: giúp học sinh cách phân dạng toán, từ đó thiết lập bảng lợng hoà

đề bài định ra cách lập phơng trình và giải quyết bài toán

Nói chung mục đích cuối cùng là để học sinh có kĩ năng giải toán lập phơng trình theo cách " Dễ hiểu, dễ nhớ và nhớ lâu "

Trang 6

+ Phân dạng toán

+ Biểu diễn sự tơng quan giữa các đại lợng bằng phơng pháp lập bảng

+ Thiết lập phơng trình hoạc hệ phơng trình

1- Nhận dạng toán:

Toán lập phơng trình thật " Muôn hình muôn vẻ" Song ta có thể cô đọng dới

7 dạng cơ bản và từ đó biết mối quan hệ giữa các đại lợng (Xin đợc trình bày cụ thể ở phần sau)

2- Lập bảng biểu diễn sự tơng quan giữa các đại lợng.

Với các bài toán phức tạp ta nên lập ra bảng nháp, để học sinh lấy đó làm hình ảnh trực quan cho việc diễn đạt các ý trong trình bày bài toán (trong bớc 1)

Đối với từng dạng toán lập phơng trình ta có cách lập bảng riêng dựa theo mối quan hệ giữa các đối tợng, các đại lợng giúp cho các bớc lập phơng trình đợc thực hiện dễ dàng

3- Cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình.

a- Cách chọn ẩn:

Thông thờng bài toán hỏi đại lợng nào thì chọn chính đại lợng đó làm ẩn

Trang 7

Đa số các bài toán chọn ẩn trực tiếp (là đại lợng đầu bài) đôi khi ta cũng có thể chọn ẩn gián tiếp

b- Cách lập phơng trình: chú ý các công việc sau: Thờng lập phơng trình theo sự chênh lệch của một đại lợng sau khi thêm hoặc bớt ( sau khi thay đổi)

III - Các dạng toán - ví dụ minh hoạ.

1 - Dạng toán: Số và chữ số

a - Quan hệ số và chữ số: abc = 100a + 10b + c

b - Cấu trúc bảng tơng quan giữa các đại lợng:

của nó thì đợc số mới nh thế nào?

+ Thiết lập phơng trình và diễn đạt lời bài toán

* Bài giải:

Trang 8

Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng tổng các chữ số của

nó bằng 13 và nếu cộng 34 vào tích hai chữ số đó ta đợc chính số đó

+ Cộng 34 vào tích 2 chữ số thì viết nh thế nào và bằng bao nhiêu?

+ Thiết lập phơng trình và diễn đạt bài toán

* Bài giải:

Gọi chữ số hàng chục là a (o <a <9)

thì chữ số hàng đơn vị là 13 - a

Số tự nhiên có hai chữ số là: a(13 - a) = 10a + 13 - a =9a + 13

Theo đầu bài ta có phơng trình:

Trang 9

Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1

vào đằng trớc ta đợc số A có 5 chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào đằng sau ta đợc

Trang 10

+ Hai số cần tìm có mối quan hệ với nhau nh thế nào?

+ Chọn ẩn đặt điều kiện cho bài

Điều kiện cho ẩn?

Trang 11

5 lần số thứ nhất là 5x ; 7 lần số thứ hai là

x

8 7

Theo đầu bài ta có phơng trình: 5x + 7

x

8

= 61 5x2 - 61x + 56 = 0

∆ = (- 61)2 - 4.5.56 = 2601

x1 = 11,2; x2 = 1

Hai giá trị x1 , x2 đều thoả mãn điều kiện đầu bài

Vậy: Nếu số thứ nhất là 11,2 thì số thứ hai là

75

Nếu số thứ nhất là 1 thì số thứ hai là 8

Chú ý: Khi giải toán số, chữ số cần nắm vững cấu tạo số:

ab = 10a; abc = 100a + 10b + c

Khi viết vào bên phải (đằng sau) số cho trớc(A) một số có một chữ số a ta

a - Quan hệ: "Ban đầu" và lúc sau

b - Bảng tơng quan giữa các đại lợng tổng quát

Đối tợng Đối tợng 1 Đối tợng 2

Trang 12

+Đọc kỹ đầu bài phân dạng bài

+ Bài toán cố những dữ kiện nào?

+ Có mấy đối tợng? quan hệ của các đối tợng?

+ Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn

+ Lập bảng và điền số liệu qua ẩn

+ Căn cứ vào dữ liệu của bài toán thiết lập phơng trình

+ Diễn đạt lời giải bài toán

Ví dụ 5: Một hội trờng có 300 ghế đợc xếp thành nhiều dãy nh nhau ngời

ta muốn sắp xếp lại bằng cách bớt đi 3 dãy thì phải xếp thêm 5 ghế vào mỗi dãy còn lại Hỏi lúc đầu hội trờng có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (x > 3, x∈ N )

Thì số ghế trong một dãy lúc đầu là

x

300 ghếTheo đầu bài ta có phơng trình:

Trang 13

Giải phơng trình bậc hai trên ta đợc x1 =15 ; x2 = - 12 (loại)

Giá trị x2 =15 thoả mãn điều kiện đầu bài

Vậy: Số dãy ghế lúc đầu là 15 ( dãy )

- Gọi số dãy ghế ban đầu là x ( dãy ) ( x > 3, x ∈ N )

- Gọi số ghế trong một dãy lúc đầu là y ( ghế ) ( y > 0, y ∈ N )

- Sau khi sắp xếp lại: Số dãy ghế là x - 3 ( dãy )

Số dãy trong một dãy là x + 5 ( ghế )

Theo đầu bài ta có hệ phơng trình:







= +

−

=

300 )

5 ).(

3 (

300

y x

5

300

y x

Giải hệ phơng trình trên ta đợc: x = 15 ; y = 20 Nghiệm của hệ thoả mãn

điều kiện đầu bài Vậy số dãy ghế lúc ban đầu là 15 dãy, số ghế trong một dãy là

20 ghế

Ví dụ 6: Tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là101 em Nếu thêm hai học sinh

vào lớp 9A và bớt đi 3 học sinh ở lớp 9B thì số học sinh hai lớp sẽ bằng nhau Hỏi ban đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh

* Hớng dẫn phân tích đầu bài và lập bảng.

Trang 14

Thì số học sinh ban đầu của lớp 9B là 101 - x( học sinh)

Số học sinh lớp 9A sau khi thêm là x + 2 (HS)

Số học sinh lớp 9B sau khi bớt là (101 - x) - 3 = 98 - x (HS)

Theo đầu bài ta có phơng trình: x + 2 = 98 - x

Giải phơng trình trên đợc x = 48

x = 48 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số học sinh ban đầu của lớp 9A là

48 học sinh; của lớp 9B là 101 - 48 =53 học sinh

Ví dụ 7 Một thửa ruộng hình chữ nhật Nếu tăng mỗi cạnh 10m thì diện tích mới

cũ Tính kích thớc thửa ruộng lúc đầu

* Hớng dẫn phân tích và lập bảng:

Lập bảng:

Cạnh thứ nhất Cạnh thứ hai Diện tích

Trang 15

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh của thửa ruộng lúc đầu là x(m) và y(m)

Điều kiện x >10 ; y> 10

Diện tích ban đầu của thửa ruộng là xy(m2)

Nếu tăng mỗi cạnh thêm 10 m thì diện tích mới là (x + 10)(y + 10) (m2)

ta có: (x+10)(y+ 10) =

2

3xyNếu giảm mỗi cạnh đi 10m thì diện tích là (x-10)(y-10)

+

xy y

x

xy y

x

5

3)

10)(

10(

2

3)

10)(

10(

=

90

2000

y x xy

Giải hệ phơng trình trên đợc x = 40 ;y = 50

Các giá trị của x và y thoả màn điều kiện đầu bài Vậy hai cạnh của thửa ruộng lúc

đầu là 40m và 50 m

Chú ý: Loại toán dạng thêm bớt này ta thiết lập phơng trình theo sự chênh

lệch của "lúc đầu" và "lúc sau"

Trang 16

Ví dụ 8: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy Trong tháng sau tổ

I vợt mức 10%, tổ II vợt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

* Hớng dẫn phân tích đầu bài

+ Đọc đề bài phân dạng toán

+ Bài toán có những đại lợng nào? mối quan hệ giữa các đại lợng?

Trang 17

+ Xác định dữ kiện đầu bài

+ Chọn ẩn đạt điều kiện cho ẩn

+ Lập bảng tơng quan giữa các đại lợng

+ Thiết lập phơng trình theo dữ kiện nào

Trong tháng sau: Tổ I sản xuất đợc x + 10%x chi tiết máy; Tổ II sẩn xuất

đ-ợc (400 - x) + 15%.(400 - x) chi tiết máy

Theo đầu bài ta có phơng trình

Giá trị của x thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất

đợc 240 chi tiết máy , tổ II sản xuất đợc 400 - 240 = 160 chi tiết máy

Ví dụ 9: Một xởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phảidệt 30 chiếc áo Khi thực hiện

xởng đã dệt đợc mỗi ngày 40 chiếc áo nên hoàn thành trớc thời hạn 3 ngày, ngoài

ra còn dệt thêm đợc 20 chiếc áo nữa Tính số áo xởng phải dệt theo kế hoạch

* Gợi ý phân tích đầu bài:

Trang 18

+ Đọc kỹ đầu bài

+ Bài toán có những đại lợng nào? Mối quan hệ giữa các đại lợng?

+ Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn? Nếu gọi số áo cần sản xuất theo kế hoạch

là x thì các đại lợng khác liên quan nh thế nào?

+Hớng dẫn lập bảng

+ Lập phơng trình theo dữ kiện nào

+ Trình bày lời giải

⇔ x = 420

x = 420 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số áo phải sản xuất theo kế hoạch

là 420 chiếc áo

Trang 19

Ví dụ 10: Một đội công nhân cần hoàn thành một công việc với mức 420 ngày

công thợ Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày

Gọi số công nhân của đội là x (ngời) Điều kiện x nguyên dơng

thí sau khi tăng đội có x+ 5 (ngời)

Số ngày hoàn thành công việc với x ngời là

x

420(ngày)

Số ngày hoàn thành công việc với x+ 5 ngời là

=+

−

x x

Quy đồng, khử mẫu phơng trình trên ta đợc: x2 + 5x - 300 = 0

Giải phơng trình ta đợc x1=15 ; x2 = -20 (loại)

x1=15 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số công nhân của đội là 15 ngời.Chú ý: Dạng toán năng xuất thờng lập phơng trình theo sự chênh lệch thời gian hoặc chênh lệch năng xuất với quan hệ :

"Tăng năng suất" -"giảm thời gian"

"Giảm năng suất" -"tăng thời gian"

4 - Dạng chuyển động.

Đây là dạng toán phong phú nhất của toán lập phơng trình Trong bài toán chứa ba đại lợng: Quãng đờng (S) ; Vận tốc (v) ; Thời gian (t)

Trang 20

Quan hệ giữa ba đại lợng đợc diễn đạt bởi công thức

Các dạng toán chuyển động có thể phân ra các chuyển động nhỏ nh sau:

a - Chuyển động một đối tợng

b - Chuyển động hai đối tợng

c - Chuyển động trên dòng nớc (hoặc chuyển động với gió)

Bảng tơng quan giữa các đại lợng vận tốc, quãng đờng, thời gian.

Trang 21

Dạng chuyển động hai đối tợng

Ví dụ 11: (Chuyển động một đối tợng )

Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá rồi lại từ Thanh Hoá về Hà Nội mất tất cả 8 giờ 45 phút Vận tốc lúc đi là 40km/h, vận tốc lúc về là 30 km/h Tính quãng đờng từ Hà Nội đến Thanh Hoá

*Hớng dẫn phân tích đầu bài:

+ Đọc đầu bài , nhận dạng toán

+ Bài toán có các dữ kiện nào?

+ Nếu gọi quãng đờng từ Hà Nội đếnThanh Hoá là x thì các đại lợng khác

Gọi quãng đờng từ hà Nội đến Thanh Hoá là x (km/h)

thì thời gian đi là

Trang 22

Theo đầu bài ta có phơng trình:

4

3530

Ví dụ 12: (Chuyển động một đối tợng, trên dòng nớc)

Một ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngợc dòng trở lại 20 km mất tổng cộng 5 giờ Biết vận tốc dòng nớc là 2 km/h Tính vận tốc thực của ca nô

* Hớng dẫn phân tích đầu bài

+ đọc đầu bài, phân dạng chuyển động

+ Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị quãng đờng

+Bài toán có mấy đại lợng? Mối quan hệ giữa các đại lợng?

+Gọi x là vận tốc thực của ca nô thì vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, Khi ngợc dòng đợc tính nh thế nào? Thời gian xuôi dòng, thời gian ngợc dòng tính nh thêt nào?

Bài giải:

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) Điều kiện x > 2

thì vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 2 (km/h) ; vận tốc ca nô khi ngợc dòng là x - 2 (km/h)

Thời gian đi xuôi dòng là

Trang 23

x1 = 12 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy vận tốc thực của ca nô là 12 km/h

* Những vớng mắc của học sinh khi giải bài toán chuyển động trên dòng nớc là:

Học sinh cha biết cách xác định vận tốc chuyển động khi xuôi dòng, khi

Thời gian(xuôi) + Thời gian(ngợc) = Thời gian(tổng)

hoặc: Thời gian (ngợc) - Thời gian (xuôi) = Thời gian( chênh lệch)

Ví dụ 13: (Loại hai đối tợng, chuyển động cùng chiều)

Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A Sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km Hỏi vận tốc của thuyền là bao nhiêu, biết ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h

Trang 24

2020

=+

−

x x

⇔ 20.3(x+12) - 23.3x = 16x(x+12)

60x + 720 - 60x = 16x2 + 192x

x2 + 12x - 45 = 0

Giải phơng trình trên ta đợc x1 = 3 ; x2 = -15 (loại)

x1=3 thoả mãn điều khiện đầu bài Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h

Ví dụ 14: (Loại hai đối tợng, chuyển động ngợc chiều)

Hai ngời đi xe đạp từ hai nơi A và B cách nhau 12 km và đi ngợc lại nhau Ngời đi từ A khởi hành 3 phút sau ngời đi từ B nhng mỗi giờ đi nhanh hơn 4km Hỏi vận tốc của mỗi ngời biết họ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng

*Hớng dẫn phân tích bài

+ Đọc kỹ bài, phân dạng toán

+ vẽ sơ đồ đoạn thảng biểu thị quãng đờng AB

+ Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn

+Các đại lợng còn lại biểu thị qua ẩn nh thế nào?

+ Lập bảng

+ Lập phơng trình theo dữ kiện nào? 

A C B

Trang 25

Lập bảng:

Vận tốc Quãng đờng Thời gian

Gọi vận tốc của ngời đi từ A là x (km/h) ( x > 4)

thì vận tốc của ngời đi từ B là x - 4 (km/h)

Hai ngời gặp nhau ở chính giữa quãng đờng nên mỗi ngời đi đợc 6 km

Thời gian của ngời đi từ A là

x1= 24 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy vận tốc của ngời đi từ A là

24 km/h , vận tốc của ngời đi từ B là 24 - 4 = 20 km/h

Ví dụ 15: (Loại một đối tợng : tăng - giảm)

Một ngời dự định đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B dài 72 km trong một tthời gian nhất định Sau khi đi 1/4 quãng đờng nhận thấy vận tốc thực tế chỉ bằng 2/3 vận tốc dự định cho nên đoạn đờng còn lại ngời đó đã tăng vận tốc thêm 6 km/hso

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	537,5 KB